2019版高考数学(理)第一轮复习课件：导数在研究函数中的应用

x2 解 (1)当 a＝－1 时， f(x)＝－ln x＋ ＋3， 定义域为(0， 2 1 ＋∞)．则 f′(x)＝－ ＋x. x
f′x＜ 0， 由 得 0＜x＜1.所以函数 f(x)的单调递减区 x＞ 0，
间为(0,1)．
(2)因为函数 f(x)在 (0，＋ ∞)上是增函数，所以 f′(x) a ＝ ＋x＋a＋1≥0 在(0，＋∞)上恒成立，所以 x2＋(a＋1)x x ＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0 在(0，＋∞)上恒成立． 因为 x＋1＞0，所以 x＋a≥0 对 x∈(0，＋∞)恒成立， 所以 a≥0.即实数 a 的取值范围是[0，＋∞)．
解析
f′(x)＝ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝0.令 f′(x)
－1
＞0，得 x＞0，令 f′(x)＜0，得 x＜0，则函数 f(x)在(－1,0) 上单调递减，在 (0,1)上单调递增， f(－1)＝ e ＋ 1， f(1)＝ e 1 1 － 1 ， f(－ 1)－ f(1)＝ ＋ 2－ e＜ ＋ 2 － e＜ 0，所以 f(1)>f(－ e 2 1)．故选 D.
)
2 1 x－2 解析 f′(x)＝－ 2＋ ＝ 2 ，∵x>0，∴当 x>2 时， x x x f′(x)>0，f(x)是增函数；当 0<x<2 时，f′(x)<0，f(x)是减函 数，∴x＝2 为 f(x)的极小值点．
4． [2018· 苏锡常镇一调]f(x)＝ex－x(e 为自然对数的底数 ) 在区间[－1,1]上的最大值是( 1 A．1＋ e C．e＋1 B ．1 D．e－1 )
第2章
函数、导数及其应用
第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 函数的导数与单调性的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数．
1．函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值． (2)将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较， 其中 最大 的一个是最大值，最小 的一个是最小值．
2．函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附 近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函数的 极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
考点 3
函数的最值与导数
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例 1 ＋1)x＋3.
利用导数研究函数的单调性
1 2 [2018· 大庆模拟]已知函数 f(x)＝a ln x＋ x ＋(a 2
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数 a 的 取值范围．
考点 2
函数的极值与导数
1．函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值 都小 ，且 f′(a)＝0，而且在 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点 a 叫做函数的 极小值点，f(a)叫做函数的极小值；
5．[2017· 浙江高考]函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图 象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
解析
观察导函数 f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值
从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0，
∴对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增． 观察选项可知，排除 A，C. 如图所示，f′(x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2，x3，且 x1，x3 是极小值点，x2 是极大值点，且 x2>0，故 选项 D 正确．故选 D.
1 3 2 6．[课本改编]函数 f(x)＝ x －x －3x－1 的图象与 x 轴 3
3 的交点个数是________ ．
解析 f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，
－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由 f(x) 2 极小值＝ f(3)＝－ 10＜0， f(x)极大值＝ f(－ 1)＝ ＞ 0，知函数 f(x)的 3 图象与 x 轴的交点个数为 3.
2． [课本改编]函数 y＝x2(x－3)的单调递减区间是( A．(－∞，0) C．(0,2)
解析
)
B．(2，＋∞) D．(－2,2)
y′＝3x2－6x，由 y′＜0，得 0＜x＜2.
2 3．[课本改编]设函数 f(x)＝ ＋ln x，则( x 1 A．x＝ 为 f(x)的极大值点 2 1 B．x＝ 为 f(x)的极小值点 2 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x) ex (ax2 － 2x ＋ 2)(a＞0)．试讨论 f(x)的单调性．
[必会结论] 1．若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]内一定 有最值． 2．若函数 f(x)在[a，b]内是单调函数，则 f(x)一定在区 间端点处取得最值． 3．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相 应的极值点一定是函数的最值点．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1 2 (1)函数 y＝ x －ln x 的单调减区间为(－1,1)．( × ) 2 (2)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函 数 y＝f(x)的极值．( × ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不 一定是极小值．( √ )