《1.7相关性》课件1-优质公开课-北师大必修3精品

• 利用线性回归方程对总体进行估 计
要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级 数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选 10 名学 生，分析他们入学的数学成绩和高中一年级期末数学考试成绩 (如表)：
• (1)计算入学数学成绩(x)与高一期末数学考试 成绩(y)的线性回归方程；
• (2)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他 高一期末数学考试成绩；
＝194
≈1.56.a
＝
y
－b
x
＝2－
1.56×1
＝0.44.
则所
求线性回归方程是 y＝1.56x＋0.44.
课堂典例讲练
• 变量间相关关系的判断
下列关系中，带有随机性相关关系的是_______． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
• (3)若事实上该学生期末考试数学成绩为94分， 如何解释？
• [思路分析] 先画散点图初步判断相关关系类 型，再结合相应公式进行计算.
已知 x、y 之间具有线性相关关系，且它们之间的一组数据 如下：
x0123 y1357 (1)分别计算：－x 、－y 、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x21＋x22＋x23＋ x24； (2)求出线性回归方程 y＝bx＋a.
[解析] 可利用表格中的数直接计算，然后把这些结果代 入回归方程系数公式，分别求得 a，b，再求出 y.
• 4．若施肥量x与小麦产量y之间的回归直线方 程为y＝250＋4x，当施肥量为50kg时，预计 小麦产量为________kg.
• [答案] 450
• [解析] 把x＝50kg代入y＝250＋4x可求得y ＝450kg.
5．由一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x20，y20)得 x ＝
• 求回归直线方程
某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下
表：
年份
2008 2009 2010 2011 2012
x(万户)
1 1.1 1.5 1.6 1.8
y(百万立方米) 6 7 9 11 12
(1)检验是否线性相关；
(2)求 y 对 x 的回归直线方程．
[思路分析] 根据表中的数据 → 作出散点图 →
• ④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关 关系．
• [答案] ②④
• [规律总结] 相关关系与函数关系的区别在于 是否具有确定性．在区分二者时，如果一个 变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定 的值与之对应，那么这两个变量就是函数关 系，不是相关关系；如果一个变量每取一个 值，另一个变量的取值带有一定的随机性， 并且从总体上来看有关系，但不是确定性关 系，那么这个变量之间就是相关关系，不是 函数关系．确定相关关系时有时要依靠生活 经验大致确定．
判断是否线性相关 → 若是，则根据公式求得a，b →
得回归直线方程
• [规范解答] (1)作出散点图，观察呈线性正 相关，如图所示．
(2)－x ＝1＋1.1＋1.55＋1.6＋1.8＝75， －y ＝6＋7＋95＋11＋12＝9，
5
x2i ＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26，
a＝_y__－__b_x__.这样得到的直线方程称为_线__性__回__归__方__程___，
a，b 是线性回归方程的系数．
• (2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我 们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈 现出线性关系，我们可以用__最_小_二__乘_法____估 计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他 的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行 拟合．
• 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )
• A．正方体的棱长和体积
• B．单位圆中角的度数和所对弧长
• C．单产为常数时，土地面积和总产量
• D．日照时间与水稻的亩产量
• [答案] D
• [解析] 函数关系是一个变量与另一个变量之间有 确定性的关系，选项A、B、C均为函数关系，日照 时间与水稻的产量带有一定的随机性，故选项D正 确．
• [规律总结] 判断变量之间有无相关关系，一种常 用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果点的分 布有规律(如大致在一条直线附近)，那么这两个变 量之间具有相关关系.
• 某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大 小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的 试验，得到如下表所示的一组数据：(单位：千克)
(1)－x ＝0＋1＋4 2＋3＝1.5，－y ＝1＋3＋4 5＋7＝4，x1y1＋x2y2 ＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x21＋x22＋x23＋x24＝ 02＋12＋22＋32＝14；
(2)b＝x1y1＋x21x＋2yx2＋22＋xx3y23＋3＋xx24－4y44－－x42－x －y ＝341－4－4×4×1.15.×52 4＝2， a＝－y －b－x ＝4－2×1.5＝1， 故 y＝2x＋1.
x1＋x2＋…＋xn n
，用
y
表
示
y1＋y2＋…＋yn n
，
则可
以
求
得
b＝
x1－ x y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋…＋xn－ x yn－ y x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y ＝_______x_21＋__x_22_＋__…__＋__x_2n－__n__x_2 __________.
• 用散点图判断相关关系
从高一(1)班中随机选出 10 名同学，将他们的身 高、数学成绩和物理成绩列表如下：
身高/m 1.5 1.6 1.55 1.65 1.45 1.06 1.52 1.66 1.7 1.4 数学成绩/分 90 85 78 88 87 76 95 75 68 70 物理成绩/分 88 84 80 83 78 70 90 80 74 68
3．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的回归直线
必过点( )
x0123
A.(2,2)
y1357 B．(1.5,2)
C．(1,2)
D．(1.5,4)
• [答案] D
[解析] －x ＝1＋24＋3＝1.5， －y ＝1＋3＋4 5＋7＝4， 由于回归直线必过点(－x ，－y )，故必过点(1.5,4)．
• 下列两个变量之间不属于相关关系的是( ) • ①学生每日学习时间与学习成绩； • ②人的年龄与血压； • ③某天的天气情况与股市的涨跌情况； • ④球的表面积与体积． • A．①② B．①③ • C．②③ D．③④ • [答案] D
[解析] 在这四组中只有第④组 S 球＝4πR2，V 球＝43πR3，可 以将任一个式子代换 R，得到 V 与 S 之间是一个函数关系，而 第③组天气与股市无关系.
试判断数学成绩与身高和物理成绩是否成相关关系.
• [思路分析] 分别画出数学成绩与身高、数学 成绩与物理成绩的散点图，即可判断两者是 否为相关关系.
• [规范解答] 我们将上述数据，分别在“数学 成绩—身高”和“数学成绩—物理成绩”的坐
标平面上，画出散点图如下图所示．
• 从图(1)上的散点分布，我们看不出身高与数学成绩 之间有什么相关性，也就是说，这两个变量之间不 存在相关性，而从图(2)上，我们发现，在数学成绩 与物理成绩之间有某种相关性：不少数学成绩好的 同学，物理成绩也很好，两者之间似乎有一种线性 关系，也就是说，这两个变量近似成线性相关关系.
施化肥 量x
15 20 25 30 35 40
45
水稻产 33 34 36 40 44 45 45 量y 0 5 5 5 5 0 5
• 画出散点图，判断施化肥量x和水稻产量y是否具有 相关关系？并考虑水稻的产量会不会随着化肥施用 量的增加而一直增长.
• [解析] 散点图如下：
• 从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的确存在 一定的相关关系，大体上随着施化肥量的增加，水 稻的产量也在增加. 但增大的速度在放缓，因此水 稻的产量不会随着化肥施用量的增加而一直增长.
i＝1
5
xiyi＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4.
i＝1
∴b^＝i＝51x5 ixy2ii－－55－－xx －2y ＝6160.4.2－6－5×5×75×42959＝12730，
1
a＝－y －b－x ＝9－12730×75＝－3213， ∴y 对 x 的回归直线方程为 y＝12730x－3213.
第一章 统计
第一章
§7 相 关 性 §8 最小二乘估计
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
课前自主预习
• 丹顶鹤是生活在沼泽或浅水地带的一种大型涉禽， 常被人冠以“湿地之神”的美称．某地区的环境条 件非常适合丹顶鹤的栖息繁衍．鹤在中华文化中有 着长寿的涵义，我们经常见到“松鹤延年”的壁 画．有个有趣的现象，如果某村庄附近栖息的丹顶 鹤多，那么这个村庄的老人的长寿率也高；某村庄 附近栖息的丹顶鹤少，那么这个村庄的老人的长寿 率也低．于是得出一个结论：丹顶鹤能够直接影响 该村庄老人的长寿率．你认为这个结论可靠吗？
• [思路分析] 两变量之间的关系有两种：函数 关系与带有随机性的相关关系．
• [规范解答] ①正方形的边长与面积之间的关 系是函数关系．
• ②水稻产量与施肥之间不是严格的函数关系， 但是具有相关性，因而是相关关系．
• ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一 定时期身高就不发生明显变化了，因而它们 不具有相关关系．
1， y ＝2，x21＋x22＋…＋x220＝29，x1y1＋x2y2＋…＋x20y20＝54，
则线性回归方程是________．
• [答案] y＝1.56x＋0.44
[解析]
代入公式
b
＝
x1y1＋x2y2＋…＋x20y20－20 x x12＋x22＋…＋x220－20 x 2
y ＝
54－20×1×2 29－20×12
[规律总结] 求回归直线方程的步骤：
n
n
n
n
(1)先把数据制成表，从表中计算出xi，yi，x2i ，xiyi；
i＝1 i＝1 i＝1
i＝1

n xiyi－n－x －y
i＝1
(2)计算回归系数 a，b，公式为b＝
n xi2－n－x 2
，

i＝1
a＝－y bx；
(3)写出回归直线方程 y＝bx＋a.
• 2．最小二乘估计 • (1)如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点 与直线y＝a＋bx的接近程度： • [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－ (a＋bxn)]2.
使得上式达到_最__小__值______的直线 y＝a＋bx 就是我们所要 求 的 直 线 ， 这 种 方 法 称 为 __最__小__二__乘__法___ ． 如 果 用 x 表 示
• 1．相关性
• (1)变量之间的两种关系是__相__关_关_系____和 __函__数_关_系____．
• (2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之 间的关系有一个大致的了解，人们通常将变 量所对应的点描出来，这些点就组成了变量 之间的一个图，通常称这种图为变量之间的 __散__点_图___．
• (3)如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个
集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条 __光__滑____的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线 拟合．
• 若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一 条直线附近波动，则称变量间是_线__性_相__关__的．若所 有则点称看此上 相关去为都_在非_某_线_条性__相曲_关_线_的(_不_，是此一时条，直可线以)附用近一波条动曲， 线来拟合．如果所有的点在散点图中没有显示任何 关系，则称变量间是不相关的．
• 2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正 确的是( )
• A．都可以分析两个变量的关系
• B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
• C．都可以作出散点图
• D．都可以用确定的表达式表示两者之间的关系
• [答案] C
• [解析] 两个变量可能是无关的，A、D错误；两者 可能不是线性相关的，此时不能用直线近似，B错 误；两者的关系可能是无关的．