2022版优化方案高考数学(山东专用·理科)二轮复习小题分层练(六) Word版含答案

小题分层练(六) “985”跨栏练(2)
(建议用时：50分钟)
1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中全部整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )
A ．[9，10)
B ．[7，8)
C ．(9，10)
D ．[7，8]
2．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣
⎡⎦⎤0，π
2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合
为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫16，23 3．设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣
⎡⎦⎤－π，－π
2是函数F (x )的一个单调递增区间．将函数F (x )的图
象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( )
A.⎣⎡⎦⎤－π，－π2
B.⎣⎡⎦
⎤－π
2，0
C.⎣⎡⎦⎤π2，π
D.⎣⎡⎦
⎤3π2，2π 4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1
y
＝5，则x ＋y 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．已知实数a ，b 满足等式2 014a ＝2 015b ，下列五个关系式：
①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不行能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．(2021·潍坊第一次模拟) 如图，
M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的大致图象是( )
7．(2021·烟台模拟(二))已知双曲线x 2a 2 －y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为双曲线的
中心，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是( )
A ．|OA |>|O
B | B ．|OA |<|OB |
C ．|OA |＝|OB |
D ．|OA |与|OB |大小关系不确定
8．若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－4，5] B ．[－5，5] C ．[4，5] D ．[－5，4]
9．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1(x 2＞x 1)，已知函数f (x )＝（a 2＋a ）x －1
a 2x
(a ∈R ，a ≠0)的定义域与值域
都是[m ，n ](n ＞m )，则区间[m ，n ]取最大长度时实数a 的值为( )
A.233 B ．－3
C ．1
D ．3
10．已知向量OA →，OB →为单位向量，且OA →·OB →＝14
，点C 是向量OA →，OB →的夹角内一点，|OC →|＝4，OB →·OC
→
＝72.若数列{a n }满足OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n
OB →＋a 1OA →，则a 4＝( ) A.1516 B.1615
C ．16 D.8
7
11．(2021·济宁第一次统考)若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y
x ＋y
的最小值为________．
12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角为________．
13．设a ＞1，b ＞1，若ab ＝e 2，则s ＝b ln a －2e 的最大值为________．
14．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：
①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x
x 2－2x ＋5
；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均
有|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．
15．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，
－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程f (f (x ))＝k 恰有5个不同的根，则实数k 的取值
范围是________．
小题分层练(六) “985”跨栏练(2)
1．解析：选B.留意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )·(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中全部整数元素之和为28，必有a ＞1.留意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）
2
＝28，因此由集合A 中全部整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)． 2．解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪
⎨⎪
⎧0＜ω≤1，ω＝k
3，其中k ∈Z ， 则ω＝13、ω＝2
3
或ω＝1.
3．解析：选D.由于F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，所以F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，所以F (x )为偶函数，所以⎣⎡⎦
⎤π
2，π为函数F (x )的一个单调递减区间．将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦
⎤3π
2，2π.
4．解析：选C.由已知x ＋y ＋1x ＋1y ＝5得x ＋y ＋x ＋y xy ＝5，由于xy ≤（x ＋y ）24，所以1xy ≥4
（x ＋y ）2，
x ＋y xy
≥4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y
≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t ≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，所以x ＋y 的最大值
是4.
5．解析：选B.设2 014a ＝2 015b ＝t ，如图所示，
由函数图象，可得
(1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0<t <1，则有a <b <0.
故①②⑤可能成立，而③④不行能成立． 6．解析：选C.
如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .
又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ， 所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，
得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2，x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T
2
，
所以|x M －x N |＝T 2＝π
ω
(常数)，选C.
7．解析：选C.由于点Q 为△PF 1F 2内切圆的圆心，故延长F 2B 交PF 1于点N ，易知垂足B 为F 2N 的中
点，连接OB ，则|OB |＝12|F 1N |＝1
2
(|F 1P |－|F 2P |)＝a ；又设内切圆与PF 1，PF 2分别切于G ，H ，则由内切圆性
质可得|PG |＝|PH |，|F 1G |＝|F 1A |，|F 2A |＝|F 2H |，故|F 1P |－|F 2P |＝|F 1A |－|F 2A |＝2a ，设|OA |＝x ，则有x ＋c －(c －x )＝2a ，解得|OA |＝a ，故有|OA |＝|OB |＝a ，故选C.
8．解析：
选A.由x 2≤4－|2x －m |可得
4－x 2≥|2x －m |，在同一坐标系中画出函数y ＝4－x 2，y ＝|2x －m |的图象如图所示．当y ＝|2x －m |位于图中实折线部分时，由CD ：y ＝－2x ＋m 与y ＝4－x 2相切可得m ＝5，明显要使得至少存在一个x (x ≥0)，使得原不等式成立，需满足m ≤5；当y ＝|2x －m |位于图中虚折线部分时，由AB ：y ＝2x －m 过点(0，4)可得－m ＝4，明显要使得至少存在一个x (x ≥0)，使得原不等式成立，需满足－m ≤4，即m ≥－4.综上可知，实数m 的取值范围为[－4，5]．
9．解析：选D.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，则[m ，n ]是函数f (x )的定义域的子集，所以[m ，
n ]⊆(－∞，0)或[m ，n ]⊆(0，＋∞)，故函数f (x )＝（a 2＋a ）x －1a 2x ＝a ＋1a －1
a 2x
在区间[m ，n ]上单调递增，则
⎩
⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ，f （n ）＝n ，故m ，n 是方程a ＋1a －1a 2x ＝x 的同号的相异实数根，即m ，n 是方程a 2x 2－(a 2＋a )x ＋1＝0的同
号的相异实数根，则m ＋n ＝
a ＋1a ，mn ＝1
a
2＞0，故只需Δ＝[－(a 2＋a )]2－4a 2＝a 2(a ＋3)(a －1)＞0，解得a ＞1或a ＜－3，而n －m ＝（m ＋n ）2
－4mn ＝－3⎝⎛⎭⎫1a －132＋43，故n －m 的最大值为233
，即区间[m ，n ]取最
大长度233
时，a ＝3.
10．解析：选B.由于OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n OB →＋a 1OA →，所以OB →·OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n
OB →·OB →＋a 1OA →·OB →
，
即72＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n ＋14
a 1，①设OA →，OB →的夹角为θ，OB →，OC →的夹角为α，OA →，OC →的夹角为β，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →
|·cos θ＝14，所以cos θ＝14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝154，同理可得cos α＝78，sin α＝158
，
所以cos β＝cos (θ－α)＝1116，所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos β＝114，又OA →·OC →＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n
OA →·OB →
＋
a 1OA →·OA →
，所以114＝3a n ＋1（a n ＋1）2a n ×14＋a 1，②联立①②，解得a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以a 2＝2a 1a 1＋1＝43
，
a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615.
11．解析：
依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y ≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝
2＋y x
1＋y
x
＝1＋1
1＋y x
∈⎣⎡⎦
⎤53，2. 答案：53
12．解析：由抛物线的方程知F (1，0)，准线l ：x ＝－1，由抛物线的定义知|P A |＝4，点P 的横坐标为3，代入抛物线的方程得P (3，23)．设准线l 交x 轴于点B ，则|AB |＝23，|BF |＝2，在Rt △ABF 中，易得tan
∠AFB ＝|AB |
|BF |＝3，所以∠AFB ＝π3，从而直线AF 的倾斜角为2π3.
答案：2π3
13．解析：由于a ＞1，b ＞1，所以ln a ＞0，ln b ＞0，由ab ＝e 2得ln a ＋ln b ＝2为定值，令t ＝b ln a ，所
以t ＞0，ln t ＝ln b ln
a ＝ln a ·ln
b ≤
⎝⎛⎭⎫ln a ＋ln b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝e 时等号成立，所以ln t ≤1，所以t ≤e ，
所以s ＝b ln a －2e ≤－e.
答案：－e
14．解析：对于①，f (x )＝4x ，易知ω＝4符合题意，故①是“条件约束函数”；对于②，当x ≠0时，
⎪⎪⎪
⎪f （x ）x
＝⎪⎪⎪⎪x ＋2x ，明显当x 趋于无穷大时，⎪⎪⎪⎪f （x ）x 趋于无穷大，这时ω不存在，因此②不是“条件约束函数”；
对于③，|f (x )|＝2|x |（x －1）2＋4≤12
|x |，所以存在常数ω＝1
2，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，故③是“条件
约束函数”；对于④，令x 1＝x ，x 2＝－x ，则|f (x 1)－f (x 2)|＝|f (x )－f (－x )|＝|2f (x )|≤4|2x |，即|f (x )|≤4|x |，故存在ω＝4，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，因此④是“条件约束函数”．综上可知①③④是“条件约束函数”．
答案：①③④ 15．解析：
在平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象，如图所示，当k ＜0时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，0＜t 2＜1，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )都有2个根，一共有4个根；当k ＝0时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，t 2＝1，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和3个根，一共有5个根；当0＜k ＜1时，f (t )＝k 有2个根t 1＜0，1＜t 2＜2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和3个根，一共有5个根；当1＜k ＜2时，f (t )＝k 有3个根t 1＜0，t 2＜0，t 3＞2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )，t 3＝f (x )分别有2个根，2个根和1个根，一共有5个根；当k ＝1时，f (t )＝k 有3个根t 1＜0，t 2＝0，t 3＝2，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )，t 3＝f (x )分别有2个根，2个根和2个根，一共有6个根；当k ＝2时，f (t )＝k 有2个根t 1＝－1，t 2＝4，而t 1＝f (x )，t 2＝f (x )分别有2个根和1个根，一共有3个根；当k ＞2时，f (t )＝k 有1个根t ＞4，而t ＝f (x )有1个根，一共有1个根．综上，0≤k ＜2且k ≠1.
答案：[0，1)∪(1，2)。