2.3.2--平面向量的正交分解及坐标表示--2.3.3--平面向量的坐标运算

a 、b 、，c 并、d求出它们的坐标.
a 2i 3 j a (2,3)
b 2i 2 j b (2, 2)
c 3i 2 j c (3, 2)
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d 4i 2 j d (4, 2)
3.已知A(3,1), a (x 2, 2x y ，5)若向量
O为坐标原点，则x=________5,y=_________.-4
木块受到重力 G的作用，产生两 个效果，一是木块受平行于斜面
力 的作用，沿斜面下滑；一是
木块F1产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
F2，G＝
F1＋F2
G
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 a 以分解为不共线的两个向量 1e和1 2 e，2 使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分 解.
a xi +y j
y
7
D
4
B
C
j
x
o iA 3 5
y
D
a
C
A
j
x
o iB
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这样，平面内的任一向量 都a可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的a坐标，记作
a (x, y)
①
A
j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
a , OA
4.(2012 青岛高一检测)已知 A (-1，-5)和向量 a=（2，3）， 若 AB=3a ,则点B的坐标为__（__5_，__4_）_.
第21页，共26页。
5.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)
若 AP=AB+λAC(λ R)，试求λ为何值时,
（1）点P在一、三象限角平分线上?
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即
a b (x1 x2, y1 y2)，
同理可得
a b (x1 x2, y1 y2).
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
（差）.
a (x1, y1).
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.
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例2.如图，已知 A(x1, y1), B(x2, y，2 )求 的A坐B标.
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个 有序实数对唯一表示.
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例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c、d ，并求出
它们的坐标.
A2
解：如图可知
b
a AA1 AA2 2i 3j ；
a
A
A1
j
同理
i
b 2i 3j (2,3);
c 2i 3j (2, 3);
AB (x2 x1, y2 y1)
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例3.已知 a (2,1),b (，3, 求4) a b, a b,3的a坐标4b. 解：a b (2,1) (3, 4) (1, 5);
a b (2,1) (3,4) (5,3); 3a 4b 3(2,1) 4(3,4)
OC _3__i __4__j_, OD __5_i___7__j _ .
4
B
C
j
x
o iA 3 5
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（3）向量 CD能否由 i,表j 示出来？
可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j 如图，i, j 分别是与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
B
A
y
4 3 2 1
C
D
-2 -1 O 1 2 3
x
解得
x 2, y 2.
所以顶点D的坐标为（2，2）.
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解法2：由平行四边形法则可得 而
y
4
B3
2
1 A
C
D
-2 -1 O 1 2 3
x
所以顶点D的坐标为（2，2）.
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1.写出下列向量的坐标,其中 是i与、jx轴、y轴方向相同的单位向
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一、知识技能
1.平面向量的坐标表示
a xi y j (x, y).
2.平面向量的坐标运算
二、思想方法
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.
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要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如 一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。
——兰斯顿•休斯
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e1
e2
(1)
m n
(2)
a e1 2e2
a 3 n 3m 2
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量 进行a分
解比较简单？
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思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A (a,b)
O
a
x
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如图，在光滑斜面上有一个
. xy
2 3
3 1
5 7
， ，
xy
5 4
5 ，
7
P(5+5λ,4+7λ)，
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（1）若点P在一、三象限角平分线上,则 5+5λ=4+7λ，
1；
2
（2）若点P在第三象限内，
则
5 5 0 ， 4 7 0 ，
1，
∴
4 7
．
∴λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
量.
(1)a =2i+3 j
(4)a=-5 j
(2) a=2i-3j
(5)a =-4i
(3)a =-i-3 j
答案： (1)a (2, 3)
(2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
(4)a (0, 5)
(5)a (4, 0)
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2.如图，用基底 i 、分j 别表示向量
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平面向量的坐标表示
思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),
D(5,7).设 OA i, OB j，填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i,来j 表示 OC,，O则D：
y
解： AB OB OA
A(x1,y1)
(x2, y2 ) (x1, y1)
O
B(x2,y2)
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标.
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小结：平面向量的坐标运算
y
1.a OA xi y j （x, y）
A
y
Ox
x
2.若A (x1, y1)，B (x2 , y2 ) ，则
（2）点P在第三象限内?
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解：设点P的坐标为(x, y)， 则AP (x, y) (2,3) (x 2, y 3)，
AB AC (5 2, 4 3) [(7,10) (2,3)]
(3 5,1 7)，
AP AB AC，(x 2, y 3) (3 5,1 7)，
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
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1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解; 2.在平面直角坐标系中，能写出一个平面向量的坐标； （重点）
3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底 来表达. 4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.(重点）
(6,3) (12,16) (6,19).
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例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设顶点D的坐标为（x,y）.
AB (1,3) (2,1) (1, 2)， DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)， 由AB DC， 得(1, 2) (3 x, ,0 0,0.
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y
a
y
A
a xi +y j
j
O
x
x
i
在直角坐标平面中，以原点O为起点作
A的位置由向量 唯a 一确定.
OA xi +y j
O，A则点 a
设 OA xi y，j 则向量 O的A坐标（x,y）就是终点A的 坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量 的O坐A标.
c
d
d 2i 3j (2, 3).
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平面向量的坐标运算
思考：已知 a (x1, y1),b (x2, y2 ) ，你能得出 a b, a b,
a的坐标吗？
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j,
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平面向量基本定理的内容是什么？
如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平
面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 、2 ，使： a 1e1 2 e2
e1 a e2
e11
a
O
e2
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画一画，算一算 分别用给定的一组基底表示同一向量 a
a a