2021高考江苏版物理一轮复习讲义：第5章 第3节机械能守恒定律及其应用

第3节机械能守恒定律及其应用
知识点1重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)公式：E p＝mgh.
(2)特性：
①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p.
知识点2弹性势能
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
知识点3机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
(2)守恒的条件：只有重力或弹力做功．
(3)守恒表达式：
观点表达式
守恒观点E1＝E2，E k1＋E p1＝E k2＋E p2
转化观点ΔE k＝－ΔE p
转移观点ΔE A
减＝ΔE B增
1．正误判断
(1)克制重力做功，物体的重力势能一定增加．(√)
(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．(√)
(3)弹簧弹力做正功时，弹性势能增加．(×)
(4)物体的速度增大时，其机械能可能在减小．(√)
(5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)
(6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(×)
(7)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)
2．(对重力做功和重力势能变化关系的理解)将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，以下说法中正确的选项是(g取10 m/s2)() 【导学号：96622087】
×104 J
×104 J
×104 J
【答案】 C
3．(对弹性势能的理解)(多项选择)如图5-3-1所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，不计任何摩擦阻力，在此过程中以下说法中正确的选项是()
图5-3-1
A．物体对弹簧做功，物体的动能增加
B．物体向墙壁运动一样的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
【答案】BD
4．(对机械能的理解)(多项选择)如图5-3-2所示，质量分别为M、m的两个小球置于上下不同的两个平台上，a、b、c分别为不同高度的参考平面，以下说法正确的选项是() 【导学号：96622088】
图5-3-2
A．假设以c为参考平面，M的机械能大
B．假设以b为参考平面，M的机械能大
C．假设以a为参考平面，无法确定M、m机械能的大小
D．无论如何选择参考平面，总是M的机械能大
【答案】BC
5．(机械能守恒定律的简单应用)“嫦娥三号〞探测器在距月面3 m处关闭反推发动机，让其以自由落体方式降落在月球外表.4条着陆腿触月信号显示，“嫦娥三号〞完美着陆月球虹湾地区．月球外表附近重力加速度约为1.6 m/s2,4条着陆腿可视作完全一样的四个轻弹簧，在软着陆后，每个轻弹簧获得的弹性势
能大约是()
A．28 500 J B．4 560 J
C．18 240 J D．9 120 J
【答案】 B
[核心精讲]
1．关于机械能守恒的理解
(1)只受重力作用，如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功．
(3)系统内的弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且系统内弹力做功等于系统弹性势能的减少量．
2．机械能是否守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化．
(2)用做功判断：假设物体或系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：假设物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，那么物体系统机械能守恒．
[题组通关]
1.(2021·无锡模拟)如图5-3-3所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，那么在小球从释放到落至地面的过程中，以下说法正确的选项是()【导学号：96622089】
图5-3-3
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
B小球的位移方向竖直向下，斜劈对小球的弹力对小球做负功，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，斜劈的机械能增大，小球的机械能减少，但斜劈与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量，等于小球和斜劈动能增加量之和，故B正确，A、C、D错误．
2．(多项选择)如图5-3-3所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，以下说法中正确的选项是()
图5-3-3
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
BD小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，应选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，应选项C错误，D正确．
[名师微博]
两点提醒：
1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只
有重力做功〞不等于“只受重力作用〞．
2．分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统．
[核心精讲]
三种守恒表达式比拟
表达角度表达公式表达意义考前须知
守恒观点
E k＋E p＝
E k′＋E p′
系统的初状态机械能的总和
与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能
的零势能面，且初、末状
态必须用同一零势能面
计算势能
转化观点ΔE k＝－ΔE p 表示系统(或物体)机械能守
恒时，系统减少(或增加)的重
力势能等于系统增加(或减
少)的动能
应用时关键在于分清重
力势能的增加量和减少
量，可不选零势能面而直
接计算初、末状态的势能
差
转移观点ΔE
增＝ΔE
减
假设系统由A、B两局部组
成，那么A局部物体机械能
的增加量与B局部物体机械
能的减少量相等
常用于解决两个或多个
物体组成的系统的机械
能守恒问题
[师生共研]
如图5-3-4甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D 为圆轨道的最低点和最高点)，∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，g取10 m/s2.求：
甲乙
图5-3-4
(1)滑块的质量和圆轨道的半径；
(2)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．假设存在，请求出H值；假设不存在，请说明理由．【标准解答】(1)小滑块由A到D的过程，由机械能守恒定律得：mg(H－
2R)＝1
2m v
2
D
在D点由牛顿第二定律得：F＋mg＝m v2D
R，联立解得：
F＝2mg(H－2R)
R－mg
取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：
m＝0.1 kg，R＝0.2 m.
(2)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点(如下图)
OE＝
R
sin 30°，x＝OE＝v D′t，R＝
1
2gt
2
得到：v D′＝2 m/s
而滑块过D点的临界速度v＝gR＝ 2 m/s
由于v D′>v，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直
轨道AB上与圆心等高的点，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝1
2m v′
2
D
，得
到：H＝0.6 m.
【答案】(1)0.1 kg0.2 m(2)存在0.6 m [题组通关]
3．(2021·全国甲卷)小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图5-3-5所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点，( )
图5-3-5
A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度
B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能
C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力
D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度
C 两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守
恒，取轨迹的最低点为零势能点，那么由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 2，v ＝
2gL ，因L P <L Q ，那么v P <v Q ，又m P >m Q ，那么两球的动能无法比拟，选项A 、
B 错误；在最低点绳的拉力为F ，那么F －mg ＝m v 2
L ，那么F ＝3mg ，因m P >m Q ，
那么F P >F Q ，选项C 正确；向心加速度a ＝F －mg m ＝2g ，选项D 错误．
4．将一小球从高处水平抛出，最初2 s 内小球动能E k 随时间t 变化的图象如图5-3-6所示，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.根据图象信息，不能确定的物理量是( )【导学号：96622090】
图5-3-6
A ．小球的质量
B ．小球的初速度
C ．最初2 s 内重力对小球做功的平均功率
D ．小球抛出时的高度
D 由机械能守恒定律可得
E k ＝E k0＋mgh ，又因为h ＝12gt 2，所以E k ＝E k0＋
12mg 2t 2.当t ＝0时，E k0＝12
m v 20＝5 J ，当t ＝2 s 时，E k ＝E k0＋2mg 2＝30 J ，联立方程解得：m ＝0.125 kg ，v 0＝4 5 m/s.t ＝2 s 时，由动能定理得W G ＝ΔE k ＝25 J ，
故P ＝W G 2＝12.5 W ．根据图象信息，无法确定小球抛出时距离地面的高度．综上所述，应选D.
[典题例如]
一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A 、
B 两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱边缘处由静止释放，如图5-3-7所示．已经A 球始终不离开圆柱内外表，且细绳足够长，假设不计一切摩擦，求：
图5-3-7
(1)A 球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小；
(2)A 球沿圆柱内外表运动的最大位移．
【合作探讨】
(1)A 球沿圆柱内外表运动的速度大小与B 球速度大小相等吗？你能说明它们速度大小间存在什么关系吗？
提示：A 球沿圆柱内外表运动的速度大小与B 球速度大小不相等，A 球速度沿细绳方向的分速度大小与B 球速度大小相等．
(2)A 球沿圆柱内外表运动的位移大小与B 球上升的高度相等吗？
提示：相等．
(3)A 球下降的高度与B 球上升的高度相等吗？
提示：不相等．
【标准解答】 (1)设A 球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小为v ，B 球的质量为m ，那么根据机械能守恒定律有
2mgR－2mgR＝1
2×2m v
2＋
1
2m v
2
B
由图甲可知，A球的速度v与B球速度v B的关系为v B＝v1＝v cos 45°
联立解得v＝22－2
5gR.
甲
(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内外表运动的位移最大，设为x，如图
乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝
x
2R4R
2－x2根据机械能守恒定律有
2mgh－mgx＝0
乙解得x＝3R.
【答案】(1)2
2－2
5gR(2)3R
解决多物体机械能守恒问题的三点注意
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k＝－ΔE p或ΔE A＝－ΔE B的形式．
[题组通关]
5．(多项选择)(2021 ·全国卷Ⅱ)如图5-3-8所示，滑块a、b的质量均为m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开场运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小
.
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为g .那么( )
图5-3-8
A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功
B ．a 落地时速度大小为2gh
C ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg
BD 由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a 、b 的速度分别为v a 、v b .此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将v a 、v b 分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v ∥与v ′∥是相等的，即v a cos θ＝v b sin θ.当a 滑至地面时θ＝
90°，此时v b ＝0，由系统机械能守恒得mgh ＝12m v 2a ，解得v a ＝2gh ，选项B 正
确．同时由于b 初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b 先做正功后做负功，选项A 错误．杆对b 的作用先是推力后是拉力，对a 那么先是阻力后是动力，即a 的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g ，选项C 错误．b 的动能最大时，杆对a 、b 的作用力为零，此时a 的机械能最小，b 只受重力和支持力，所以b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确．正确选项为B 、
D.。