人教版九年级数学上册 圆周角经典课件

B
A D
O C
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探究二：
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
C
推论：
A
B
O
半圆或直径所对的圆周角都相等,都
等于90°(直角).反过来也是成立的,
即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
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C E
D
O
A
B
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例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
判断下列各图形中的是不是圆周角, 并说明理由．
√
√
归纳：
√
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
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探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系？
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探究一：
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
【解析】连结OA、OB ∵∠C=30°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
O
A B
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圆周角定理
❖一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
❖同弧所对的圆周角相等 C
E O D
B
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A
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圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都相等，等于它所对的圆心角的一半。
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
A O
B
C
A
O
B
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求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以O为圆心，AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=__5_0_0__∠D=__1_3_0_0_
4.四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_4_5__0_,
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已知：如图，四边形ABCD是 人教版九年级数学上册圆周角经典课件 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。
C
A
O C
B
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在半径不等的圆中，相等的两个 圆周角所对的弧相等吗？
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵︵
B
B'
CA ＞ A′C′
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A' C'
A
C
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2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC =1∠AOC.
2
AD C
●O
B
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
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A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
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跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
O
A
B
长是( )
A．1
B． 2
C． 3
C
D．2
【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，
30°的角所对的边是斜边的一半.
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练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
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如果∠A=44°,则∠BOC=_8_8_0_. 如果∠BOC=44°,则∠A=_2_2_0_. 如果∠A=35°,则∠BDC=_3_5__0 .
新人教版九年级数学上册 24 圆
24.1.4 圆周角
学习目标
❖理解圆周角的概念,掌握圆周角的定
理和三个推论的内容及简单应用；
❖掌握圆内接四边形的概念和性质。
∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？ 你知道∠ACB这一类的角名字吗？
圆周角的概念 ： C
顶点在圆上，两边 与圆相交的角,叫圆 周角。
B O
A
求证：四边形ABCD
是矩形。 A
B
O
D
C
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如图⊙O 与⊙O 都经过A、B两点，经 人教版九年级数学上册圆周角经典课件
1
2
过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与
⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
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A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角
度数有什么关系？
A
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
证明:(圆心在圆周角上)
O
OA OC C BAC
BAC
B
1
C BOC
BOC BAC C
2
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
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A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC
C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
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1.如图，∠A=50°，∠ABC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
F
E
B
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连结AB ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E
D
A
∠E＋∠F＝180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2 F
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填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=__7_5_0_
A
D
AD
B
O
C
80 B
E C
A
100 D
O
B
C
2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__1_8_0_0_ ∠B+∠ADC=__1_8_0__0 _;若∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_0 ∠CDE=__8_0_0__
圆内接四边形的对角互补。
D
·O
C
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=1800
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圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
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2
∴AO=BO=CO∴. 点C在⊙O上.
A
·
B
O
又∵AB为直径,∴∠ACB=12×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
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推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
3.当圆心在圆周角外部时 提示:能否转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=
1
B
∠COD,
2
●O
D
1 ∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.
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