第一章 行列式·行列式的定义

= n(n − 1) , 2
当n=4k+2,4k+3时为奇排列. 当n=4k,4k+1时为偶排列；
线 性 代 数
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第一章
行列式
第一节 行列式的定义
二、 对换
定义4 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换, 叫做 相邻对换. 例如
线
性
代
数
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行列式
第一节 行列式的定义
1 三阶行列式
定义6 行标
a11 D = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记为三阶行列式.
列标
a 13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33 − a13 a 22 a 31, a 33
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( − 2 ) × ( − 2 ) − ( −4 ) × 2 × ( − 3 )
1 1 2 3 4 9 1 x = 0. x2
[例5] 求解方程
解 方程左端
2 D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5 x + 6,
由于方程组的系数行列式
−2 1 = 1 × 1 × (− 1) + (− 2 ) × (− 3 ) × (− 1) + 1 × 2 × 1 1 − 3 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3) × 1 −1 1 −1 = − 5 ≠ 0,
次序与标准次序不同时， 称有一个逆序. 一个排列中所有逆序 的总数称为此排列的逆序数. 通常记为τ（ i1 i2 … in ）或τ .
例如
排列32514 中，
逆序数为0
0
1
3 2 5 1 4
1 3
故此排列的逆序数τ（ 32514）=0+1+0+3+1=5.
线 性 代 数
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行列式
代 数
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行列式
第一节 行列式的定义
[例3] 求解二元线性方程组 解
3 −2 D= = 3 − ( −4 ) 2 1 12 − 2 = 14, D1 = 1 1 D1 14 ∴ x1 = = = 2, D 7
3 x1 − 2 x 2 = 12, 2 x1 + x 2 = 1. = 7 ≠ 0, 3 12 = −21, D2 = 2 1 D2 − 21 x2 = = = −3. D 7
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线
性
代
数
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行列式
第一节 行列式的定义
1 2 −4 [例4] 计算三阶行列式 D = − 2 2 1 −3 4 −2
解
按对角线法则，有
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4 ) × ( − 2 ) × 4 = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14.
a1 L a l a b b b1 L b m a1 L a l b a a b1 L b m
a1 Lala b1 Lbm b c1 Lcn a1 Lal b b1 Lbm a a c1 Lcn
线
性
代
数
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行列式
第一节 行列式的定义
1 对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为
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线
性
代
数
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行列式
第一节 行列式的定义
一、 排列与逆序
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复 1 2 2 2 3 1 3 2 3 3 3种放法 2种放法 1种放法 共有 3 × 2 × 1 = 3!= 6 种放法. 问题 的排法？
线 性 代 数
数字的三位数？ 解 百位 1 十位 个位 1 1
b1 ≠ 0, 记 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a11 b1 a23 , D2 = a 21 b2 a33 a 31 b3
a13 a 23 , a 33
a11 D3 = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
b1 b2 . b3
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 = , D D3 D2 x2 = , x3 = . D D
a1 Lal ab b1 Lbm
对换a与b
a1 Lal ba ba b1 Lbm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 当a<b时， 经对换后a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a>b时，经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1, 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为
a1 L a l ab1 L bm bc1 L cn
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行列式
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线性代数
甄 新
线
性
代
数
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行列式
讨论有限维空间的线性理论
第一节 行列式的定义
第一章 行列式
第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质与计算
线
性
代
数
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行列式
第一节 行列式的定义
第一节 行列式的定义
一、 排列与逆序 二 、 对换 三 、 n阶行列式
∴ a1 Lal ab1 Lbm bc1 Lcn , a1 Lal bb1 Lbm ac1 Lcn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调
成标准排列的对换次数为偶数. 注
线 性 代
n个元素的全排列中, 奇偶排列各占一半.
数
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次序与标准次序不同时， 称有一个逆序. 即 在一个排列i1 i2 … it … is … in中， 如果it > is ， 则称这两个数组成一个逆序. 逆序 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4束
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第一节 行列式的定义
定义2
在n个不同元素的任一排列中，当某两个元素的
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行列式
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1二元方程组的Gramer法则
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 .
系数行列式
D=
a11 a 21
a12 a 22
,
D1 =
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
线 性 代 数
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行列式
第一节 行列式的定义
三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
1 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 + a 22 x 2 + a23 x3 = b2 , 的系数行列式 a x + a x + a x = b ; 32 2 33 3 3 31 1 a11 D = a21 a31 a12 a 22 a 32 a13 a23 a33
a11 b1 D2 = . a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1 x1 = a12 D1 b2 a22 = , a a D 11 12 a21 a22
a11 b1 a 21 b2 D2 x2 = = . a11 a12 D a 21 a 22
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注意
线 性
分母都为原方程组的系数行列式.
1三阶行列式的计算：对角线法则 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 21 a 22 a 23 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 . a 31 a 32 a 33
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积 冠以负号．
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第一节 行列式的定义
三、 n 阶行列式 1 二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 , (1) 用消元法解二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . (2) (1)× a22 : a11a22 x1 + a12 a22 x2 = b1a22 ,
(2)× a12 :
对角线法则
a12 a 22
1二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
a11
a12
= a11a22 − a12a21 .
b1 a22 − a12b2 a b −b a ， x2 = 11 2 1 21 . a11a22 − a12 a21 a11 a22 − a12 a21 线 性 代 数 x1 =
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把 n 个不同的元素排成一列 , 共有几种不同
Pn= n!
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行列式
第一节 行列式的定义
定义1
由n个自然数1,2，…，n组成的一个无重复的有序
数组i1 i2 … in , 称为一个n级排列. 如：32514是一个5级排列; 12345678是一个8级排列 . 规定： 由小到大的排列12…n，称为标准排列或自然排列. 定义2 在n个不同元素的任一排列中，当某两个元素的
a1 Lal a b1 Lbm b c1 Lcn
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第一节 行列式的定义
a1 Lal a b1 Lbm b c1 Lcn
m 次相邻对换
m + 1 次相邻对换 2m + 1次相邻对换
推论
a1 L al ab b1 L bmc1 Lcn a1 Lal b b b1 Lbm a a c1 Lcn
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τ = 0 + 1 + 1 + 0 + 4 = 6.
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第一节 行列式的定义
定义3 如果排列i1 i2 … in 的逆序数为奇数，则称它 为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列. [例2] 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
217986354 解 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 0 0 1 3 4 4 5
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此排列为偶排列.
(1)
τ = 1+ 0 + 0 + 1 + 3 + 4 + 4 + 5
= 18
(2)
解
n(n − 1)(n − 2)L 321
n4 −4 14 6 4 4 4 4 7 4 8 (n )( n − 1 n4 −4 2 )4 L 321 1 4 4 4 2 3 (n − 2 )
τ = (n − 1) + (n − 2) + L + 2 + 1
（3 ）
由方程组的四个系数确定.
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第一节 行列式的定义
定义5 由4个数排成2行2列的数表 a11 a12
a21 a22 记作 表达式 a11 a22 − a12 a21 称为该数表所确定的 二阶行列式，
a11 a21
a12 a22
= a11 a22 − a12 a21 .
1
a12 a21 x1 + a12 a22 x2 = b2 a12 ,
）x1 = b1 a22 − a12b2 ; 两式相减消去 x2，得 （a11a22 − a12 a21 （a11a22 − a12 a21 ）x2 = a11b2 − b1a21 , 类似地 ，消去 x ， 得
当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 时， 方程组的解为 b1 a22 − a12b2 a11b2 − b1 a21 x1 = ， x2 = . a11 a22 − a12 a21 a11 a22 − a12 a21
由 x 2 − 5 x + = 0 解得 x = 2 或 x = 3.
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第一节 行列式的定义
[例6]
解
1 D= 2
x1 − 2 x2 + x 3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x 2 + −3 x 3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
第一节 行列式的定义
逆序数计算方法
从左至右分别计算出排列中每个元素左边比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的 逆序数之和即为所求排列的逆序数. [例1] 求排列42351的逆序数. 解 此排列中,4排在首位,逆序数为0; 2的左边4比它大,故 逆序数为1;3的左边有一个比它大的数,其逆序数为1; 5的左边 没有比它大的数,故逆序数为0; 1的左边比它大的数有4个,故 其逆序数为4; 于是排列42351的逆序数为 4 2 3 5 1 0 1 1 0 4