传热学第四章非稳态导热1125

2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
傅里叶准则
2 2 单位时间通过 面积厚为的导热量 2 Fo a 3 c 单位时间体积为 3的内能变化
(b) (c)
边界条件（3）代入(b) 得

将 右端整理成：
y h
tg ( )
h


h 1


Bi

注意，这里Bi数的尺度为 平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点 对应的所有值。式(c) 称为特征方程。 β称 为特征值。分别为β1、 β2…… βn。
至此，我们获得了无穷个特解：
( x, ) 2 sin 1 x cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
以上两式的通解为：
C1e
于是
a 2
X C2 cos( x) C3 sin( x)
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
（ a）
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
2 n
a
2
*
μn为下面超越方程的根
h
n ctg n h
t t a 2 x
2
初始条件：
0, t t0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x , - t x h(t t )
t 2t a 2 x
0, t t0
x 0, t x 0 x , - t x h(t t )
( x, ) 0
2 sin( n ) cos( n x) exp( a n2 ) n 1 n sin( n ) cos( n )

令βnδ=μn
2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5 热量变化
Y
金属壁 保温层
t
P
F E D I G H x
t0
A
B
C
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的； 不同位置间到热量的差别用于（或来自）该两个位置间的物体内能随时 间的变化。

令 N
x 4a
erfN 0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 N 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的变化。 (3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
1
t
0
A0
0
t
tw t0
qw
tm
τ
表面及中心的温度变化
τ
表面热流密度的变化
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制，物体内部温度 场有的没参与变化 温度分布主要取决于边 界条件及物性，物体内 部温度场都参与变化
正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段
t ht w t f n w
边界条件
不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定解条件的不同的解。
§4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
半无限大物体的概念
t 2t a x 2 t tw x 0 t t0
t
tw
t0
x
0
蓄热系数
§4-4 第三类边界条件下的一维非稳态导热

一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁， 、a为已知常数；=0时 温度为 t0; 突然把两侧介质温度降 低为 t并保持不变；壁 表面与介质之间的表面 传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温 度分布对称。中心为原 点。
导热微分方程：
t ( x, ) t — 过余温度
2 a 2 x
0, t0 -t 0
x 0, x 0 x , - x h
天津大学热能研究所 TERI
x
采用分离变量法求解： X ( x) ( ) 取 a
常数A、B和β可由边界条件确定。
0, t0 -t 0
x 0, x 0 x , - x h
由边界条件（2）得B=0
x
(1) (2) (3)
（a）式成为
( x, ) e
a 2
[ A cos( x)]
tg ( ) h
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
(3) 求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
导热微分方程解的唯一性定律
c
t t t t ( ) ( ) ( ) λ= C。 x x y y z z t 2 a t 非稳态导热温度分布 c p 与λ和 a有关。
初始条件
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z )
[ An cos( n x)]
( x, ) e
n 1

a n 2
[ An cos( n x)]
利用初始条件 0, t0 -t 0 求A n 2 sin( n ) An 0 n sin( ) n cos( n ) 解的最后形式为：

为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2 n
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
41非稳态导热的基本概念非稳态导热的分类周期性非稳态导热定义及特点建筑物墙体导热瞬态非稳态导热定义及特点铸件冷却平板中的温度变化表面及中心的温度变化表面热流密度的变化两个不同的阶段非正规状况阶段不规则情况阶段正规状况阶段正常情况阶段温度分布主要取决于边界条件及物性物体内部温度场都参与变化温度分布主要受初始温度分布控制物体内部温度场有的没参与变化非正规状况阶段起始阶段正规状况阶段新的稳态导热过程的三个阶段板右侧导出的热流量金属壁保温层非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的
非稳态导热的特点

dt/dτ≠0 物体中的温度分布存在两个不同的阶段 在垂直于热量传递方向的每个截面上， 导热量处处不同，导热体的内能随时间 发生变化。
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
2 sin 1 x x 2F 1 0 ( x, ) 0 e cos( 1 ) f ( Fo , Bi, ) 1 sin 1 cos 1
第四章
非稳态导热
§4-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f ( r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
建筑物墙体导热 瞬态非稳态导热 (定义及特点) 铸件冷却
着重讨论瞬态非稳态导热
t
tf τ3
3 温度分布：

t
1
4 3
2
t0
τ2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x
平板中的温度变化
时间
念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段， 那在惰性时间以内
1 即任一点的热流通量： qx x 0 a
e
x
2
4 a
令 x 0 即得边界面上的热流通量
qw
0 a
[0,]内累计传热量
Qw


0
qw d 2
c 0
令 若 即
yx
4 a
y 2 erf ( 2 ) 0.9953 0 0.9953 可认为该处温度没有变化
erf ( y )
y
x 4 a
两个重要参数:
①
几何位置 若
y2 x 4 a
对一原为2δ的平板，若 4 a 即可作为半无限大物体来处理
②
x2 y2 若 16a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概
积分
1 D a
得到
C1e aD
式中C1是积分常数，常数 值D的正负可以从物理概 念上加以确定。 当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体 达到周围环境温度，所以D必须为负值，否则 物体温度将无穷增大。
令 D 2
则有 以及
1 d 2 a d
1 d2X 2 X dx
2 1 0
( x, ) m ( ) 2sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos( 1 ) m ( )
2 1 F0
与时间无关
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
引入过余温度 问题的解为
t tw 2 0
误差函数 无量纲变量

x 4 a
0
e
y2
dy erf ( x
4 a )
误差函数：
erf ( x)
无量纲 坐标
2


x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1
1 ( x, ) e
2 ( x, ) e
….
a12
[ A1 cos( 1 x)]
a 2 2
[ A2 cos( 2 x)]
n ( x, ) e
a n 2
[ An cos( n x)]
将无穷个解叠加：
( x, ) e
n 1 a n 2
Fo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，其物理意义
表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存 热能）性能的对比关系，是给定系统的动态特征 量
2 sin( n ) ( x, ) x 2 cos( n ) exp( Fo n ) 0 n 1 n sin n cos n
2

x 2
0, t0 -t 0 x 0, x 0
x , - x h
只为 的函数 只能为常数：
x
1 d 1 d 2 X a d X dx2
只为 x 的函数
1 d 1 d X D 2 a d X dx
2
Fo a 2
Bi h
x — 无量纲距离

( x, ) x f (Bi, Fo, ) 0
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x 因此 ( x , ) 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
注意：特征值 n
特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板
F0 a 2
当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%