大学物理学运动学

k
j i
第一章 质点运动学
矢积的坐标分量式



A B ( Axi Ay j Azk )(Bxi By j Bzk )



( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
矢量叉乘可以写成行列式
位移：
o
A
rA
s
r
rB
t 时间内，位矢的变化量（即
A到B的有向线段），用
r
x
表示。
r rB rA AB
位移是矢量
路程：t时间内质点通过的路程是AB弧的长度 s
s AB弧长 路程是标量
注意
r s
B y
第一章 质点运动学
在直角坐标系中

正交分解
平面矢量的分解
第一章 质点运动学



A Axi Ay j Acosi Asinj
y

Ay
A
A 的大小 A 的方向
A Ax2 Ay2
tan Ay
o
Ax x
Ax
空间矢量的分解

z
c
A op oc oa ob oc
Axi Ay j Azk A 的大小
2
（2） r


2 2i 19 2 22 j 4i 11 j
v

dt r2

2i

4t
j
dt
v

2i

8
j
m/s

t2
v2
22 82 8.25 m/s
tan 1 8 7558
2
a

dv
第一章
1. 位置矢量（位矢）
z
置P 从的坐一标有原向点线o段指向r 质点所在位
位矢的坐标分量式
r

x
i

y
j

z
k
r
o

位矢的大小
x
P(x,y,z) y
r x2 y2 z2
位矢的方向 cos x cos y cos z
r
r
r
第一章 质点运动学
2. 运动方程
dv kdx v
两边积分：
v dv k
x
dx,
ln v kx
v v0
0
v0

v v0ekx
d2y dt 2
az

dvz dt

d2z dt 2
加速度的大小： a ax2 ay2 az2
加速度的方向：
当 t 趋向零时，速度增量 v 的极限方向。在曲
线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一侧。
第一章 质点运动学
例1
已r知质4点t运2动i 方程(2t

3)
j
B
A r
liБайду номын сангаас 瞬时速率：
v
s ds
t0 t dt
一般情况： r s 因此 v v
当t0时：
r

dr
ds
则
v v
5. 加速度
第一章 质点运动学
z
v1
t 时刻，质点速度为 v1
v2
(t t) 时刻，质点速度为 v2
o
t时间内，速度增量为：
p A


o
b
y
a
A Ax2 Ay2 Az2
x
p
第一章 质点运动学
五、矢量的运 算




已知: A Axi Ay j Azk ，B Bxi By j Bzk
1. 两矢量的和与差




A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
以下情况的实物均可以抽象为一个质点：
① 研究问题中,物体的形状
和大小可以忽略不计
② 物体上各点的运动情况
相同(平动)
③ 各点运动对总体运动影
响不大
第一章 质点运动学
2. 参考系和坐标系
• 物体运动具有绝对性 • 描述物体运动具有相对性
参考系(frame of reference) ——为描述物体的运动而选定的另
两边再积分：
x
t
dx
x0
0 (v0 at)dt
x

x0

v0t

1 2
at 2
第一章 质点运动学
例4 一质点从坐标原点沿x轴运动,初速为 ,加速度为
。证明质点的速度 与位移 有关系
v v0ekx
证： a dv dv dx v dv kv2 dt dx dt dx
dv

dvx
i

dv y
j

dvz
k
dt dt dt dt
d2x d2y d2z dt 2 i dt 2 j dt 2 k
axi ay j azk
第一章 质点运动学
加速度的三个分量
ax

dvx dt

d2x dt 2
ay

dv y dt

位置坐标随时间变化 的函数关系
矢量形式 r r(t)
r

x(t)i

y(t)
j

z(t)k
参数形式 x x(t)
z
y y(t) z z(t)
轨道方程
运动方程中消去时间t 得到
r
o
y
G (x, y, z) 0
x
第一章 质点运动学
3. 位移
z
(At 点设，t)质位时点矢刻作为位曲于rA线B点，运，动位,t矢时为刻rB在
第一章 质点运动学
例3 已知质点沿x轴运动, 加速度 a =常量,t=0时,
x x0 ，v v0 . 求 v(t)及x(t) .
解： a dv dt
dv adt
两边积分：
v
t
dv adt
v0
0
v v0 at
又
v

dx dt

v0

at
dx (v0 at)dt
v dr dx

dvdt dt
dt d2x
dt 2
i i

dy
dt d2
dt
j
y
2
j
x x(t) y y(t)
结果表示成:

vx

vy

dx
dt dy
dt
v

vx
i

vy
j
ax ay

dvx dt dvy dt

d2x
dt 2 d2y
dt 2
a axi ay j
第一章 质点运动学 2、已知质点的加速度函数及初始条件, 求质点的速度及运动 方程
初始条件: t=t0(=0)时刻的速度和位置，即 vo和 x0．
在一维情况下可能遇到三种类型: (1) 已知 a=常, 或a=a(t)，求 v(t) 及 x(t) (2) 已知 a a(x)，求 v(x)
r x2 y 2 z 2
第一章 质点运动学
4. 速度
描述质点运动快慢的物理量
(1) 平均速度
定义: v r m s
t
注意 (1) v 是矢量,方向与 相r同
(2) v 与时间间隔t有关
(3) 平均速度的大小 v
r
t
(4) 平均速率 v s r
标积的坐标分 量式 A B AxBx AyBy AzBz
3、两矢量叉乘（矢积） 结果为一矢量。令该矢量为
C
， A B
C
C的大小 C ABsin
C
C的方向垂直
A 与
B
构成的平面，
指向由右手螺旋法则确定

B

A
第一章 质点运动学
性质：

(1) A
a

dv

8i
m/s 2
dt
dt
t 0,
v

2
j,
a

8i
t 1,
v

8i

2
j,
a

8i
第一章 质点运动学
三、运动学的两类问题
1、已知运动方程，求速度以及加速度
已知运动方程矢量式:
r(t)

x(t)i

y(t)
j
已知运动方程分量式:
a
2. 两矢量点乘(标积）
结果为一标量。 定义:

A B ABcos
性质：
(1) A
是
A与
B
的夹角

B A B AB
(2)
AB
AB 0
(3) A B B A
第一章 质点运动学
单位矢量的点乘
i i j j k k 1 i j j k k i 0
B
C0
(2) A B C AB
(3) A B B A
单位矢量的叉乘
i i j j k k 0 i j ji k j k k j i k i i k j
一个作为参考的物体
参照物
第一章 质点运动学
坐标系 (system of coordinates)——用以标定物体的空间位置
而设置的坐标系统，是固结于参考系上的一个数学抽象。
z
x
说明
参照物
y o
(1) 运动学中参考系可任选。
(2) 参照物选定后，坐标系可任选。
第一章 质点运动学
二、描述质点运动的物理量
4
质点运动学
j
dt
a 4 m s-2 方向沿y轴的负方向
（3）
r v
2ti
19 2t2
j
2i 4tj
4t 4t(19 2t2 ) 4t(2t2 18)
8t(t 3)(t 3) 0
t1 0 (s) , t2 3 (s) 两矢量垂直
t t
z
A
rA
r
rB
B
o
y
x
第一章 质点运动学
(2) 瞬时速度
定义:
lim v
r dr
t0 t dt
m s
v是矢量, v 的方向为轨道上质
点所在处的切线方向。
速v 度的d坐r 标分d量x式i
dy
j

dz
k
z
v
A
rA
r
rB
B
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
补充内容
矢量及其运算
第一章 质点运动学
1、两类物理量
标量和矢量
2、矢量的表示 书写 字母上加箭头
如:
F
,
v,
a,
E
,
B
等
印刷 用黑体字
单位矢量
A
的单位矢
，A0模（AA或,数值矢）量为A1写的成矢量A

AA0
SI

求: (1) 轨迹; (2) 第1秒内的位移; (3) t = 0和t = 1 秒两时刻的速度和加速度.
解： x 4t 2
(1)
x ( y 3)2
y 2t 3
(2) (3)
r
v dr
r(1)
8ti
r(
2
0)
j
4i
m/ s

2j m
o
dt dt dt dt
y
v

vxi

v
y
j

vz
k
x
第一章 质点运动学
速度的三个分量：
vx
dx , dt
vy
dy , dt
vz

dz dt
速度的大小：(速率) v v vx2 v2y vz2
(3) 速率
s
平均速率: v s m s1 t
i j k A B Ax Ay Az
Bx By Bz
六、矢量的微商和积分（略）
第一章 质点运动学
运动学 1
质点运动的描述
第一章 质点运动学
一 、质点运动学基本概念
1. 质点 —— 实际物体的理想化模型 .
实际问题中，当物体的形状和大小对研究不起作用或 所起的作用可忽略时，就可把物体当作质点来处理。
直自角然坐坐标标系中x切、向y、和z法正向向单单位位矢矢用用i ,,nj
, k 表示
表示
图形表示 用一有向线段表示矢量
线段长度表示矢量的大小，箭头指向表示矢量的方向。
第一章 质点运动学
三、矢量的合成
作图法
平行四边形法:
A
B
矢量相减
B
C
A


B
A
B
D
A
四、矢量的分解
(3) 已知 a a(v)，求 v(x)
第一章 质点运动学
例2
已知质点的运动方程
r

2ti

19

2t 2
j
求：（1）轨道方程；（2）t = 2秒时质点的位置、速度以及 加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解：（1） x 2t , y 19 2t2
消去时间参数得 y 19 1 x2

rB xBi yB
j


zB
k

rA xAi yA j zAk
zA
B
rA
r
rB
o
r rB rA
y
x

或

(xB

xA )i
(yB

y
A
)
j
(zB

z A )k
r xi yj zk
位移的大小
y
v v2 v1
定义:
x
v1 v
平均加速度 a v m / s2 t
v2
平均加速度的方向与速度增量的方向一致
第一章 质点运动学
瞬时加速度：
定义:
lim a
t 0
v t
dv dt
d 2r dt2
m / s2
加速度的直角坐标分量式
a