高考全国2卷文科数学试题含解析

绝密★启用前 2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
1．已知集合{}|12A x x =-<<,
{}
|03B x x =<<,则A
B =（ ）
A ．
()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3
2．若为a 实数,且
2i
3i 1i
a +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）
A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4．已知
()1,1=-a ,
()
1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图
,则截去部分体积与剩余部分体积
的比值为（ ）
1A.8 1B.7 1C.6 1D.5
7
．已知三点(1,0),
A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
5A.3 4D.3
8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）
A.0
B.2
C.4
D.14
9．已知等比数列{}n a 满足114
a =
,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1
D.8
10．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）
A.36π
B.
64
π
C.144π
D. 256π
11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动
点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数
()
f x ,则的图像大致为（ ）
12．设函数2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫-
⎪⎝⎭
D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
13．已知函数
()32
f x ax x
=-
的图像过点（-1,4）,则a= ．
14．若x,y满足约束条件
50 210
210 x
y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
--≥
⎨
⎪-+≤
⎩
,则z=2x+y的最大值为．
15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12
y x
=±,则该双曲线的标准方程为．
16．已知曲线ln
y x x
=+在点
()
1,1
处的切线与曲线
()
221
y ax a x
=+++
相切,则a= ．
三、解答题（题型注释）
17．（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
（Ⅰ）求
sin
sin
B
C
∠
∠
；
（Ⅱ）若60
BAC
∠=,求B
∠.
18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个
用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户
满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组
[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)
频数2814106
（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分
的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
19．（本小题满分12分）如图,长方体
1111
ABCD A B C D
-中AB=16,BC=10,
1
8
AA=,点E,F分别在
1111
,
A B D C上,
11
4.
A E D F
==过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆()
2
2
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
2
,
点(在C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线
OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 21．（本小题满分12分）已知()()
ln 1f x x a x =+-.
（Ⅰ）讨论()
f x 的单调性；
（Ⅱ）当
()
f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.
（Ⅰ）证明EF
BC ；
（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与 2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB
最大值.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：
（Ⅰ）若ab cd > ,>
>
a b c d
-<-的充要条件.
参考答案
1．A 【解析】 因为
{}|12A x x =-<<,
{}
|03B x x =<<,所以
{}|13.
A B x x =-<<故选A.
考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D
【解析】由题意可得
()()2i 1i 3i 24i 4
a a +=++=+⇒= ,故选D.
考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D
【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.
考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．C 【解析】
试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以
()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.
考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】
试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()
15535552
a a S a +=
==.故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1
6
,剩余部分体积是正方体体积的
56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1
5
,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
7．B 【解析】
试题分析：△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线1x =上,设圆心D
()1,b ,由
DA=DB 得
b b =⇒=
,所以圆心到原点的距离
3d ==. 故选B. 考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.
8．B 【解析】
试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术.
9．C
【解析】
试题分析：由题意可得
()235444412
a a a a a ==-⇒=,所以3
4
1
82a q q a =
=⇒= ,故211
2
a a q ==
,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算. 10．C 【解析】
试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为2
12
R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时3
13666
V R R =
=⇒= ,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.
考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11．B 【解析】
试题分析：由题意可得ππππ12424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,由此可排除C,D ；
当π04
x <<
时点P 在边BC 上，tan PB x =，PA =，所以
()tan f x x =可知π0,
4x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12．A 【解析】
试题分析：由2
1()ln(1||)1f x x x =+-
+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以
()()()()()2
21
2121212113
f x f x f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔
<< .故选A.
考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13．-2 【解析】 试题分析：由
()32f x ax x
=-可得
()1242
f a a -=-+=⇒=- .
考点：本题主要考查利用函数解析式求值. 14．8 【解析】
试题分析：不等式组50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩
表示的可行域是以
()()()1,1,2,3,3,2为顶点的三角形区
域,2z x y =+的最大值必在顶点处取得,经验算,3,2x y ==时max 8z =. 考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力.
15．2
214
x y -= 【解析】
试题分析：根据双曲线渐近线方程为1
2
y x =±,可设双曲线的方程为224x y m -= ,
把(
代入22
4
x y m -=得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=.
考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.
16．8 【解析】
试题分析：由11y x
'=+
可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与
()221
y ax a x =+++ 联立得2
20ax ax ++=,显然0a ≠,所以由
2808a a a ∆=-=⇒=.
考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 17．（Ⅰ）1
2
；（Ⅱ）30. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：
sin 1
.sin 2
B D
C C B
D ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得
()1
sin sin sin .2
C BAC B B B ∠=∠+∠=
∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠,
所以tan 30.3
B B ∠=
∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DC
B BAD
C CAD
==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1
.sin 2
B D
C C B
D ∠==∠.
（Ⅱ）因为
()180,60,
C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=
所以()1
sin sin sin .2
C BAC B B B ∠=∠+∠=
∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,
所以tan 30.B B ∠=
∠= 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 18．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得
()
A P C 的估计值为0.6,
()
B P
C 的估计值
为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 试题解析：（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.
（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
记A C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；
B C 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得
()
A P C 的估计值为
()0.010.020.03100.6++⨯=,
()
B P
C 的估计值为
()0.0050.02100.25.+⨯=,
所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计. 19．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97 或79
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97 或7
9
试题解析：
解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
（Ⅱ）作,EM AB ⊥ 垂足为M,则14AM A E ==,112EB =,18EM AA ==,因为EHGF 是正方形,所以10EH EF BC ===,
于是6,10, 6.MH AH HB =
===
因为长方体被平面α 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97 （7
9
也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.
20．（Ⅰ）22
22184
x y +=（Ⅱ）见试题解析
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由
2242
1,2a a b
=+= 求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()
222214280.k x kbx b +++-=,所以
12222,,22121
M M M x x kb b
x y kx b k k +-=
==+=++于是
1
,2M OM M y k x k
=
=-1
2
OM k k ⇒⋅=-.
试题解析：
解：（Ⅰ）
由题意有
2242
1,2a a b =+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为22
22184
x y +=. （Ⅱ）设直线
():0,0l y kx b k b =+≠≠,
()()()
1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b
=+代入22
22184x y +=
得()222214280.k x kbx b +++-=
故12222,,22121
M M M x x kb b
x y kx b k k +-=
==+=++ 于是直线OM 的斜率
1,2M OM M y k x k =
=- 即1
2
OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力. 21．（Ⅰ）0a ≤,
()
f x 在
()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增,在1,a
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；（Ⅱ）()0,1.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由()1
f x a x
'=
-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时
()
f x 在
()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
因此
122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,
()0
g a <,当1a >时
()0
g a >,因此a 的取值范围是
()0,1.
试题解析： （Ⅰ）
()
f x 的定义域为
()0,+∞,()1f x a x
'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()
0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时
()0
f x '<,所以()
f x 在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a
=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
22． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明EF BC , 可证明,AD BC ⊥AD EF ⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求.
试题解析：
（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形,,AD BC ⊥ 所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EF BC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以30OAE ∠=,
因此,△ABC 和△AEF 都是等边三角形,,因为AE =,所以4,2,AO OE == 因为
2,OM OE == 12
DM MN == 所以OD=1,于是AD=5,3AB = 所以四边形
DBCF 的面积为(2211232223⎛⎫⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ 考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.
23．（Ⅰ）()30,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为22
20x y y +-=,
220x y +-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标
为()
,αα,,
由此可得2sin 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭. 试题解析：
解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为22
20x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程
为220x y +-=,联立两方程解得00x y =⎧⎨=⎩
或232
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2C 与3C 交点的直角坐标(
)30,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. （Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,
θαρρ=∈≠R 其中0απ≤< ,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B
的极坐标为()
,αα,
所以2sin 4sin 3AB πααα⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56
πα=时AB 取得最大值,最大值为4.
考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 24．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由a b c d +=+及ab cd >,
可证明
22+>,
开方即得>（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.
试题解析：
解：
（Ⅰ）因为
22a b c d =++=++ 由题设a b c d +=+,ab cd >,
得
22>,
> （Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-,则()()22a b c d -<-,即()()2244,a b ab c d cd +-<+- 因为a b c d +=+,所以ab cd >,
>
（ⅱ）若>,则22>,即
a b c d ++>++因为a b c d +=+,所以ab cd >,
于是()()()()2222
44,a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-因此a b c d -<-,综上
>a b c d -<-的充要条件.
考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.。