怀仁县第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题(理科) 含答案

（理科）数学试题
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

1。

设复数11z
i i
,则z ( ）
A ．12
B ．2
C 3
D ．2
2.下列使用类比推理所得结论正确的是（ ） A ．直线,,a b c ,若,a b b c ，则a c ．类推出：向量,,a b c ,若,a b b c ，则a c
B ．同一平面内,直线,,a b c ，若,a
c b
c ，
则a b ．类推出:空间中,直线,,a b c ,若,a
c b
c ，则a b ．
C ．实数,a b ，若方程2
0x ax b 有实根,则2
4a b ．类推出：复数,a b ，若
方程2
0x
ax b 有实数根,则24a b ．
D ．以点
0,0
为圆心，r 为半径的圆的方程是2
2
2x
y r ．类推出：以点
0,0,0
为球心，r 为半径的球的方程是2
22
2x
y z r ．
3。

设某大学的女生体重y （单位:kg) 与身高x （单位:cm ）具有线性相关关系,根据一组样本数据
,1,2,,i i
x y i n
,用最小二乘法建立的回
归方程为ˆ0.8585.71y
x ，则下列结论中不正确的是(
）
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心
,x y
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0。

85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4. 若直线y
m 与33y x x 的图象有三个不同的交点，
则实数m 的取值范
围是（ ） A ．
2,2
B ．
2,2
C ．
,22,
D ．
,22,
5。

四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中的一项，不同报名方法共有( )
A ．12
B ．64
C ．81
D ．7
6。

从0，1，2，3，4，5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A ．300
B ．216
C ．180
D ．162 7.设函数32
103
f x
ax x a 在
0,3
内不单调，则实数a 的取值范围是
( ) A ．
23
a
B ．20
3
a
C ．10
3
a
D ．2
13
a
8。

某校篮球比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮，假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（ ） A ．216625
B ．18125
C ．
36625
D ．108625
9。

将一枚质地均匀的骰子先后拋两次,设事件A {两次点数互不相同}，B {至少出现一次3点}，则P
B A （ ）
A ．1011
B ．518
C ．12
D ．13
10。

不等式23
1
3x x a a 对任意实数x 恒成立，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．
,1
2,
B ．
,14, C ．1,2 D ．
,25,
11。

下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ） ①已知
7
2
7012712x
a a x a x a x ，则12
7
3a a a
②过原点作直线x y e 的切线,则切线方程为0ex y
③已知随机变量3,1
X
N ，且24
0.6862P
X ，则40.1587P X
④已知n 为正整数，用数学归纳法证明等式
11111
1
11
2
234
1
24
2n n n n
时，若假设2
n
k k 时，命题为真，
则还需利用归纳假设再证明1n k 时等式成立，
即可证明等式对一切正偶数n 都成立
⑤在回归分析中，常用2
R 来刻画回归效果，在线性回归模型中，2
R 表
示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2
R 越接近1，表示回归的效
果越好
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 12. 设函数2
2
2
ln 2f
x
x a
x
a
，其中0,x a R ，存在正数0x ，使得
4
5
f x 成立,则实数a 的值是（ ) A ．15 B ．25 C ．12
D ．1
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知随机变量X 服从正太分布2
2,
X N ,4
0.84P
X ，则0
P X
的
值为 ．
14. 某单位为了了解用电量y （千瓦时） 与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得到线性回归方程ˆˆˆy
bx
a 中ˆ2
b ，预测当气温为—4℃时,
用电量的度数约为 ．
15。

已知
1
2n
x
x
的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x 的
系数为 ．(用数字作答）
16。

在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成角分别为
,
,则有
2
2
cos cos 1，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111
ABCD A B C D 中，对角线1
AC 与相邻两边所成角分别为
,,
，则有
2
2
2
cos cos cos ．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17.（本小题满分10分） 已知函数21
2f
x
x x （1）解不等式0f
x
;
（2)若存在实数x 使得f x
x a ，求实数a 的取值范围
18。

(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
1cos sin
x y (为参数），以坐
标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程为
sin
cos
，曲线3
C 的极坐标方程为
6
（1)把曲线1
C 的参数方程化为极坐标方程;
（2）曲线3
C 与曲线1
C 交于O 、A ，曲线3
C 与曲线2
C 交于O 、B ，求AB
19. (本小题满分12分）
某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答。

（1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到
文科题的概率；
(2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理
科题的概率均为2
3，答对文科题的概率均为1
4
，若每题答对得10分，
否则得零分。

现该生已抽到三道题(两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E X.
20。

（本小题满分12分）
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
3
5（1）请将上面的列联表补充完整；
（2)是否有99.5％的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望
参考公式：
2
2
n ad bc K a b c d
a c
b d
，其中n
a b c d
下面的临界值表仅供参考：
k
0。

2.07221. (本小题满分12分)
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上,其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率； （2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系： 80X 120X 120
1 2 3
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值(期望)达到最大，应安装发电机多少台? 22. (本小题满分12分) 已知函数2212x f x
e x kx ， （1）当0k
时，求f x
的单调区间;
（2）若0x 时，0f x 恒成立,求k 的取值范围；
(3）试比较2211n e e 与
323
n n
n N
的大小关系，并给出证明
参考公式：2
2
2
2
121
1
2
3
6
n n n n
高二期末考试 理科数学参考答案
一、
选择题
BDDAC CABDB AA
二、填空题
0.16 68 280 2 三、解答题 17.解析：（1）1
2
1220
x
f x x x 或
1
2
1220
x x
x 或01220
x x x
解得3x 或1x ,解集为
,3
1,
(2）121221
2
2
a f
x
x a x x
a
x x , 1
11
2
2
2x x x
x ，所以只需满足11322
a a
18.解析：（1）曲线1
C 的普通方程为2
21
1,x y 即2
220x y x
由cos ,sin
x
y
，得
2
2cos 0
所以曲线1
C 的极坐标方程为
2cos
（2）设点A 的极坐标为
1
,
6
,点B 的极坐标为
2
,
6
，则
1
2
132cos
3,
sin
cos
,6
6
6
22
所以12
31
2
AB
15
P AB P B A
P A
（2)X 的可能取值为0，10，20，30，则
1131
=33412
P X
2
12
2131
11310+
=3343436
P X C
2
212
223121420+=3
43349
P X C C 1134130
1
=123699
P X
所以X 的分布列为
X 0
10
20
30
P
112
1336
49
19 X 956
E
X
20。

解析：（1）根据在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为35
,可得患心肺疾病的为30人,故可得列联表补充如下:
患心肺疾病
不患心肺疾
病
合计
男 20 5 25 女 10 15 25 合计
30
20
50
(2）因为2
2n ad bc K a b c d
a c
b d
，即2
2
50201551025
25253020
3
K
，所以28.333K
又2
7.8790.0050.5%P K
所以，我们有99。

5％的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的
（3）现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为,则0,1,2,3
故321
1
23
77373333
3
3
10101010721
7
1
=,1
=,2
=,3
=24
40
40
120
C C C C C C P
P P P C C C C 所以的分布列为
1
3
P
7
24
2140
740
1120
则2171
1
230.94040120
E
21。

解析:(1）
1
2
3
10
35
54080
0.2,80
120
0.7,120
0.150
50
50
p P X
p P X p P X
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：
.
（2）记水电站年总利润为Z （单位：万元）
①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,500015000Z
E Z
.
②安装2台发电机的情形:依题意当4080X
时，一台发电机运行,此
时50008004200Z
，因此14080
0.24200P X p P Z
，当80X 时,两台
发电机运行,此时5000210000Z ，
因此2
380
0.008100P Z P X
p p 。

由此得Z 的分布列如下：
Z
4200 10000
0。

2
0.8
所以42000.2100000.88840E Z
.
③安装3台发电机的情形：依题意,当40
80X
时，一台发电机运行,此时500016003400Z
,因此14080
0.23400P X p P Z
；当80
120X 时，
两台发电机运行，此时500028009200Z
，此时
2
80
120
00
7920.P X p P Z ，当120X 时，三台发电机运行,此时
5000315000Z ，因此3
1500110
20
0.P P X Z p ，
由此得Z 的分布列如下：
Z
3400 9200 15000
0。

2
0.7
0。

1
所以34000.292000.7150000.18620E Z
.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台 22。

解：（1)当0k 时，2212,
22x x f x
e x
f x
e
1分 令0,f x 则2220x e ，解得0x
令0,f
x
则2220x e ，解得0x
所以，函数2212x f
x
e x kx 的单调增区间为0,，单调减区间为
,0
学必求其心得，业必贵于专精
（2）由函数2212x f
x e x kx ，则2222221x x f x e kx e kx 令221,2x x g x e kx g x e k ，由0x
所以，①当2k
时,0g x ，g x 为增函数，而00g ,所以0g x ，即0f x ，所以f x 在0,上为增函数,而00f ，
所以0f x 在0,上恒成立 ②当2k 时，令0g x ,即220x e k ，则10ln 22k x ，
即g
x 在10,ln 22k 上为减函数，而00g ，所以,g x 在10,ln 22k 上小于0，即0f x ，所以f x 在10,ln 22k 上为减函数，而00f ,故此时0f x ,不合题意,综上，2k
（3）2211n e e 323n n ，事实上，由(2）知，22122x f x e x x 在0,上为增函数，所以
22222211x e x x x x ,则
021e ,
22212e ，
4
2223e ， 62234e
…..。

22121n e n n
累加得：2212462222121231n e e e e n n
即2221216121n n e n n n e 所以，2211n e e 323n n。