数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)

3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立， 那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题 不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径， 但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等， 最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 10－2－2 的框图表示为：
≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1.
∴a2＋b2＋c2≥13.
证法三：设 a＝13＋α，b＝13＋β，c＝13＋γ.
∵a＋b＋c＝1，
∴α＋β＋γ＝0.
∴a2＋b2＋c2＝13＋α2＋13＋β2＋13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2
直接证明与间接证明
1．直接证明 (1)_综__合__法___是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知 条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法． (2)__分__析__法___是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的
＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.
∴a2＋b2＋c2≥13.
(2)证明：∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤3a＋22＋1＝3a2＋3， 同理 3b＋2≤3b2＋3， 3c＋2≤3c＋2 3， ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤3a＋b2＋c＋9＝6. ∴原不等式成立．
【互动探究】
1．证明：若a，b>0，则lg a＋b≥ lga.＋lgb
条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
2．间接证明 _反__证__法__是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法， 它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止； ③断言假设不成立； ④肯定原命题的结论成立．
然成立，故原不等式成立．
【互动探究】
2．若 a>b>c>d＞0 且 a＋d＝b＋c，求证： d＋ a< b＋ c. 证明：要证 d＋ a< b＋ c， 只需证( d＋ a)2<( b＋ c)2， 即 a＋d＋2 ad<b＋c＋2 bc，因 a＋d＝b＋c， 只需证 ad< bc，即 ad<bc. 设 a＋d＝b＋c＝t， 则 ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0， ∴ad<bc 成立．从而 d＋ a< b＋ c成立．
分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程， 恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程． 混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍．要注意两种证明方 法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误．利用反证法证明问题 是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的．
【互动探究】 3．已知实数 x，y>0，且 x＋y>2，求证：1＋x y与1＋y x中至少有
一个小于 2.
证明：假设1＋x y≥2 且1＋y x≥2，得 1＋y≥2x,1＋x≥2y， 两式相加得：1＋y＋1＋x≥2x＋2y，即 x＋y≤2，与题设矛盾． 故原命题成立．
1．综合法是一种由因导果的证明方法，又叫顺推法．它常见 的书面表达形式是“∵…，∴…”或“…⇒…”．利用综合法证 明“若 A 则 B”命题的综合法思考过程可用如图 10－2－1 的框图 表示为：
1．若 0<a<1,0<b<1 且 a≠b，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最
大的是( A )
A．a＋b
B．2 ab
C．a2＋b2
D．2ab
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，应假设( B )
A．三个内角都不大于 60° B．三个内角都大于 60° C．三个内角至多有一个大于 60° D．三个内角至多有两个大，b>0 时，a＋2 b≥ ab，两边取对数， 得 lga＋2 b≥lg ab，又 lg ab＝lg2ab＝lga＋2 lgb， ∴当 a，b>0 时，lga＋2 b≥lga＋2 lgb.
考点2 分析法
例 2：已知 a＞0，求证： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，
图 10－2－2
分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从B上溯寻其论据， 如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4 等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其中之一B的论 据恰为已知条件，于是命题得证．
3．反证法是一种间接的方法，常常是利用直接证法如综合法、 分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反”．
只要证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2.

∵a＞0，故只要证

a2＋a12＋22≥a＋a1＋
22，

即 a2＋a12＋4
a2＋a12＋4≥a2＋2＋a12＋2 2a＋a1＋2，
从而只要证 2
a2＋a12≥ 2a＋a1，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，即 a2＋a12≥2，而该不等式显