2019年山西省太原市中考数学二模试卷及答案(Word版无水印)-学生版+教师版

2019年山西省太原市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
2．（3分）自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．325()a a =
B ．44a a -=
C ．2336()ab a b -=-
D ．632a a a ÷=
4．（3分）北京时间2019年4月10日人类首次直接拍摄到黑洞的照片，它是一个“超巨型”质量黑洞，位于室女座星系团中一个超大质量星系87M -的中心，距离地球5500万光年．数据“5500万光年”用科学记数法表示为( )
A ．4550010⨯光年
B ．805510⨯光年
C ．35.510⨯光年
D ．75.510⨯光年
5．小颖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签的正面写着一本数学著作的书名，分别是《九章算术》、《几何原本》、《周髀算经》、《海岛算经》．将这四张书签背面朝上洗匀后随机抽取一张，则抽到的书签上恰好写有我国古代数学著作书名的概率是( )
A ．34
B ．14
C ．13
D ．12
6．（3分）不等式组51001113
26x x x -⎧⎪⎨<-⎪⎩…的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．
C ．
D ．
7．（3分）据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，则根据题意列出的方程组为( )
A ．138.04(1 1.65%)(1 2.6%)138.04 2.53x y x y +=⎧⎨++-=-⎩
B ．138.04138.04 2.531 1.65%1 2.6%
x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪-+⎩ C ．138.04 2.53(1 1.65%)(1 2.6%)138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩
D ．138.04 2.532.6% 1.65%138.04 2.53x y x +=-⎧⎨-=-⎩ 8．（3分）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，若30ABC ∠=︒，则CAD ∠的度数为( )
A ．00l ︒
B ．105︒
C ．110︒
D ．120
9．（3分）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3,0)，对称轴为直线1x =．下列结论正确的是( )
A ．0abc <
B ．24b ac <
C ．0a b c ++>
D ．当0y <时，13x -<<
10．（3分）如图，在O 的内接正六边形ABCDEF 中，2OA =，以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点E ，得到AE ，连接CE ，OE ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．103π-
B ．2π-
C ．83π-
D ．43
π-二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化简2()()3x y x y y +--的结果为 ．
12．（3分）全国第二届青年运动会将于2019年8月至9月在山西举办，这是新中国成立以来我省承办的最大规模体育赛事，也是建国70周年的关键时间点举办的一次举国瞩目的体育盛会．我省要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加这次运动会，在选拔赛中两人各
射击10次，命中环数的平均数都是9环，方差2_S 甲，2_S 乙则射击成绩较稳定的是 ．（填
“甲”或“乙” )
13．（3分）按照一定规律排列的一列数依次是1，
65，1210，2017，3026，4237
⋯，此规律排下去，第n 个数是 ．
14．（3分）如图在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，边AB 在x 轴上，BC 边上的中线
AD 的反向延长线交y 轴于点(0,3)E ，反比例函数(0)k y x x =>的图象过点C ，则k 的值为 ．
15．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，2BC =，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接AF 、EF ，在点E 的运动过程中线段AF 的最小值为 ．
三、解答题（本大题含8个小题共75分）解答应写出必要的文字说明演算步骤或推理过程.
16．（10分）（1）计算：21|(3)2sin 60--+--︒；
（2）先化简，再求值：
2212(1)(2)1121x x x x x x x +++-÷+--+，其中12x =-．
17．（6分）已知：如图，四边形ABCD 是O 的内接矩形，4AB =，3BC =，点E 是劣弧CD 上的一点，连接AE ，DE ．过点C 作O 的切线交线段AE 的延长线于点F ，若30CDE ∠=︒，求CF 的长．
18．（10分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是20132018
-年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营收比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
（1）解读信息：
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
①2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业纪录，稳居亚洲乳业第一．这一年，伊利集团实现营业收人亿元，净利润亿元；
②求2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入（结果保留整数）；
③在20132018
-这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，理由是；
（2）拓展活动：
如图，同学们收集了伊利集团旗下“优酸乳、谷粒多、QQ星，安幕希”四种产品的商标图片（四张图片除商标图案外完全相同，分别记为A，B，C，)
D（见图3)．同学们用这四张卡片设计了一个游戏，规则是：将四张图片背面朝上放在桌上，搅匀后，由甲从中随机抽取一张，记下商标名称后放回；再次搅匀后，由乙从中随机抽取一张．若两人抽到的商标相同则甲获胜；否则，乙获胜，这个规则对甲乙双方公平吗？说明理由．
19．（7分）通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，
也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之
门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高
度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得
桥的拱门最高点A的仰角ACF
∠为30︒，再将无人机从C处竖直向
上升高200米到点D处，测得点A的俯角ADG
∠为45︒．已知点A，
B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距离桥面BE
的高度AB 1.41
≈
≈ 1.73)
20．（9分）根据《太原市电动自行车管理条例》的规定，2019年5月1日起，未上牌的电动自行车将禁止上路行驶，而电动自行车上牌登记必须满足国家标准．某商店购进了甲．乙两种符合国家标准的新款电动自行车．其中甲种车总进价为22500元，乙种车总进价为45000元，已知乙种车每辆的进价是甲种车进价的1.5倍，且购进的甲种车比乙种车少5辆．（1）甲种电动自行车每辆的进价是多少元？
（2）这批电动自行车上市后很快销售一空．该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆，将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售．设新购进甲种车m辆
剟，两种车全部售出的总利润为y元（不计其他
(2030)
m
成本）．
①求y与m之间的函数关系式；
②商店怎样安排进货方案，才能使销售完这批电动自行车
获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（7分）阅读下面材料，完成相应的任务：
（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是命题（填“真”或“假”)；
（2）小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；
（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若A B A B
=''，BC B C
=''，
''''，请在横线上填写两个关于“角”
='，，则四边形ABCD≅四边形A B C D
CD C D'
的条件，使该命题为真命题．
22．（13分）合与实践--探究图形中角之间的等量关系及相关问题．
问题情境：
正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE AP
⊥于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设(0135)
∠=．
DAPαα
∠=︒<<︒，QCEβ
初步探究：
（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了045α︒<<︒时的情形，射线AP 与边CD 交于点F ．他们得出此时α与β的关系是2βα=．借助这一结论可得当点Q 恰好落在线段BC 的延长线上（如图2)时，α= ︒，β= ︒；
深入探究：
（2）敏学小组的同学画出4590α︒<<︒时的图形如图3，射线AP 与边BC 交于点G ．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；
拓展延伸：
（3）请你借助图4进一步探究：①当90135α︒<<︒时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P 运动过程中，当αβ=时，PQ 的长为 ．
23．（13分）综合与探究：
如图1，Rt AOB ∆的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =．将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．
（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限）．设点G 的横坐标为m ．
①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为 ；
②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论； ③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC ∆全等，请直接写出点N 的坐标．
2019年山西省太原市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（3分）如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【解答】解：由图可知：B 点到原点的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是b ；
故选：B ．
2．（3分）自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
B 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．
故选：D ．
3．（3分）下列运算正确的是( )
A ．325()a a =
B ．44a a -=
C ．2336()ab a b -=-
D ．632a a a ÷= 【解答】解：326()a a =，
∴选项A 不符合题意；
43a a a -=，
∴选项B 不符合题意；
2336()ab a b -=-，
∴选项C 符合题意；
633a a a ÷=，
∴选项D 不符合题意．
故选：C ．
4．（3分）北京时间2019年4月10日人类首次直接拍摄到黑洞的照片，它是一个“超巨型”质量黑洞，位于室女座星系团中一个超大质量星系87M -的中心，距离地球5500万光年．数据“5500万光年”用科学记数法表示为( )
A ．4550010⨯光年
B ．805510⨯光年
C ．35.510⨯光年
D ．75.510⨯光年
【解答】解：5500万55000000=，
∴数据“5500万光年”用科学记数法表示为75.510⨯光年．
故选：D ．
5．小颖同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签的正面写着一本数学著作的书名，分别是《九章算术》、《几何原本》、《周髀算经》、《海岛算经》．将这四张书签背面朝上洗匀后随机抽取一张，则抽到的书签上恰好写有我国古代数学著作书名的概率是( )
A ．34
B ．14
C ．13
D ．12
【解答】解：这四张书签背面朝上洗匀后随机抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的书签上恰好写有我国古代数学著作书名的有3种结果，
∴抽到的书签上恰好写有我国古代数学著作书名的概率是34
， 故选：A ．
6．（3分）不等式组51001113
26x x x -⎧⎪⎨<-⎪⎩…的解集在数轴上表示正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：5100111326x x x -⎧⎪⎨<-⎪⎩
①②…
解不等式①得：2x …，
解不等式②得：1x >，
∴不等式组的解集为12x <…，
在数轴上表示为：
，
故选：C ． 7．（3分）据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，则根据题意列出的方程组为( )
A ．138.04(1 1.65%)(1 2.6%)138.04 2.53x y x y +=⎧⎨++-=-⎩
B ．138.04138.04 2.531 1.65%1 2.6%
x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪-+⎩ C ．138.04 2.53(1 1.65%)(1 2.6%)138.04x y x y +=-⎧⎨-++=⎩
D ．138.04 2.532.6% 1.65%138.04 2.53x y x +=-⎧⎨-=-⎩ 【解答】解：设2017年山西省夏粮产量为x 亿千克，秋粮产量为y 亿千克，
由题意知，138.04 2.53(1 1.65%)(1 2.6%)138.04
x y x y +=-⎧⎨-++=⎩． 故选：C ．
8．（3分）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，若
30ABC ∠=︒，则CAD ∠的度数为( )
A ．00l ︒
B ．105︒
C ．110︒
D ．120 【解答】解：AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
90903060BAC ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， CD 平分ACB ∠，
45BCD ∴∠=︒，
45BAD BCD ∠=∠=︒，
6045105CAD BAC BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故选：B ．
9．（3分）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3,0)，对称轴为直线1x =．下列结论正确的是( )
A ．0abc <
B ．24b ac <
C ．0a b c ++>
D ．当0y <时，13x -<<
【解答】解：抛物线开口向上，
0a ∴>， 对称轴为直线12b x a
=-
=， 20b a ∴=-<， 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
0c ∴<，
0abc ∴>，所以A 选项错误；
抛物线与x 轴有2个交点，
∴△240b ac =->，所以B 选项错误；
1x =时，0y <，
0a b c ∴++<，所以C 选项错误；
对称轴为直线1x =．
而点B 坐标为(3,0)，
A ∴点坐标为(1,0)-，
∴当0y <时，13x -<<，所以D 选项正确．
故选：D ．
10．（3分）如图，在O 的内接正六边形ABCDEF 中，2OA =，以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点E ，得到AE ，连接CE ，OE ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．103π-
B ．2π-
C ．83π-
D ．43
π-【解答】解：连接OB 、OC 、OD ，
2CAE S π==扇形， 1
12
AOC S ∆=⨯=
22BOC S ∆ 2120243603OBD
S ππ⨯==扇形，
410
22233
BOC AOC OBD CAE S S S S S πππ∆∆∴=-+-=---阴影扇形扇形； 故选：A ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）化简2()()3x y x y y +--的结果为 224x y - ．
【解答】解：原式2222234x y y x y =--=-，
故答案为：224x y -
12．（3分）全国第二届青年运动会将于2019年8月至9月在山西举办，这是新中国成立以来我省承办的最大规模体育赛事，也是建国70周年的关键时间点举办的一次举国瞩目的体育盛会．我省要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加这次运动会，在选拔赛中两人各射击10次，命中环数的平均数都是9环，方差2_S 甲，2_S 乙则射击成绩较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙” )
【解答】解：在选拔赛中两人各射击10次，命中环数的平均数都是9环，方差2_S 甲，2_S 乙，
22S S ∴>乙甲，
∴射击成绩较稳定的是乙；
故答案为乙．
13．（3分）按照一定规律排列的一列数依次是1，65，1210，2017，3026，4237
⋯，此规律排下去，第n 个数是 221
n n n ++ ． 【解答】解：一列数依次是1，
65，1210，2017，3026，4237⋯， ∴这列数是：12120⨯⨯-，23231⨯⨯-，34342⨯⨯-，45453⨯⨯-，56564⨯⨯-，67675
⨯⨯-，⋯， ∴第n 个数为：2222(1)(1)(1)11
n n n n n n n n n n n n n +++==+--+-++， 故答案为：221
n n n ++． 14．（3分）如图在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，边AB 在x 轴上，BC 边上的中线
AD 的反向延长线交y 轴于点(0,3)E ，反比例函数(0)k y x x
=>的图象过点C ，则k 的值为 6- ．
【解答】解：(0,3)E ，
3OE ∴=， AD 是Rt ABC ∆中斜边BC 上的中线，
AD DB DC ∴==，
DAB ABC ∴∠=∠，
90BAC AOE ∠==︒
ABC OAE ∴∆∆∽ ∴AB AC OA OE
=， 326OA AC AB OE ∴==⨯=， 又反比例函数的图象在第四象限，
6k ∴=-，
故答案为：6-．
15．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，2BC =，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接AF 、
EF ，在点E 的运动过程中线段AF 1 ．
【解答】解：如图，作DM BC ⊥于M ，FJ DM ⊥于J 交AB 于N ．
Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，2BC =，
24AC BC ∴==，AB ==
AD DC =．//DM AB ，
1
2
DM AB ∴==1BM CM ==， 易证四边形BMJN 是矩形，
1JN BM ∴==，
90FDJ EDM ∠+∠=︒，90EDM DEM ∠+∠=︒，
FDJ DEM ∴∠=∠，90FJD DME ∠=∠=︒，
()FJD DME AAS ∴∆≅∆，
FJ DM ∴==
1FN FJ JN ∴=+=
∴点F 在直线l 上运动（直线l 与直线AB 1)，
根据垂线段最短可知，当AF ⊥直线l 时，AF 1，
1．
三、解答题（本大题含8个小题共75分）解答应写出必要的文字说明演算步骤或推理过程.
16．（10分）（1）计算：21|(3)2sin 60--+--︒； （2）先化简，再求值：2212(1)(2)1121x x x x x x x +++-÷+--+，其中12x =-．
【解答】解：（1）21|(3)2sin 60--+--︒
11
()233=-- 11
()33
=-
=-
（2）2212(1)(2)1121
x x x x x x x +++-÷+--+
2
12(1)1(1)(1)(1)(2)
x x x x x x x +-=-++-++ 2111(1)x x x -=
-++ 211(1)x x x +-+=
+ 2
2(1)x =+， 当12x =-时，原式2281(1)2
==-+． 17．（6分）已知：如图，四边形ABCD 是O 的内接矩形，4AB =，3BC =，点E 是劣弧CD 上的一点，连接AE ，DE ．过点C 作O 的切线交线段AE 的延长线于点F ，若30CDE ∠=︒，求CF 的长．
【解答】解：连接
AC ，如图，
四边形ABCD 是O 的内接矩形，
90ABC ∴∠=︒，5AC ===， AC ∴为O 的直径，
CF 为切线，
AC CF ∴
⊥，
30CAE CDE ∠=∠=︒，
CF AC ∴=．
18．（10分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是20132018-年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营收比例情况统计
图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
（1）解读信息：
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
①2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业纪录，稳居亚洲乳业第一．这一年，伊利集团实现营业收人795.5亿元，净利润亿元；
②求2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入（结果保留整数）；
③在20132018
-这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，理由是；
（2）拓展活动：
如图，同学们收集了伊利集团旗下“优酸乳、谷粒多、QQ星，安幕希”四种产品的商标图片（四张图片除商标图案外完全相同，分别记为A，B，C，)
D（见图3)．同学们用这四张卡片设计了一个游戏，规则是：将四张图片背面朝上放在桌上，搅匀后，由甲从中随机抽取一张，记下商标名称后放回；再次搅匀后，由乙从中随机抽取一张．若两人抽到的商标相同则甲获胜；否则，乙获胜，这个规则对甲乙双方公平吗？说明理由．
【解答】解：（1）①由统计图可得，伊利集团实现营业收人795.5亿元，净利润64.4亿元；故答案为：795.5，64.4；
②795.5(183.2% 6.3%0.3%)81
⨯---≈亿，
答：2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入为81亿；
③在20132018
-这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是2017年，2019年伊利集团的净利润将比上一年增长14亿元，理由是因为2013年到2015数据发生突变，故参照
2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13，9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为14亿元；
故答案为：2017，14，因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13，9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为14亿元．
（2）画树状图如图所示，
由树状图可知，抽取商标的结果有16种，每种结果出现的可能性相同，两人抽到的商标相同的结果有4种，
所以，两人抽到的商标相同的概率
41 164
==，
∴甲获胜的概率为1
4
，乙获胜的概率为
13
1
44
-=，
13
44
≠，
∴这个规则对甲乙双方不公平．
19．（7分）通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得桥的拱门最高点A的仰角ACF
∠为30︒，再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处，测得点A 的俯角ADG
∠为45︒．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距
离桥面BE的高度AB 1.41
≈ 1.73)
≈
【解答】解：如图，作AM DE ⊥于M ．
90AMD AMC ∴∠=∠=︒，
在Rt ACM ∆中，90903060ACM ACF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
tan tan60AM ACM CM
∴∠=︒=
=
AM ∴， 在Rt ADM ∆中，90904545ADM ADG ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
tan tan 451AM ADM DM
∴∠=︒==，
AM DM ∴=，
由题意：200CD =米，
200CM ∴=，
73
CM ∴=≈（米)，
90ABE AME MEB ∠=∠=∠=︒，
∴四边形ABEM 是矩形，
7350123AB ME MC CE ∴==+=+=（米)．
答：通达桥拱门最高点A 距离桥面BE 的高度AB 约为123米．
20．（9分）根据《太原市电动自行车管理条例》的规定，2019年5月1日起，未上牌的电动自行车将禁止上路行驶，而电动自行车上牌登记必须满足国家标准．某商店购进了甲．乙两种符合国家标准的新款电动自行车．其中甲种车总进价为22500元，乙种车总进价为45000元，已知乙种车每辆的进价是甲种车进价的1.5倍，且购进的甲种车比乙种车少5辆．
（1）甲种电动自行车每辆的进价是多少元？
（2）这批电动自行车上市后很快销售一空．该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆，将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售．设新购进甲种车m 辆
(2030)m 剟，两种车全部售出的总利润为y 元（不计其他成本）．
①求y 与m 之间的函数关系式；
②商店怎样安排进货方案，才能使销售完这批电动自行车获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲种电动自行车每辆的进价是x 元，则乙种电动车的进价为1.5x 元，由题意得：
225004500051.5x x
=-， 解得：1500x =，
经检验，1500x =是原方程的解，
答：甲电动车的进价为每辆1500元．
（2）①设新购进甲种车m 辆，则乙电动车为(50)m -辆，
(20001500)(28001500 1.5)(50)5027500y m m m =-+-⨯-=-+
②5027500y m =-+，y 随x 的增大而减小，2030m 剟， ∴当20x =时，50202750026500y =-⨯+=最大元，
答：y 与x 的函数关系式为5027500y x =-+，当20x =时，利润最大，最大利润为26500元．
21．（7分）阅读下面材料，完成相应的任务：
（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形，由此判断命题①是 假 命题（填“真”或“假” )；
（2）小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；
（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若A B A B =''，BC B C =''，CD C D '=' ， ，则四边形ABCD ≅四边形A B C D ''''，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．
【解答】（1）解：连接AC ，延长BC 到E ，过点E 作//EF CD ，交AD 的延长线于点F ， 则E BCD ∠=∠，F ADC ∠=∠，
将四边形ABEF 平移得到四边形A B C D ''''，如图1所示：
则AB A B =''，A A ∠=∠'，B B ∠=∠'，C C ∠=∠'，D D ∠=∠'，
而BC B C ≠''，AD A D ≠''，
∴四边形ABCD 和四边形A B C D ''''不全等，
∴命题①是假命题，
故答案为：假；
（2）证明：连接BD ，B D ''，如图2所示：
在ABD ∆和△A B D '''中，AB A B A A DA D A =''⎧⎪∠=∠'⎨⎪=''⎩
，
ABD ∴∆≅△()A B D SAS '''，
BD B D ∴=''，ABD A B D ∠=∠'''，ADB A D B ∠=∠'''，
在BCD ∆和△B C D '''中，BC B C BD B D CD C D =''⎧⎪=''⎨⎪=''⎩
，
BCD ∴∆≅△()B C D SSS '''，
C C ∴∠=∠'，CB
D C B D ∠=∠'''，BDC B D C ∠=∠'''，
ABC ABD CBD ∠=∠+∠，A B C A B D C B D ∠'''=∠'''+∠'''，CDA ADB BDC ∠=∠+∠，C D A A D B B D C ∠'''=∠'''+∠'''，
ABC A B C ∴∠=∠'''，CDA C D A ∠=∠'''，
∴四边形ABCD ≅四边形A B C D ''''；
（3）解：若AB A B =''，BC B C =''，CD C D '='，B B ∠=∠'，C C ∠=∠'，则四边形ABCD ≅四边形A B C D ''''；理由如下：
连接AC 、A C ''，如图3所示：
在ABC ∆和△A B C '''中，AB A B B B BC B C =''⎧⎪∠=∠'⎨⎪=''⎩
，
ABC ∴∆≅△()A B C SAS '''，
AC AC ∴=''，BAC B AC ∠=∠'''，BCA B C A ∠=∠'''，
C C ∠=∠'，
ACD AC D ∴∠=∠'''，
在ACD ∆和△AC D '''中，AC A C ACD A C D CD C D =''⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=''⎩
，
ACD ∴∆≅△()A C D SAS '''，
AD A D ∴=''，D D ∠=∠'，CAD C A D ∠=∠'''，
BAD BAC CAD ∠=∠+∠，B A D B AC C A D ∠'''=∠'''+∠'''，
BAD B A D ∴∠=∠'''，
∴四边形ABCD ≅四边形A B C D ''''，
故答案为：B B ∠=∠'，C C ∠=∠'．
22．（13分）合与实践--探究图形中角之间的等量关系及相关问题．
问题情境：
正方形ABCD 中，点P 是射线DB 上的一个动点，过点C 作CE AP ⊥于点E ，点Q 与点P 关于点E 对称，连接CQ ，设(0135)DAP αα∠=︒<<︒，QCE β∠=．
初步探究：
（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了045α︒<<︒时的情形，射线
AP
与边CD 交于点F ．他们得出此时α与β的关系是2βα=．借助这一结论可得当点Q 恰好落在线段BC 的延长线上（如图2)时，α= 30 ︒，β= ︒；
深入探究：
（2）敏学小组的同学画出4590α︒<<︒时的图形如图3，射线AP 与边BC 交于点G ．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；
拓展延伸：
（3）请你借助图4进一步探究：①当90135α︒<<︒时，α与β之间的等量关系为 ； ②已知正方形边长为2，在点P 运动过程中，当αβ=时，PQ 的长为 ．
【解答】初步探究：
解：（1）连接PC ，如图2所示：
点Q 与点P 关于点E 对称，
EP EQ ∴=，
CE AP ⊥，
CE ∴垂直平分PQ ，
CP CQ ∴=，
QCE PCE ∴∠=∠，
四边形ABCD 是正方形，
AB BC CD DA ∴===，90BAD ∠=︒，//AD BC ，45ABD CBD ∠=∠=︒，
在ABP ∆和CBP ∆中，AB BC ABP CBP BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABP CBP SAS ∴∆≅∆，
BAP BCP ∴∠=∠，
//AD BC ，
CQE DAP α∴∠=∠=，
CE AP ⊥，
90CQE QCE ∴∠+∠=︒，即90αβ+=︒①，
90CQE BAP ∠+∠=︒，
QCE BAP BCP ∴∠=∠=∠，
BCP CQE CPQ ∠=∠+∠，
2βα∴=②，
由①②得：30α=︒，60β=︒；
故答案为：30，60；
深入探究：
解：（2）α与β的关系是2(90)βα=︒-；理由如下：
连接PC ，如图3所示：
点Q 与点P 关于点E 对称，
EP EQ ∴=，
CE AP ⊥，
CE ∴垂直平分PQ ，
CP CQ ∴=，
QCE PCE ∴∠=∠，
四边形ABCD 是正方形，
AB BC CD DA ∴===，90BAD ∠=︒，45ABD CBD ∠=∠=︒，
在ABP ∆和CBP ∆中，AB BC
ABP CBP BP BP
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ABP CBP SAS ∴∆≅∆，
90BAP BCP BAD DAP α∴∠=∠=∠-∠=︒-，AP CP =，
90ABG CEG ∠=∠=︒，
90BAP AGB ∴∠+∠=︒，90GCE CGE ∠+∠=︒，
AGB CGE ∠=∠，
BAP GCE ∴∠=∠，
90BCG GCE α∴∠=∠=︒-，
22(90)QCE GCE α∴∠=∠=︒-，
即：2(90)βα=︒-；
拓展延伸：
解：（3）①当90135α︒<<︒时，α与β之间的等量关系为2(90)βα=-︒；理由如下： 连接PC ，设CE 交AB 于点H ，如图4所示：
点Q 与点P 关于点E 对称，
EP EQ ∴=，
CE AP ⊥，
CE ∴垂直平分PQ ，
CP CQ ∴=，
PCE QCE β∴∠=∠=，
四边形ABCD 是正方形，
AB BC CD DA ∴===，90BAD ∠=︒，45ABD CBD ∠=∠=︒，
ABP CBP ∴∠=∠，
在ABP ∆和CBP ∆中，AB BC
ABP CBP BP BP
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ABP CBP SAS ∴∆≅∆，
90BAP BCP DAP BAD α∴∠=∠=∠-∠=-︒，
90AEH CBH ∠=∠=︒，
90BAP AHE ∴∠+∠=︒，90BCH BHC ∠+∠=︒，
AHE CHB ∠=∠，
BAP BCH ∴∠=∠，
90BCP BCH BAP α∴∠=∠=∠=-︒，
22(90)QCE PCE BCP α∴∠=∠=∠=-︒，
即：2(90)βα=-︒；
故答案为：2(90)βα=-︒；
②当045α︒<<︒时，2βα=，不合题意；
当4590α︒<<︒时，2(90)βα=︒-，
αβ=，
60αβ∴==︒，
作PM AD ⊥于M ，如图5所示：
9030APM α∠=︒-=︒，45PDM ∠=︒，
1
2
AM AP ∴=，DM PM =，
设AM x =，则2CP AP x ==，DM PM =，
2AD =，
2x ∴=，
解得：1x =-，
22CP AP x ∴===，
2120PCQ β∠==︒，CP CQ =，CE AP ⊥，
30CPE ∴∠=︒，PE QE =，
1
12
CE CP ∴==，3PE ==
26PQ PE ∴==-
当90135α︒<<︒时，2(90)βα=-︒，
αβ=，
180αβ∴==︒，不合题意；
综上所述，在点P 运动过程中，当αβ=时，PQ 的长为6-
故答案为：6-
23．（13分）综合与探究：
如图1，Rt AOB ∆的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =．将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．
（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限）．设点G 的横坐标为m ．
①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为 143
m -+ ； ②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论； ③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与
FHC ∆全等，请直接写出点N 的坐标．
【解答】解：（1）4OA =，2OB = (0,4)A ∴，(2,0)B
线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC AB BC ∴=，90ABC ∠=︒
90ABO DBC ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒ DBC OAB ∴∠=∠
CD x ⊥轴于点D
90BDC AOB ∴∠=∠=︒
在BDC ∆与AOB ∆中
BDC AOB DBC OAB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDC AOB AAS ∴∆≅∆
4BD OA ∴==，2CD OB == 6OD OB BD ∴=+=
(6,2)C ∴
抛物线23y ax x c =++经过点C 、点(0,2)E
∴00236182c a c ++=⎧⎨++=⎩ 解得：122
a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为21
322
y x x =-++
（2）①(0,4)A
∴设直线AC 解析式为4y kx =+
把点C 代入得：642k +=，解得：13
k =- ∴直线1
:43
AC y x =-+ 点G 在直线AC 上，横坐标为m
143
G y m ∴=-+ 故答案为：143
m -+． ②AB BC =，BG AC ⊥ AG CG ∴=，即G 为AC 中点 (3,3)G ∴
设直线BG 解析式为y gx b =+ ∴2033g b g b +=⎧⎨+=⎩ 解得：36g b =⎧⎨=-⎩ ∴直线:36BG y x =- 直线BG 与抛物线交点为F ，且点F 在第一象限 ∴2132236
y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-⎩ 解得：1146x y =⎧⎨=⎩ 22418x y =-⎧⎨=-⎩（舍去） (4,6)F ∴
判断四边形ABCF 是正方形，理由如下： 如图1，过点F 作FP y ⊥轴于点P ，PF 延长线与DC 延长线交于点Q 4PF ∴=，6OP DQ ==，6PQ OD == 642AP OP OA ∴=-=-=，642FQ PQ PF =-=-=，624CQ DQ CD =-=-=
AF ∴=
FC =
BC AB =AB BC CF AF ∴=== ∴四边形ABCF 是菱形 90ABC ∠=︒
∴菱形ABCF 是正方形 ③直线1:43
AC y x =-+与x 轴交于点H
- 31 - 1403
x ∴-+=，解得：12x = (12,0)H ∴
222(64)(26)20FC ∴=-+-=，222(126)(02)40CH =-+-= 设点N 坐标为(,)s t
222(4)(6)FN s t ∴=-+-，222(12)(0)NH s t =-+- )i 如图2，若FHC FHN ∆≅∆，则FN FC =，NH CH =
∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩ 解得：11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22
62s t =⎧⎨=⎩（即点)C 42(5
N ∴，26)5 )ii 如图3，4，若FHC HFN ∆≅∆，则FN CH =，NH FC =
∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩ 解得：1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22104
s t =⎧⎨=⎩ 38(5N ∴，4)5
或(10,4) 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC ∆全等时，点N 坐标为42(5
，
26)5或38(5，4)5
或(10,4)．。