二次根式(分层练习)(培优练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题2.20二次根式（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．与3(183)-最接近的整数是（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．化简二次根式2
2
a a a +-的结果是（）
A ．2
a --B ．－2
a --C ．2
a -D ．－2a -3．下列计算不正确的是（）
A ．35525-=
B 236
=C 7742
=D 363693
+==411
56+）
A ．
1130
B ．330
C ．
330
30
D ．11
5．下列各式中，不正确的是（）A 233(3)(3)->-B 33648
<C 2221
a a +>+D 2(5)5
-=6．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（233a ；（3642；（422(8)±；（51
65
-65+）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若a 、b 、c 为有理数，且等式23526a ++2a ＋999b ＋1001c 的值是（）
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．不能确定
8．若a 和b 都是正整数且a b <a b 是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）
①只存在一组a 和b 18a b =②只存在两组a 和b 75a b ；③不存在a 和b 260a b =④若只存在三组a 和b a b c =c
a
的值为49或64A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二
次根式中也有这样相辅相成的例子．如
22
3=
-
=，它们的积是有理数，
我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令
n A =n 为非负数），则()(
)
22
m n m n A A A A m n
+-=
=
-
=-；
1
n
m A A =
=
=
+．则下列选项正确的有（）个
①
若a 是7A 的小数部分，则3
a
2；②若
5454
4b c
A A A A -=-+（其中b
c 、为有理数），则15bc
=-；
2
=6
=④
122334202220231111123243202320222023
A A A A A A A A ++++=-
++++ A ．4B
．3C ．2D ．1
10．已知0a ，将0a 的整数部分加上0a 的小数部分的倒数得到1a ，再将1a 的整数部分加上1a 的小数部分的倒数得到2a ，以此类推可得到3
a ，4a ，……，n a
1
1
，所以111a =+=+）
①393
2
a =
；②2022a
③2019a a -=
47
450
+=
；
⑤123401230a a a a ++++=+ ．
A ．2个
B ．3个
C ．4个D
．5个
二、填空题
11．a ，b
为有理数，且a +=
a b +=．12．若(()22
m +的积是有理数，则无理数m
的值为．13
．已知y =，则()
()
2022
2023
x y x y +-的值为
．
14．已知n 是正整数
．．．．．，则满足条件的所有n 的值为．
15．若2021a a -+，则22021a -的值为．
16．化简：23a b =
17．把(a -(1)a -移入根号内得．
18．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，图中线段上一动点E ，若满足AE CE =，6AB =，
30BAC ∠=︒，则以AE 为边长的正方形面积是．
三、解答题19．计算：
；
(2)
))
2
2
21++
-．
20．计算
(1)
⎛÷ ⎝(2)((2
⨯-
21．已知x =
y =，求22x y y x +的值．
22．已知x＋y=－8，xy=8，求
a=2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
23．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知
a==
∵2
∴2
a-=．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1
；
（2
（3）若
24．阅读下列材料，然后回答问题．
①
一样的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：
===1)2
=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b =2，ab =-3，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x =a +b ，y =ab ，则2222 224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)
...+
(2)m 是正整数，a
b 222182322019a ab b ++=．求m ．
(3)
1=
参考答案
1．B
【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解．解：原式
3，∵49<54<64，
∴78<<，∵27.556.25=，
∴77.5<，
7，
3-最接近7-3即4，故选：B ．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
2．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
解：
20
2
a a ∴+<∴<-
a a ∴∙-故选B
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．3．D
解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知=，故正确；
=，故正确；
=
.
故选D.4．C
30
，故选C ．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.5．B
，故A 正确；
=4，故B 不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C 5=，可知D 正确.
故选B.6．B
解：根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）a =正确，故（2）正确；=8，
可知其平方根为±38=，故（4）不正确；
=，故（5）正确.
故选B.7．B
解：== a ++，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．C
是同类二次根式，进而得出答案．
解：①a 和b 都是正整数且a b <可以合并的二次根式，+=
+==
当2a =时8b =，
故该选项①正确；
==，当3a =，则48,b =当12a =，则27b =．故选项②正确；
==
当65a =时，65,
b =a b <，所以不存在，
故该选项③正确；④=
1∴=
当
49c a =时，17=，
6，36b a ∴=，
有无数a 和b 满足等式，故该选项④错误．故选：C ．
【点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．9．B
【分析】先估算出23<，则2a -，然后对
3
a
进行分母有理化即可判断①；根据
5454
4b c
A A A A -=-+)()24b c b c -++=，正在由b c 、为有理数，得到方程组
8
2b c b c -=⎧⎨
+=⎩
，解方程组即可得到答案；只需要根据2
=，推出
()1022
n n A A +-=-，即可判断③
1n n =-+，然后对原式裂项即可判断④．
解：由题意得7A =，
∵479<<，
∴23<<，
∴2a ，
∴)3
2
3
232
74
a =
=
-，故①错误；
∵5454
4b c
A A A A -=-+，
4
=+，
4
-，
∴
))
224
54
b c
-
=+-，
)()24b c b c -++=，∵b c 、为有理数，∴82
b c b c -=⎧⎨+=⎩，∴53
b c =⎧⎨=-⎩，∴15bc =-，故②正确；
2=，
∴
2=
∴()1022n n A A +-=-，
∴1022
n n A A ++=-，
6=，故③正确；
=
(
()()
2
2111n n n n n +=
+-+
(
()
11n n n +=
+1n n =
-
+，∴
122334202220231111
2324320232022A A A A A A A A ++++++++
=
+
12023
=-
，故④正确；故选B ．
【点拨】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．B
【分析】根据定义找到n a 的规律，再逐个判断即可．
解：由题意得，111a ==2
，小数部分为1
2
；22213a =+
+=，它的整数部分为4
1
；31
9442
2a =+
+
=，它的整数部分为5
，小数部分为1
2
；45516a =+
+=，它的整数部分为7
1
；
51157722a ++==，它的整数部分为8
68819a =+=，它的整数部分为10
1；
∴n
为奇数时，32n n a =，它的整数部分为1312322n n -++⨯=
，小数部分为1
2
；n
为偶数时，32n a n =，它的整数部分为232
4322
n n -++⨯=
1；
∴①393
2
a =
，正确；②2022a
1，错误；
③201930a a -=-
，正确；
+ 1113669493503
=+++⨯⨯⨯⨯⨯ 41119504590
⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，错误；⑤12340
a a a a ++++ ()()
13392440a a a a a a =+++
+++
)
361273660222⎛⎫=+++++ ⎪
⎪⎝⎭
()()
600
630=+1230=，正确；综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B ．
【点拨】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
11．2
1+，且a ，b 为有理数，求出1,1a b ==，进而得到2a b +=．
解：
1=
+∴1a =+ a ，b 为有理数
∴1,1
a b ==∴2
a b +
=故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
12
．【分析】对(()
22m
+进行化简，由题意令2m a
+=，（a 是有理数）即可求解．解：(()22m +
42m =++
(()
22m +的积是有理数，m 是无理数，
2m ∴+是有理数，
令2m a +=，（a 是有理数）
解得：(()(2264
m a a a ==-=+-+当260a +=即3a =-，
时m =
故答案为：【点拨】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．
13．
22
【分析】先利用二次根式有意义求得x 与y 的值，然后把x 与y 的值代入变形后的代数式求值即可．
解：∵y =+，
∴2020x x -≥⎧⎨-≥⎩
，解得2x =，
∴y ==∴()
()20222023x y x y +-()()()
20222022x y x y x y =+--()()()
2022x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦((2022222⎡⎤
=⎣⎦
2=
故答案为：2【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
14．9或7或1
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n 的取值范围，然后令182n -等于所有可能的平方数即可求解．
解：由题意得1820n -≥，
解得9n ≤，
∵n 是正整数，
∴1
n ≥∴19n ≤≤，
∴2218n ≤≤，
∴018216n ≤-≤，
是整数，
∴1820n -=或1821n -=或1824n -=或1829n -=或18216n -=，
解得9n =或172
n =
或7n =或92n =或1n =，∵n 是正整数，
∴9n =或7n =或1n =，
故答案为：9或7或1
【点拨】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
15．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a -2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
解：由题意得a -2022≥0，
∴a ≥2022，
∴|2021-a |=a -2021．
∵2021a a -+，
∴2021a a -=，2021=，
220222021a -=，
即22021a -=2022．
故答案为2022．
【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a 的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
16．-
【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab <0后，进行二次根式的化简即可．解：要使该二次根式有意义，则有
1
09ab
->22033ab a b a b ∴∴===-＜
故答案为：-【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab 后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
17．
【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a 的取值范围，根据()()11a a -=--，然后根据二次根式的乘法公式将(1)a -移入根号化简即可．解：根据二次根式有意义的条件可得：101
a -
≥-且1a ≠解得：1
a <则10a -<，10a ->
((11
a a -=--===
故答案为：【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
18．9或72-12
【分析】根据题意，点在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M ，根据点E 在,,AC AD AB 上，根据勾股定理解三角形，即可求解．
解：在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，
∴1,2
BAD DAC BAC BD CD ∠=∠=
∠=，∵AE CE
=∴E 在线段AC 的垂直平分线上，设AC 的中点为M
当点E 在AC 上时，则,E M 重合，
∵AE CE =，6AB AC ==，
∴以AE 为边长的正方形面积是9，
当E 在AD 上时，如图所示，
∵AE CE =，6AB AC ==，30BAC ∠=︒，
∴230DEC DAC BAC ∠=∠=∠=︒，
∴2CE CD =，
设AE EC a ==，则12DC a =，DE =，
∴1AD AE ED a ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭
，
在Rt ADC 中，222AC AD DC =+，
即2
2
2162a a ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
解得：272a -= ，
∴AE 为边长的正方形面积是72-当E 点在AB 上时，如图所示，
则30EAM ECM ∠=∠=︒，
∴2EM EC =，
∴MC ==，
∴EM =EC =，
∴AE EC ==
∴(2212AE ==，
AE 为边长的正方形面积是12，
故答案为：9或72-12．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．
19．
；(2)7-【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
（1=
((
=+=
（2）解：
))2221++-22221
=-+-+
5451
=-+-
7=-
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．(1)14
3
；(2)8-+【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可
解：（1）原式⎛=÷ ⎝14
3=
=14
3
=
（2）原式()4243272
=---+2129=-+
8=-+
【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．
21．970
【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
解：∵5
x ===-，5y ===+
∴原式
245240245240=-+++
970=．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
22．-
【分析】根据已知条件可知，x ，y 是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y 和xy 表示即可求解．
解：∵x ＋y =－8，xy =8，
∴x ＜0，y ＜0，
∴2==-=-=-
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y 和xy 表示，再整体代入求值．
23．（1（21-；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a 的值化简为1a =，进而可得到1a -=221a a -=，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1
=
=
2
=
=
（2）原式
1⋯1=-⋯
1；
（3）1
==+ a ，
1a ∴-=
2(1)2a ∴-=，
即2212a a -+=．
221a a ∴-=．
()
22481421
a a a a ∴-+=-+411
=⨯+5=．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
24
．(1)12
；(2)m =2；9=【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出2(21),1a b m ab +=+=再由222182322019a ab b ++=进行变形再求值即可；
（320=，然后可得
2481=+0≥≥，求出结果
解：（1）原式=
12
=
12
-=
，
（2）∵a b
∴22
2(21),1
a b m ab +==+=，
∵222182322019a ab b ++=，
∴222()18232019a b ++=，
∴2298a b +=，
∴24(21)100m +=，
∴251m =±-，
∵m 是正整数，
∴m =2．
（31=得出21=，
20=，
∵2481=+，
0≥≥，
9=．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。