北师大版高中数学选修创新演练阶段质量检测第二章§应用创新演练

1．椭圆x 225＋y 2169
＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5)
C ．(0，±12)
D ．(±12,0)
解析：c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.
又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．
答案：C
2．设定点F 1(0，－2)、F 2(0,2)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋4m (m >0)，则点P 的轨
迹是( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 解析：m ＋4m ≥2m ·4m
＝4. 当m ＋4m ＝4即m ＝2时，点P 轨迹为线段F 1F 2；当m ＋4m
>4时，点P 轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆．
答案：D 3．已知椭圆x 2m ＋y 2
16
＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )
A ．10
B ．5
C ．15
D ．25
解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，
∴a ＝5，∴a 2＝25，即m ＝25.
答案：D
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52
，－32的椭圆的标准方程是 ( )
A.x 210＋y 2
6
＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2
25
4＝1 D.y 294＋x 2254
＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102
＝210.
∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.
答案：A
5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.
解析：椭圆方程可化为：x 2
＋y 2
－5k ＝1， 则a 2＝－5k
，b 2＝1，又c ＝2， ∴－5k
－1＝4，∴k ＝－1. 答案：－1
6．椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．
解析：由题意，a ＝3，则|PF 2|＝2a －|PF 1|，
∴|PF 2|＝2.在△F 1PF 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27，
∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|
＝42＋22－(27)22×4×2
＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.
答案：2 120°
7．点P 为椭圆x 24
＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 解：由题意，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.①
在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，
即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.②
①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③
由②③得： |PF 1||PF 2|＝43
. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33
. 8．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．
解：法一：方程9x 2＋5y 2
＝45可化为x 25＋y 2
9＝1. 则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．
设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)， ∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|
＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2 ＝(23－2)＋(23＋2)
＝43，
∴a ＝23，即a 2＝12.
∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8.
∴椭圆的标准方程为y 212＋x 2
8
＝1. 法二：由题知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则
设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2
λ
＝1(λ＞0)， 将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ
＝1， 解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
所求椭圆方程为y 212＋x 2
8＝1.。