2017-2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数学案 北师大版必修1

1 正整数指数函数
学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．
知识点一 正整数指数函数的概念
思考 定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．
梳理 正整数指数函数的定义
一般地，函数y ＝a x
(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.
知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性 思考 比较12，(12)2，(12)3
的大小，你有什么发现？
梳理 函数y ＝a x
(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减． 知识点三 指数型函数
思考 y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？
梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．
类型一正整数指数函数的概念
命题角度1 判断是否为正整数指数函数
例1 下列表达式是否为正整数指数函数？
(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；
(4)y＝e x(x∈N＋)．
反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．
跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( )
A ．y ＝－2x
，x ∈N ＋ B ．y ＝2x
，x ∈R C ．y ＝x 2
，x ∈N ＋ D ．y ＝(12
)x
，x ∈N ＋
命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数
例2 已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)·a x
，则f (2)等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16
反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．
跟踪训练2 函数y ＝(1－3a )x
是正整数指数函数，则a 应满足________． 类型二 正整数指数函数的图像与性质
例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质． (1)y ＝2x
(x ∈N ＋)； (2)y ＝0.95x (x ∈N ＋)．
反思与感悟 通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成． 跟踪训练3 作出下列函数(x ∈N ＋)的图像．
(1)y ＝3x
；(2)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x .
类型三正整数指数函数的应用
例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．
跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
1．下列函数：①y ＝3x 3
(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x
(a >3，
x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x
的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．a <1 C ．a >1
D ．a >2
3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84% B ．减少7.84% C ．减少9.5%
D ．不增不减
4．函数y ＝(13)x
(x ∈N ＋)的值域是( )
A ．R
B ．正实数
C ．N
D ．{13，132，1
3
3，…}
5．正整数指数函数f (x )＝(a －2)(2a )x
(x ∈N ＋)在定义域N ＋上是________的．(填“增加”或“减少”)
1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集． 2．当a >1时是增函数． 3．当0<a <1时是减函数．
4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 y ＝2x
，x ∈N ＋，自变量在指数上． 知识点二
思考 12>(12)2>(12)3，对于y ＝(12)x
，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．
知识点三
思考 不是，正整数指数函数的系数为1. 题型探究
例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y ＝3－x
＝(13)x ，但定义域不符合，
所以只有(4)为正整数指数函数．
跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.] 例2 C [∵f (x )是正整数指数函数， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －2＝1，a >0且a ≠1，
∴a ＝3，f (x )＝3x
.
∴f (2)＝32
＝9.]
跟踪训练2 a <1
3
，且a ≠0
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
1－3a >0，
1－3a ≠1，
解得a <1
3
，且a ≠0.
例3 解 列表比较如下：
跟踪训练3 解 (1)
(2)
例4 解 (1)已知本金为a 元，利率为r ，则 1期后的本利和为y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )， 2期后的本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2
，
3期后的本利和为y ＝a (1＋r )3
，
x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋，
即本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y ＝a (1＋r )x
，x ∈N ＋. (2)将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%，
x ＝5代入上式，得
y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，
即5期后本利和约为1 117.68元．
跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL ，
x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.
由题意知：0.3(1－50%)x
≤0.08， (12)x ≤4
15.采用估算法， 当x ＝1时，(12)1＝12>415；
当x ＝2时，(12)2＝14＝416<4
15
.
由于y ＝(12
)x
是减函数，
所以满足要求的x 的最小整数为2， 故至少过2小时驾驶员才能驾驶． 当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.D 5．增加
解析 ∵f (x )＝(a －2)(2a )x
是正整数指数函数， ∴a －2＝1，且2a >0,2a ≠1， ∴a ＝3，∴f (x )＝6x
，x ∈N ＋. ∵6>1，∴f (x )在N ＋上是增加的．。