2021人教版高中数学同步a版选修2-3(理科必考)模块练习题--2.2.2 事件的相互独立性

2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的相互独立性
基础过关练
题组一 条件概率
1.(2020北京昌平高三第三次月考)将三枚质地均匀的骰子各掷一次并观察其正面朝上的点数,设事件A 为“三个点数都不相同”,事件B 为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为( ) A.60
91 B.1
2
C.5
18
D.
91
216
2.(2019河南南阳高二期末)某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( ) A.2
5 B.3
5
C.12
D.23
3.(2019吉林长春实验中学高二期末)某市气象台统计,7月15日该市某区下雨的概率为4
15
,刮风的概率为2
15
,既刮风又下雨的概率为1
10
,设
事件A 表示这一天会下雨,事件B 表示这一天会刮风,那么P(A|B)=( ) A.1
2 B.3
4
C.25
D.38
4.(2019江西九江高二上学期期末)某射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6,已知该射击手第一次命中,则他第二次也命中的概率是( )
A.3
4B.4
5
C.3
5D.7
10
5.(2019内蒙古赤峰第二中学高二期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=( )
A.1
4 B.3
4
C.2
9 D.5
9
6.(2019重庆江津中学、合川中学等七校高二下学期期末联考)袋中装有10个形状、大小均相同的小球,其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球,记事件A为“第一次摸出的是红球”,事件B为“第二次摸出的是白球”,则P(B|A)=( )
A.2
5B.4
15
C.4
9D.5
9
7.(2019广西桂林高二期末)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )
A.0.75
B.0.6
C.0.52
D.0.48
8.(2019广东广州高二期末)从1、2、3、4、5、6中任取两个数,记事件A:取到的两个数之和为偶数,事件B:取到的两个数均为偶数,则P(B|A)=( ) A. B.1
4
C.1
3
D.12
9.(2019福建莆田六中高二上学期期中)已知P(B|A)=13
,P(A)=3
5
,则
P(AB)= .
题组二 事件的相互独立性的判断
10.(2019陕西咸阳高二期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不是相互独立事件的是( ) A.“两次得到的点数和是12” B.“第二次得到6点” C.“第二次的点数不超过3” D.“第二次的点数是奇数”
11.(2019天津耀华中学高二期末)设M,N 为两个随机事件,给出以下命题:(1)若M,N 为互斥事件,且P(M)=1
5
,P(N)=1
4
,则P(M ∪N)=9
20
;
(2)若P(M)=12
,P(N)=13
,P(MN)=1
6
,则M,N 为相互独立事件;
(3)若P(M )=12
,P(N)=13
,P(MN)=1
6
,则M,N 为相互独立事件;
(4)若P(M)=12
,P(N )=13
,P(MN)=1
6
,则M,N 为相互独立事件;(5)若
P(M )=12
,P(N )=13
,P(M N )=5
6
,则M,N 为相互独立事件.其中正确命题
的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
题组三 事件的相互独立性的应用
12.(2020天津高三上学期期中)现让两个实习生每人加工一个零件.已知他们加工的零件为一等品的概率分别为5
6
和3
4,两个零件是否加工
为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1
2
B.1
3
C.5
12
D.16
13.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过三个十字路口.已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是1
3,且在每个路口是否遇到红灯相互
独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率是( ) A.1
3
B.4
9
C.427
D.1
27
14.(2019福建莆田一中高二期中)为了提高学生的身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员正进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为3
4,若他前一球投不进则后一球投进的
概率为14
.若他第1个球投进的概率为3
4
,则他第3个球投进的概率为
( ) A.3
4
B.5
8
C.116
D.9
16
15.(2019北京大兴高二期末)甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,然后两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.
甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 0.5 丁
0.2
0.6
0.5
那么甲获得冠军且丙获得亚军的概率是( ) A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21
16.(2020四川广安、遂宁、资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试)某项羽毛球单打比赛采用三局两胜制,若运动员甲、乙两人进入了男子羽毛球单打决赛,假设甲每局比赛获胜的概率都为2
3,且每局比赛
是否获胜互不影响,则由此估计甲获得冠军的概率为 . 17.(2020湖南益阳高三上学期期末)在一个不透明的箱中装有形状、大小均相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人轮流从箱中摸球,每次摸取一个球,规则如下:若摸到绿球,则将此球放回箱中可继续再摸;
若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球.若甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是 .
18.(2020江西南昌第八中学高三上学期期末)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
19.(2019江西上饶高二月考)在一只布袋中装有形状、大小均相同的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是 .
20.一射击手对同一目标独立地进行4次射击,已知他至少命中一次的概率为80
81,则此射击手的命中率是 .
21.若事件A,B,C 相互独立,且P(AB)=16
,P(B C)=18
,P(AB C )=1
8
,则
P(B)= ;P(A B)= .
能力提升练
一、选择题
1.(2019湖南长沙一中高二月考,★★☆)在形状如图所示的两个游戏盘(图①是半径分别为2和4的两个同心圆,圆心为O;图②是正六边形,点P为其中心)中各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( )
A.1
16B.1
8
C.1
6
D.1
4
2.(2019广东广州执信中学上学期高二测试,★★☆)某公交线路的某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能且相互独立的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( )
A.2
3B.3
4
C.3
5
D.1
2
3.(2019四川成都第七中学高三一模,★★☆)如果{a n}不是等差数列,但∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为局部等差数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A为“{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5}”,事件B为“{x n}为局部等差数列”,则P(B|A)=( )
A.4
15B.7
30
C.1
5
D.1
6
4.(2019山东潍坊寿光现代中学高二期末,★★☆)在荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶上),如图所示,而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍.假设现在青蛙在A 叶上,则跳三次之后仍停在A 叶上的概率是( )
A.1
3
B.2
9
C.4
9
D.8
27
二、填空题
5.(★★☆)某家公司用三台机器A 1,A 2,A 3生产同一种产品,生产量分别占总产量的12,13,1
6,且其产品的不良率分别占其产量的
2.0%,1.2%,1.0%,则任取此公司的一件产品,其为不良品的概率是 ,若已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来的概率是 .
6.(★★☆)在一次象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为 .
7.(★★☆)甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,则比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,则比赛结束,乙胜出.已知每一局中甲、乙两人获胜的概率分别为2
5
、3
5,则甲胜出的概率为 .
8.(★★☆)甲袋中有形状、大小均相同的5个白球,7个红球;乙袋中有形状、大小均相同的4个白球,2个红球,从两个袋子中选出一袋,然后从其中任取一球,则取到白球的概率是.
三、解答题
9.(2019四川成都高二期末,★★☆)为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和
,至少他本人的才艺能力判断,该学生两个社团都能进入的概率为1
24
,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理进入一个社团的概率为3
8
社”的概率.
(1)求该同学通过考核选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2;
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的概率.
答案全解全析 基础过关练
1.A ∵P(A|B)=
P(AB)P(B),P(AB)= 60
6
3 =
518
,P(B)=1-P(B )=1-536
3=1-125216=
91
216
,
∴P(A|B)=P(AB)P(B)
=
51891216
=60
91
,故选A.
2.A 由题意,设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A)= C 5
2C 6
3= 10
20
= 1
2
,P(AB)= C 4
1C 6
3= 1
5
,所以P(B|A)=
P(AB)P(A)
= 2
5
,故选
A.
3.B 由题意,可知P(A)=415
,P(B)=215,P(AB)=1
10
,利用条件概率的计算
公式,可得
P(A|B)=P(AB)P(B)=1
10215
=34
,故选
B.
4.A 设该射击手第一次命中,第二次也命中的概率为P,∵该射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6, ∴0.8P=0.6,解得P=3
4.故选A.
5.A 易知事件AB 为“四名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”,
则P(AB)=A 3
34
4,P(A)=A 4
44
4,∴P(B|A)=
P(AB)P(A)
=A 334
4·44A 44=1
4
.
故选A.
6.C 由题意得,P(A)=610=3
5,
P(AB)=610
×49=4
15
,
所以P(B|A)=
P(AB)P(A)
=49
,故选C.
7.A 记事件A:该元件使用寿命超过1年,事件B:该元件使用寿命超过2年,
则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,因此,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概 率为P(B|A)=
P(AB)P(A)
=0.60.8
=0.75,故选A.
8.D 事件A 包含两种情况:取到的两个数均为奇数和取到的两个数均为偶数,所以P(A)=C 32+C 32C 6
2=2
5
,P(AB)=C 32C 62=1
5
,由条件概率的计算公式可
得,P(B|A)=P(AB)P(A)
=12
,故选D.
9.答案 1
5
解析 ∵P(B|A)=13
,P(A)=3
5
,
∴P(AB)=P(B|A)P(A)=15
,故答案为1
5
.
10.A “第二次得到6点”“第二次的点数不超过3”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而“两次得到的点数和是12”说明第一次和第二次都得到6点,故二者不是相互独立事件,故选A.
11.C 若M,N 为互斥事件,且P(M)=1
5
,P(N)=1
4
,则P(M ∪N)=15+1
4=9
20
,
故(1)正确;若P(M)=12
,P(N)=13
,P(MN)=1
6
,则由相互独立事件的定义可
知M,N 为相互独立事件,故(2)正确;若P(M )=12
,P(N)=13
,P(MN)=1
6
,则
P(M)=1-P(M )=1
2
,P(MN)=P(M)·P(N),所以M,N 为相互独立事件,故(3)
正确;若P(M)=12
,P(N )=13
,P(MN)=1
6
,则当M,N 为相互独立事件
时,P(N)=1-P(N )=23
,P(MN)=12
×23=13
≠1
6
,故(4)错误;若
P(M )=12
,P(N )=13
,P(M N )=56
,则P(M N )=P(M )×P(N )=12
×13=16
≠5
6
,
所以M,N 不是相互独立事件,故(5)错误.故选C.
12.B 记事件A 为“这两个零件中恰有一个一等品”,事件A 1为“仅第一个实习生加工的零件为一等品”,事件A 2为“仅第二个实习生加工的零件为一等品”,则P(A)=P(A 1)+P(A 2)=5
6
×14+1
6
×34=1
3
,故选B.
13.C 由题意知甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率P=(1-1
3)×(1-1
3)×13=4
27.故选C.
14.D 分以下两种情况讨论:
①第2个球投进,其概率为3
4
×34+1
4
×14=5
8
,第3个球投进的概率为5
8
×
34=1532
;
②第2个球投不进,其概率为1-58=38
,第3个球投进的概率为38
×14=332
. 综上所述,第3个球投进的概率为1532+3
32=9
16,故选D.
15.C 甲、乙比赛中甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛中丙获胜的概率是0.5,甲、丙决赛中甲获胜的概率是0.3,由相互独立事件的定义可知,甲获得冠军且丙获得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C. 16.答案
2027
解析 因为甲获胜的方式有2∶0和2∶1两种,所以甲获得冠军的概
率P=(23)2
+C 21
×2
3×1
3×23=20
27.故答案为20
27
.
17.答案
15128
解析 设“甲摸到绿球”为事件A,“甲摸到红球”为事件A ,“乙摸到绿球”为事件B,“乙摸到红球”为事件B ,则
P(A)=1
4
,P(A )=3
4
,P(B)=1
4
,P(B )=3
4
,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次
绿球的情况是AA A (B+B ),A A B A,A B AA,所以P=14
×14
×34
×1+14
×
34
×34
×14+34
×34
×14
×14=
15128
.故答案为
15
128
.
18.答案 0.245
解析 甲队以4∶1获胜包含的情况有:
①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率p 1=0.3×0.7×0.5×0.5×0.7=0.036 75;
②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率p 2=0.7×0.3×0.5×0.5×0.7=0.036 75;
③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率p 3=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75;
④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率p 4=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75,
则甲队以4∶1获胜的概率p=p 1+p 2+p 3+p 4=0.036 75+0.036 75+0.085 75+0.085 75=0.245. 故答案为0.245. 19.答案
831
解析 由题意,无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子的概率是1632=1
2,
第2次摸出绿棋子的概率是16
31
,由相互独立事件的定义可得,第1次摸
出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率P=12
×1631=831
.故答案为8
31
.
20.答案 2
3
解析 设此射击手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知,四次全都没有命中的概率为1-80
81=1
81
,所以(1-P)4
=181
,解得P=23
或P=4
3
(舍去),故答案为
23
.
21.答案 12;13
解析 由题意得,{
P(A)P(B)=1
6,P(B)P(C)=18,P(A)P(B)P(C)=18
, 又{P(B)+P(B)=1,P(C)+P(C)=1,所以{
P(A)=1
3,P(B)=1
2,P(C)=14, 所以P(A B)=P(A )P(B)=2
3
×12=1
3.
能力提升练
一、选择题
1.A 记一局游戏后,这两个盘中的小球分别停在其阴影部分为事件A 1,A 2,
由题意知,A 1,A 2相互独立,且P(A 1)=
1
4
π(42-22)42π
=316
,P(A 2)=1
3
,
所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A 1A 2)=P(A 1)·P(A 2)=3
16
×13=1
16.故选A.
2.A 设事件A 为“甲、乙两人不在同一站点下车”, 由题意知甲、乙两人同在A 1站点下车的概率为1
3
×13=1
9;
甲、乙两人同在A 2站点下车的概率为13
×13=1
9
;
甲、乙两人同在A 3站点下车的概率为13
×13=1
9
,
所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P(A )=3×19=13
,则P(A)=1-13=2
3
,
故选A.
3.C 由题意知,事件A 共包含C 54
·A 44=120个基本事件,事件B 共包含
24个基本事件,其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个,含3,2,1的也有3个,总共6个, 同理,含3,4,5的和含5,4,3的有6个, 含2,3,4的和含4,3,2的有4个, 含1,3,5的和含5,3,1的有8个, ∴P(B|A)=
24120=15
.故选C.
4.A 设按顺时针方向跳的概率为P,则按逆时针方向跳的概率为2P,由题意可得P+2P=3P=1,解得P=1
3
,即按顺时针方向跳的概率为1
3
,按逆
时针方向跳的概率为2
3
,若现在青蛙在A 叶上,跳三次之后仍停在A 叶
上,则需满足按逆时针方向跳三次或者按顺时针方向跳三次.①若按逆时针方向跳,则对应的概率为2
3
×2
3
×23=8
27;②若按顺时针方向跳,则
对应的概率为13
×13
×13=127
,则所求概率为8
27+127=1
3
,故选A.
二、填空题 5.答案
473 000;30
47
解析 由题意知,事件“任取此公司的一件产品,其为不良品”的概率P 1=1
2
×2.0%+1
3
×1.2%+1
6
×1.0%=
473 000
,
事件“已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来”的概率P 2=
1
2
×2.0%473 000
=30
47
.
6.答案 0.09
解析 乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,所以所求概率P=(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09. 7.答案
1625
解析 甲胜出的情况有两种,一种是甲第一局获胜,另外一种是甲第一局输了,第二局获胜.设事件A i 为“甲在第i 局获胜”(i=1,2),事件B 为“甲胜出”,则P(B)=P(A 1)+P(A 1A 2).依题意可得P(A 1)=P(A 2)=2
5,
因为两场比赛相互独立,所以P(A 1A 2)=P(A 1)×P(A 2)=35
×25=6
25
,从而
P(B)=25+625=16
25
.
8.答案 1324
解析 设事件A 为“取到甲袋”,事件B 为“取到白球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则此时取到白球的概率P 1=P(A)·P(B|A),依题意可得P(A)=1
2
,P(B|A)=5
12
,所以P 1=1
2
×5
12=5
24
;若取出的是乙袋,则
此时取到白球的概率P 2=P(A )·P(B|A ),依题意可得
P(A )=1
2
,P(B|A )=46=2
3
,所以P 2=1
2
×23=1
3
.综上所述,取到白球的概率
P(B)=P 1+P 2=13
24
.
三、解答题
9.解析 (1)由题意得
{p 1p 2=
1
24
,
1-(1-p 1)(1-p 2)=38,p 1<p 2,
解得{p 1=1
6,
p 2=14. (2)记该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ,易知ξ的所有可能取值为0,0.5,1,1.5.
又P(ξ=1)=(1-14)×16=18,P(ξ=1.5)=14×16=1
24
,
∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的 概 率P=18+124=1
6.。