高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲 几何综合
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练习4、一个六边形的6个内角都是120，并有连续的三边长均为6厘米．如果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？
例5．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，且 ， ．请问：四边形ABCD的面积是多少？
「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然 ，但它们并不是紧挨着的；虽然 ，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？
例题3. 答案：8
详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 ．由题意， ， ，所以 ．
例题4. 答案：42厘米
详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为 厘米．这样 ，而 ．六边形边长就等于 厘米．
第九讲 几何综合问题
例题：
例题1.答案：157平方厘米
详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为 ，我们只要能够求出 即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于 ，所以 ．由此可得圆环面积等于 ．
例题2. 答案：24厘米
详解：利用勾股定理可得 厘米，所以 厘米．长方形ABCD的面积等于 平方厘米，所以△BOC的面积等于 平方厘米．连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以 ，由此可得 厘米．
练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？
中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．
2.答案：6
简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于 ，由此可得正方形ABCD的对角线AC等于12，所以OC、OD长均为6．与例题2类似，连结OP，然后利用△OCD的面积等于 可得 ．
3. 答案：9；16
简答：如右侧左图所示，△PAB与△PDC是一对同底三角形（分别以AB和CD为底），他们的面积和等于“ ”．不难看出它们“高的和”就等于AD，所以它们的面积和就等于长方形ABCD面积的一半，由此可得长方形ABCD的面积为 ．△PAD的面积等于△PAB、△PBC及△PCD的面积之和减去长方形ABCD的面积，即 ．至于△PAC的面积，只要用总面积减去△ABC与△PCD的面积即可，等于 ．
例6．如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（ 取3.14，答案保留两位小数．）
「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．
作业
1. 如果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）8
2.通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．
三、图形运动．
能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．
例1．如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）
「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？
战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．
练习2、如图，在面积为72的正方形中，P为CD边上一点，PQ与BD垂直，PR与AC垂直．求PQ与PR的和．
例3．如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？
「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？
练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）
例2．如图，在长方形ABCD中， 厘米， 厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．
「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距离．但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢？
3. 答案：11；6
简答：△PCD与△PAB的面积差（即 ）等于长方形ABCD面积的一半，△PBC与△PAD的面积差等于长方形ABCD面积的一半．所以△PAD的面积为 ．△PAC的面积等于△PBC的面积减去△PAB及△ABC的面积，所以面积为 ．
4.答案：
简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为 厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为 ．
例4．如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．
「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？
第九讲几何综合问题
这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为 ，它的两倍为 ，则 ，以 为边长的正方形面积为 ．我们再来看几个用类似想法解决的问题．
2.如图2，等腰三角形ABC中， ， ． 为 边上的一点，DE与AB垂直，DF与AC垂直，那么DE与DF的和是多少4.8？
3.如图3，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为30，三角形PCD的面积为24．那么三角形PAD的面积是多少；三角形PAC的面积是多少？11，6
例题6. 答案：228.07
详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是 ；长方形FGBQ、BHIP、IJLM的面积之和是 ；60°的扇形BGH的面积为 ；PIMNO部分的面积为 ；所以总面积为 ．
练习：
1.答案：125.6平方厘米
简答：如一样．
4.答案：10厘米
简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为 ．记原六边形的最短边为a，最长边为b．那么 ．而由于正六边形周长为32，所以 ．由此可得b为 厘米．
作业：
1.答案：8
简答：圆环面积为： ，所以 ，阴影部分面积等于 ．
2.答案：4.8
简答：作BC边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD并利用等底三角形的面积和即可．
5. 答案：
简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．
本讲知识点汇总：
一、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．
1.圆与直角三角形中利用勾股定理．
2.同底三角形利用“ ”求面积和，“ ”求面积差．
3.不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．
二、辅助线与几何变换．
1.通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．
例题5. 答案：936
详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD左右翻转一下，变成了△BED，这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE与∠ADE就都是直角．接着连结AE，△ABE与△ADE都是直角三角形，AE是它们公共的斜边．根据勾股定理， ，由此可得 ．这样就可以分别求解△ABE与△ADE这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为 ．
4.一个六边形的6个内角都是120，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？85:96
68
5.右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率 ）
例5．如图，在四边形ABCD中， ， ， ，且 ， ．请问：四边形ABCD的面积是多少？
「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然 ，但它们并不是紧挨着的；虽然 ，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？
例题3. 答案：8
详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 ．由题意， ， ，所以 ．
例题4. 答案：42厘米
详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为 厘米．这样 ，而 ．六边形边长就等于 厘米．
第九讲 几何综合问题
例题：
例题1.答案：157平方厘米
详解：记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为 ，我们只要能够求出 即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于 ，所以 ．由此可得圆环面积等于 ．
例题2. 答案：24厘米
详解：利用勾股定理可得 厘米，所以 厘米．长方形ABCD的面积等于 平方厘米，所以△BOC的面积等于 平方厘米．连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以 ，由此可得 厘米．
练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？
中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．
2.答案：6
简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于 ，由此可得正方形ABCD的对角线AC等于12，所以OC、OD长均为6．与例题2类似，连结OP，然后利用△OCD的面积等于 可得 ．
3. 答案：9；16
简答：如右侧左图所示，△PAB与△PDC是一对同底三角形（分别以AB和CD为底），他们的面积和等于“ ”．不难看出它们“高的和”就等于AD，所以它们的面积和就等于长方形ABCD面积的一半，由此可得长方形ABCD的面积为 ．△PAD的面积等于△PAB、△PBC及△PCD的面积之和减去长方形ABCD的面积，即 ．至于△PAC的面积，只要用总面积减去△ABC与△PCD的面积即可，等于 ．
例6．如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（ 取3.14，答案保留两位小数．）
「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．
作业
1. 如果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）8
2.通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．
三、图形运动．
能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．
例1．如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）
「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？
战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．
练习2、如图，在面积为72的正方形中，P为CD边上一点，PQ与BD垂直，PR与AC垂直．求PQ与PR的和．
例3．如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？
「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？
练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（ 取3.14）
例2．如图，在长方形ABCD中， 厘米， 厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．
「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距离．但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢？
3. 答案：11；6
简答：△PCD与△PAB的面积差（即 ）等于长方形ABCD面积的一半，△PBC与△PAD的面积差等于长方形ABCD面积的一半．所以△PAD的面积为 ．△PAC的面积等于△PBC的面积减去△PAB及△ABC的面积，所以面积为 ．
4.答案：
简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为 厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为 ．
例4．如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．
「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？
第九讲几何综合问题
这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为 ，它的两倍为 ，则 ，以 为边长的正方形面积为 ．我们再来看几个用类似想法解决的问题．
2.如图2，等腰三角形ABC中， ， ． 为 边上的一点，DE与AB垂直，DF与AC垂直，那么DE与DF的和是多少4.8？
3.如图3，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为30，三角形PCD的面积为24．那么三角形PAD的面积是多少；三角形PAC的面积是多少？11，6
例题6. 答案：228.07
详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是 ；长方形FGBQ、BHIP、IJLM的面积之和是 ；60°的扇形BGH的面积为 ；PIMNO部分的面积为 ；所以总面积为 ．
练习：
1.答案：125.6平方厘米
简答：如一样．
4.答案：10厘米
简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为 ．记原六边形的最短边为a，最长边为b．那么 ．而由于正六边形周长为32，所以 ．由此可得b为 厘米．
作业：
1.答案：8
简答：圆环面积为： ，所以 ，阴影部分面积等于 ．
2.答案：4.8
简答：作BC边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD并利用等底三角形的面积和即可．
5. 答案：
简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．
本讲知识点汇总：
一、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．
1.圆与直角三角形中利用勾股定理．
2.同底三角形利用“ ”求面积和，“ ”求面积差．
3.不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．
二、辅助线与几何变换．
1.通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．
例题5. 答案：936
详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD左右翻转一下，变成了△BED，这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE与∠ADE就都是直角．接着连结AE，△ABE与△ADE都是直角三角形，AE是它们公共的斜边．根据勾股定理， ，由此可得 ．这样就可以分别求解△ABE与△ADE这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为 ．
4.一个六边形的6个内角都是120，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？85:96
68
5.右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率 ）