四川省宜宾市2019届高三二诊模拟考试数学(文)试题

四川省宜宾市2019届高三二诊模拟考试
数学（文）试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题60分)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}2,1,0,1-=A ，{}
0)2)(1(<-+=x x x B ，则=B A A ．{}2,1,0,1- B ．{}1,0,1- C ．{}0,1- D ．{}1,0 2．在复平面内，复数
1
2
-i 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．函数9log )(33-+=x x x f 的零点所在区间是 A ．
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．
4．在平面直角坐标系y O x --中，角α的终边与单位圆交点的横坐标为2
3
-
，则=α2c
o s A ．23-
B ．2
3
C ．21-
D ．21
5．为了得到1)4
3sin(2++=π
x y 的图象，只需把函数13sin 2+=x y 的图象上所有的点
A ．向左平移
4π个单位长度 B ．向右平移4π
个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12
π
个单位长度
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．2812+ B ．2612+ C ．2614+ D ．2816+
7．设实数x ，y 满足621x y
y x x ≤⎧⎪
≤-⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-+的最小值为
A
．2 C ．-2 D ．1
8 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
22()4(0)x m y m -+=>
截得的线段长为m 的值为
A ．3
B ．1 C
．2
9．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)2()2(+=-x f x f ，当)0,2(-∈x 时，
x x f 2)(-=，则=+)4()1(f f
A ．21-
B ．2
1
C ．-1
D ．1 10．已知点O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且03
=++OC OB OA ，则
A ．21=
B ．32=
C ．21-=
D ．OD AO 3
2
-= 11.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为c b a ，，，三角形的面积S 可由公式))()((c p b p a p p S ---=
求得，其中p 为三角
形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足
812==+c b a ，，则此三角形面积的最大值为
A. 54
B.154
C.58
D.158 12.已知函数()x x x f -=sin ，则使得())2
1(2f f x
>成立的x 的取值范围是
A. （-1，1）
B.（-∞，-1）
C.（-∞，-1）∪（1，+∞）
D.
（1，+∞）
第II 卷（非选择题90分)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 ．
14．函数()2cos 2f x x x =- 0,
2x π⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的最大值是__________． 15.设P 是曲线1C 上的任一点，Q 是曲线2C 上的任一点，称PQ 的最小值为曲线1C 与曲线
2C 的距离，求曲线11:x C y e -=与直线2:1C y x =-的距离为 ．
16.若数列{}n a 满足：1n n a a ++，若数列{}n a 的前99项之和为100a = ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本大题共12分）
ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
ABC △的面积为S ，若22
2b c a =+-． （Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若2a =，b =C ．
18．（本大题共12分）
某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位:盒，
100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位:元）表示这个开学季内经销该
产品的利润.
（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数； （Ⅱ）将y 表示为x 的函数；
（III ）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率.
19.（本大题共12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,BF DE =,
点M 为棱AE 的中点.
（Ⅰ）求证：平面//BMD 平面EFC ；
（Ⅱ）若1,2AB BF ==,求三棱锥A CEF -的体积.
20．（本大题共12分）
已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆2
2
430F x y x +-+=：的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于,A D 两点，交圆F 于,B C 两点， ,A B 在第一象限， ,C D 在第四象限. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使2BC 是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不
存在，请说明理由.
21．（本大题共12分）
已知函数()3x
f x e ax =+-,曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为2y =-．
（Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）用[]m 表示不超过实数
m 的最大整数, 如:[][]0,30,1,32=-=-, 若0
x >时,()2x
m x e m -<+,求[]m 的最大值．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分.
22． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ （Ⅰ）求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线11:()6
3
OM ππ
θθθ=≤≤与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求||||
O P O Q ⋅的范围．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；
（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且
1
22
a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.
数学（文）试题答案
一．选择题
1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B 二．填空题
13．9 14． 1
4- 15．2
2
16. 10-三．解答题
17．（1）∵ABC △
中，2221
sin 22b c a bc A bc A +-===，
∴222
cos 2b c a A A bc
+-=
，∴tan A =
， ∵0A <<π，∴6
A π
=；．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）∵2a =
，b =6
A π
=
， ∴由
sin sin a b
A B
=
得1
sin 2sin 2b A B a === ∵506B π<<，且B A >，∴3B π=或23
π
， ∴2C π=
或6
π．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解解：（1）需求量为[)100,120的频率0.005200.1=⨯=， 需求量为[)120,140的频率0.01200.2=⨯=， 需求量为[)140,160的频率0.015200.3=⨯=， 需求量为[)160,180的频率0.0125200.25=⨯=， 需求量为[)180,200的频率0.0075200.15=⨯=. 则平均数
1100.11300.21500.31700.251900.15153x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.．．．．．．．．．．．．4分
（2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100160x ≤≤时，()3010160401600y x x x =-⨯-=-，．．．．．．．．．．．．6分
当160200x <≤时，160304800y =⨯=，所以
401600,100160
4800,160200
x x y x -≤≤⎧=⎨
<≤⎩．．．．．．．．．．．．9分 （3）因为利润不少于4000元，解得4016004000x -≥，解得140x ≥.．．．．．．．．．．．．11分 所以由（1）知利润不少于4000元的概率10.30.7p =-=.．．．．．．．．．．．．12分
19．解：（1）证明：设AC 与BD 交于点N ,则N 为AC 的中点, ∴//MN EC .
∵MN ⊄平面EFC ,EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .
∵BF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD ,且BF DE =， ∴//BF DE ,
∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC , EF ⊂平面EFC , ∴//BD 平面EFC . 又∵MN BD N ⋂=,
∴平面//BDM 平面EFC .．．．．．．．．．．．．6分
（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥, 又∵BF ⊥平面ABCD ,∴BF AC ⊥. ∵BF BD B ⋂=,
∴平面BDEF ，且垂足为N ，
∴111223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅==，
∴三棱锥A CEF -的体积为23
.．．．．．．．．．．．．12分
20．解：（1）根据已知设抛物线E 的方程为22(0)y px p =>.．．．．．．．．．．．1分
∵圆F 的方程为()2
2
21x y -+=，．．．．．．．．．．．2分
∴圆心F 的坐标为()2,0F ，半径1r =.∴
p
22
=，解得4p =.．．．．．．．．．．．3分 ∴抛物线E 的方程为28y x =.．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）∵2BC 是AB 与CD 的等差中项，∴AB 4428CD BC r +==⨯=. ∴AD AB 10BC CD =++=.
若l 垂直于x 轴，则l 的方程为2x =，代入28y x =，得4y =±. 此时12AD y 810y =-=≠，即直线2x =不满足题意.
若l 不垂直于x 轴，设l 的斜率为k ，由已知得0k ≠， l 的方程为()2y k x =-. 设()()1122,,,A x y B x y ，由()2
2{
8y k x y x
=-=得()2222
4840k x k x k -++=. ∴2122
48
k x x k ++=.．．．．．．．．．．．．．．6分
∵抛物线E 的准线为2x =-，
∴()()1212AD AF 224DF x x x x =+=+++=++，
∴22
48
410k k
++=，解得2k =±.．．．．．．．．．．．．．．9分 当2k =±时， ()
22224840k x k x k -++=化为2
640x x -+=，．．．．．．．．．．．．．．10分
∵()2
64140∆=--⨯⨯>，∴2
640x x -+=有两个不相等实数根.
∴2k =±满足题意，即直线()22y x =±-满足题意.
∴存在满足要求的直线l ，它的方程为240x y --=或240x y +-=.．．．．．．．．．．．．．．12分
21．解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞,因为()'x
f x e a
=+,由已知得
()'00,1f a =∴=-,由()'10x f x e =->得0x >,由()'0f x <得0x <,所以函数()
f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）0x >时, 不等式()2x
m x e m -<+等价于21
x x xe m e +<-,
令()()()()
232
,'11x x x x x e e x xe g x g x e e --+=∴=--,．．．．．．．．．．．．．．6分 由（1）得()3x
u x e x =--在()0,+∞上单调递增，
又因为()()()10,20,'u u g x <>∴在()0,+∞上有唯一零点0x ,且012x <<,当()01,x x ∈时,()'0g x <,
当()0x x ∈+∞时,()'0g x >, 所以()g x 的最小值为()0g x , 由()0'0g x =得
()()000000032
3,12
x x x e x g x x x ++=+∴=
=++,由于012x <<,()023g x ∴<<,因为
()0m g x <,所以[]m 最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（Ⅰ）圆C 的普通方程是22(2)4,x y -+=又cos ,sin .x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程是
4cos .
ρθ=
--------------------- 5分
（Ⅱ）设11(,),P ρθ则由114cos ,ρθ=设22(,),Q ρθ且直线l
的方程是(sin )ρθθ=则有
2ρ所
以
12||||[2,3]
OP OQ ρρ==
=
---------------10分
23.解：（1）()211f x x x =++-13,212,123,1x x x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=+-<<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
.．．．．．．．．．．．2分
∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩或112
23
x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1
33x x ≥⎧⎨≥⎩.．．．．．．．．．．．4分 解得1x ≤-或1x ≥.
∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞.---------------5分 （2）由（1），可知当12x =-时，()f x 取最小值32，即3
2
m =. ∴
13
222
a b c ++=. 由柯西不等式，有2
2
2
222
1
()[()12]2
a b c ++++2
1(2)2
a b c ≥++.
∴2
2
2
37a b c ++≥
. 当且仅当22c a b ==，即17a =，27b =，4
7
c =时，等号成立.
∴222
a b c ++的最小值为3
7.---------------10分。