安徽省安庆一中高考数学热身试卷 理(含解析)
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安徽省安庆一中2016年高考数学热身试卷(理科)(解析版)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={x|log 2x≥1},B={x|x 2
﹣x ﹣6<0},则(∁R A )∩B 等于( ) A .{x|﹣2<x <1}B .{x|﹣2<x <2}C .{x|2≤x<3}D .{x|x <2} 2.若复数z 满足z (1﹣i )=|1﹣i|+i ,则z 的实部为( ) A .
B .
﹣1C .1D .
3.若A (a ,b ),B (c ,d )是f (x )=lnx 图象上不同两点,则下列各点一定在f (x )图象上的是( ) A.
(),a c b d ++ B.()a c bd +, C.(),ac b d + D.(),ac bd
4.执行如图所示的程序框图,输出的结果S 的值是( )
A .2
B .﹣
C .﹣3
D .
5.不等式组的解集记为D ,,有下面四个命题:
p 1:∀(x ,y )∈D ,z≥1;p 2:∃(x ,y )∈D ,z≥1 p 3:∀(x ,y )∈D ,z≤2;p 4:∃(x ,y )∈D ,z <0 其中的真命题是( )
A .p 1,p 2
B .p 1,p 3
C .p 1,p 4
D .p 2,p 3
6.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积是( )
A. cm3B. cm3C. cm3D.7cm3
7.《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织()尺布.
A. B. C. D.
8.如图是函数图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若 f(x1)=f(x2),有,则()
A.f(x)在上是减函数B.f(x)在上是减函数
C.f(x)在上是增函数D.f(x)在上是减函数
9.若(1+x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是()
A.﹣2B.﹣3C.125D.﹣131
10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()
A. B. C. D.2
11.已知向量、、满足,,,E、F分别是线段BC、CD的中点.若,则向量与向量的夹角为()
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=满足条件,对于∀x1∈R,存在唯一的x2∈R,使得f(x1)=f(x2).当f(2a)=f(3b)成立时,则实数a+b=()
A. B.﹣ C. +3D.﹣ +3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.命题:“若a2+b2=0,(a,b∈R),则a=0且b=0”的逆否命题是.14.已知f(x)=+ax+cos2x若f()=2,则f(﹣)= .
15.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上,且OA与平面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为.
16.设{a n}为递减的等比数列,其中q为公比,前n项和S n,且{a1,a2,a3}⊆{﹣4,﹣3,﹣2,0,1,2,3,4},则= .
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD=,AC=,cos∠ADB=﹣
(1)求sin∠C的值;
(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.
18.近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为,对服务的好评率为,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (,其中n=a+b+c+d)
19.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;
(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
20.已知点F是椭圆右焦点,点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点,且满足,若点P满足.
(1)求P点的轨迹C的方程;
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点,直线OA、OB与直线x=﹣a分别交于点S、T(其中O为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
21.设函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(II)如果对于任意的s、t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.. [选修4-1:几何证明选讲]
T A B
C D M
N 22.如图所示,两个圆相内切于点T ,公切线为TN ,外圆的弦TC ,TD 分别交内圆于A 、B 两点,并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明://AB CD ;
(2)证明:AC MD BD CM ⋅=⋅.
[选修4-4:坐标系与参数方程] 23.求曲线C 2的极坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ,N ,切点为T ,求|TM||TN|的取值范围.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆. (1)求实数m 的取值范围B ;
(2)若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c
++=, 求证:9232
a b c ++≥.
2016年安徽省安庆一中高考数学热身试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={x|log2x≥1},B={x|x2﹣x﹣6<0},则(∁R A)∩B等于()
A.{x|﹣2<x<1}B.{x|﹣2<x<2}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<2}
【分析】求出集合A、B,从而求出集合A的补集,得到其和B的交集即可.
【解答】解:∵A={x|log2x≥1}={x|x≥2},
B={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3},
∴∁R A={x|x<2},
∴(∁R A)∩B{x|﹣2<x<2},
故选:B.
【点评】本题考查了集合的运算,考查解不等式问题,是一道基础题.
2.若复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i,则z的实部为()
A. B.﹣1C.1D.
【分析】z(1﹣i)=|1﹣i|+i,化为z=,再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出.
【解答】解:∵z(1﹣i)=|1﹣i|+i,∴z===+i,∴z 的实部为.
故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.若A(a,b),B(c,d)是f(x)=lnx图象上不同两点,则下列各点一定在f(x)图象上的是()
A.
(),a c b d ++ B.()a c bd +, C.(),ac b d + D.(),ac bd
【分析】利用点在曲线上,列出方程,利用对数的运算法则化简,判断选项即可. 【解答】解:因为A (a ,b ),B (c ,d )在f (x )=lnx 图象上, 所以b=lna ,d=lnc ,所以b+d=lna+lnc=lnac , 因此(ac ,b+d )在f (x )=lnx 图象上, 故选C .
【点评】本题考查函数与方程的应用,对数的运算法则的应用,考查计算能力、
4.执行如图所示的程序框图,输出的结果S 的值是( )
A .2
B .﹣
C .﹣3
D .
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件i≥2016时的S 值,模拟程序的运行结果,即可得到答案. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: s=2,i=1;
满足条件i≤2016,执行循环体,; 满足条件i≤2016,执行循环体,
;
满足条件i≤2016,执行循环体,;
满足条件i≤2016,执行循环体,s==2,i=5;
…,
观察规律可知:S出现周期为4,
当i=2017=4×504+1时,结束循环输出S,即输出的 s=2.
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用,其中利用模拟程序执行过程的方法,求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法,属于基础题.
5.不等式组的解集记为D,,有下面四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,z≥1;p2:∃(x,y)∈D,z≥1
p3:∀(x,y)∈D,z≤2;p4:∃(x,y)∈D,z<0
其中的真命题是()
A.p1,p2B.p1,p3C.p1,p4D.p2,p3
【分析】画出约束条件不是的可行域,利用目标函数的几何意义,求出范围,判断选项的正误即可.
【解答】解:不等式组的可行域如图:
的几何意义是可行域内的点与(﹣1,﹣1)连线的斜率,
可知(﹣1,﹣1)与C连线的斜率最小,与B连线的斜率最大.
可得C(2,1).
最小值为: =,z≥,
由,解得x=1,y=3,B(1,3).
最大值为: =2.z≤2.
可得选项p2,p3正确.
故选:D.
【点评】本题考查线性规划的解得应用,命题的真假的判断,正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键.
6.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()
A. cm3B. cm3C. cm3D.7cm3
【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥,由三视图求出几何元素的长度,由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体
截取三棱锥A﹣BCD,其中B、D分别中点,
则BC=CD=1,且AC⊥平面BCD,
∴几何体的体积V=
=(cm3),
故选:A.
.
【点评】本题考查三视图求几何体的体积以,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
7.《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织()尺布.
A. B. C. D.
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【解答】解:设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知,
解得d=.
故选:D.
【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的求解.
8.如图是函数图象的一部分,对不同的x1,x2∈[a,b],若 f(x1)=f(x2),有,则()
A.f(x)在上是减函数B.f(x)在上是减函数
C.f(x)在上是增函数D.f(x)在上是减函数
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征,求得a+b=﹣φ,再根据f(a+b)=2sinφ=,求得φ的值,可得f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性得出结论.
【解答】解:由函数图象的一部分,可得A=2,函数的图象关于直线x==对称,∴a+b=x1+x2.
由五点法作图可得2a+φ=0,2b+φ=π,∴a+b=﹣φ.
再根据f(a+b)=2sin(π﹣2φ+φ)=2sinφ=,可得sinφ=,
∴φ=,f(x)=2sin(2x+).
在上,2x+∈(﹣,),故f(x)在上是增函数,
故选:C.
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象特征,正弦函数的单调性,属于中档题.
9.若(1+x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是()
A.﹣2B.﹣3C.125D.﹣131
【分析】利用二项式定理可知,对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值.【解答】解:∵(1+x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
∴a8=(﹣2)7=﹣128.
令x=0得:(1+0)(1﹣0)7=a0,即a0=1;
令x=1得:(1+1)(1﹣2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣2,
∴a1+a2+…+a7=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1+128=125.
故选C.
【点评】本题考查二项式定理的应用,求得a8的值是关键,考查赋值法的应用,属于中档题.
10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()
A. B. C. D.2
【分析】设直线AB的倾斜角为θ,利用|AF|=3,可得点A到准线l:x=﹣1的距离为3,从而cosθ=,进而可求|BF|,|AB|,由此可求AOB的面积.
【解答】解:设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m,
∵|AF|=3,
∴点A到准线l:x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+mcos(π﹣θ)
∴
∴△AOB的面积为S==
故选C.
【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定抛物线的弦长是解题的关键.
11.已知向量、、满足,,,E、F分别是线段BC、CD的中点.若,则向量与向量的夹角为()
A. B. C. D.
【分析】由题意画出图形,结合求得,从而向量与向量的夹角为.
【解答】解:如图,
=.
由,,可得
∴cos=,则,
从而向量与向量的夹角为.
故选:A.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量的加法、减法法则,是中档题.12.已知函数f(x)=满足条件,对于∀x1∈R,存在唯一的x2∈R,使得
f(x1)=f(x2).当f(2a)=f(3b)成立时,则实数a+b=()
A. B.﹣ C. +3D.﹣ +3
【分析】根据条件得到f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调,得到a,b的关系进行求解即可.
【解答】解:若对于∀x1∈R,存在唯一的x2∈R,使得f(x1)=f(x2).
∴f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调,
则b=3,且a<0,
由f(2a)=f(3b)得f(2a)=f(9),
即2a2+3=+3=3+3,
即a=﹣,
则a+b=﹣+3,
故选:D.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,根据条件得到a,b的关系是解决本题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.命题:“若a2+b2=0,(a,b∈R),则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0,或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0.
【分析】根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换,写出命题的逆否命题.
【解答】解::“若a2+b2=0,(a,b∈R),则a=0且b=0”的逆否命题是
若a≠0,或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0,
故答案为若a≠0,或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0.
【点评】本题考查四种命题的形式,利用它们的形式写出需要的命题,注意“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”,属于基础题.
14.已知f(x)=+ax+cos2x若f()=2,则f(﹣)= ﹣2 .
【分析】由f(x)可令g(x)=+ax,则f(x)=g(x)+cos2x+,判断g(x)为奇函数,由f(﹣)+f()=0,即可得到所求值.
【解答】解:f(x)=+ax+cos2x
=﹣+ax+cos2x+
=+ax+cos2x+,
可令g(x)=+ax,则f(x)=g(x)+cos2x+,
g(﹣x)=﹣ax=﹣ax
=﹣g(x),即有g(x)为奇函数,
可得f(﹣)=g(﹣)+cos(﹣)+
又f()=g()+cos+,
两式相加可得,f(﹣)+f()=0,
由f()=2,可得f(﹣)=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用:求函数值,考查构造函数法,以及化简整理的运算能力,属于中档题.
15.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上,且OA与平面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为16π.
【分析】求出边长为3的正△ABC的外接圆的半径,利用OA与平面ABC所成的角为30°,求出球O的半径,即可求出球O的表面积.
【解答】解:边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=,
∵OA与平面ABC所成的角为30°,
∴球O的半径为=2,
∴球O的表面积为4πR2=16π.
故答案为:16π.
【点评】本题考查球O的表面积,考查学生的计算能力,求出球O的半径是关键.
16.设{a n}为递减的等比数列,其中q为公比,前n项和S n,且{a1,a2,a3}⊆{﹣4,﹣3,﹣2,0,1,2,3,4},则= .
【分析】由{a n}为递减的等比数列,知q>0且q≠1,而{a1,a2,a3}⊆{﹣4,﹣3,﹣2,0,1,2,3,4},求出a1,a2,a3的取值,把转化为含有q的代数式得答案.
【解答】解:∵{a n}为递减的等比数列,知q>0且q≠1,
由{a1,a2,a3}⊆{﹣4,﹣3,﹣2,0,1,2,3,4},
可知只能有a1=4,a2=2,a3=1.
故q=.
∴=.
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的性质,考查了等比数列的前n项和公式,解答的关键是由题意得到a1,a2,a3的取值,是中档题.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD=,AC=,cos∠ADB=﹣
(1)求sin∠C的值;
(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.
【分析】(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB,由∠C=∠ADB﹣.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解.
(2)先由正弦定理求AD的值,再利用三角形面积公式求得BD,与余弦定理即可得解AB的长度.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADB=﹣,则sin∠ADB=,
∠CAD=,则∠C=∠ADB﹣,
sin∠C=sin(∠ADB﹣)=sin∠ADBcos﹣sin cos∠ADB=+=,(2)在三角形△ACD中,,
AD===2,
∴S=ADBDsin∠ADB=2BD=7,
∴BD=5,
由余弦定理可知:AD2=BD2+AD2﹣2BDADcos∠ADB,
∴AD=.
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值,正弦定理,三角形面积公式等知识的综合应用,考查了数形结合能力和转化思想,考查了计算能力,属于中档题.
18.近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为,对服务的好评率为,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (,其中n=a+b+c+d)
【分析】(1)由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表,代入公式求得k2的值,对应数表得答案;
(2)采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,则好评的交易次数为3次,不满意的次数为2次,利用枚举法得到从5次交易中,取出2次的所有取法,查出其中只有一次好评的情况数,然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率.
【解答】解:(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表:
对服务好评对服务不满意合计
对商品好评80 40 120
对商品不满意70 10 80
合计150 50 200
得,
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关.
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,则好评的交易次数为3次,不满意的次数为2次,令好评的交易为A,B,C,不满意的交易为a,b,从5次交易中,取出2次的所有取法为(A,B)、(A,C)、(A,a)、(A,b)、(B,C)、(B,a)、(B,b)、(C,a)、(C,b)、(a,b),共计10种情况,其中只有一次好评的情况是(A,a)、(A,b)、(B,a)、(B,b)、(C,a)、(C,b),共计6种,因此,只有一次好评的概率为.
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,对考生的对数据处理的能力有很高要求,是中档题.
19.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;
(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
【分析】(I)证明BP⊥平面ABCD,以B为原点建立坐标系,则为平面ABCD的法向量,求出,的坐标,通过计算=0得出,从而有EM∥平面ABCD;
(II)假设存在点N符合条件,设,求出和平面PCD的法向量的坐标,令|cos <>|=解出λ,根据λ的值得出结论.
【解答】证明:(Ⅰ)∵平面ABCD⊥平面ABEP,平面ABCD∩平面ABEP=AB,BP⊥AB,
∴BP⊥平面ABCD,又AB⊥BC,
∴直线BA,BP,BC两两垂直,
以B为原点,分别以BA,BP,BC为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),∴M(1,1,),
∴=(﹣1,0,),=(0,2,0).
∵BP⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的一个法向量,
∵=﹣1×0+0×2+=0,
∴⊥.又EM⊄平面ABCD,
∴EM∥平面ABCD.
(Ⅱ)解:当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
理由如下:
∵=(2,﹣2,1),=(2,0,0),
设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则.
∴.令y=1,得=(0,1,2).
假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.
设=λ=(2λ,﹣2λ,λ)(0≤λ≤1),∴==(2λ,2﹣2λ,λ).
∴cos<>===.
∴9λ2﹣8λ﹣1=0,解得λ=1或(舍去).
∴当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.
【点评】本题考查了线面平行的判断,空间向量的应用与线面角的计算,属于中档题.20.已知点F是椭圆右焦点,点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、
y轴上的动点,且满足,若点P满足.
(1)求P点的轨迹C的方程;
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点,直线OA、OB与直线x=﹣a分别交于点S、T(其中O为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【分析】(1)设点P(x,y),由题意可知,点F的坐标为(a,0),,由得,消去n与m可得y2=4ax.
(2)设过F点的直线l方程为:y=k(x﹣a),与轨迹C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,得:k2x2﹣(2ka+4a)x+k2a2=0,则x1x2=a2,y1y2=﹣4a2.得直线OA的方程为:,所以点S为;同理得点T为;表示出即可得到答
案.
【解答】解:(1)设点P(x,y),由题意可知,点F的坐标为(a,0),
则,,①,
由得:(x,y)=(﹣m,2n),即②,
将②式代入①式得:y2=4ax
(2)设过F点的直线l方程为x=a,求出A(a,2a),B(a,﹣2a),S(﹣a,2a),T (﹣a,﹣2a),
=﹣4a2+4a2=0;
设过F点的直线l方程为:y=k(x﹣a),与轨迹C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,
联立得:k2x2﹣(2ka2+4a)x+k2a2=0,
则x1x2=a2,.
由于直线OA的方程为:,则点S的坐标为;
同理可得点T的坐标为;
故,,
则.
【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法(消参法),以及设点利用点表示有关的向量的表达式即可,此题对计算能力要求较高.
21.设函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(I)如果存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(II)如果对于任意的s、t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.. 【分析】(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立等价于g(x)max﹣g(x)
≥M;
min
(II)对于任意的s、t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立等价于f(x)≥g(x)max,进一步利用分离参数法,即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:(I)存在x1、x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立等价于g(x)max
﹣g(x)min≥M
∵g(x)=x3﹣x2﹣3,∴
∴g(x)在(0,)上单调递减,在(,2)上单调递增
∴g(x)min=g()=﹣,g(x)max=g(2)=1
∴g(x)max﹣g(x)min=
∴满足的最大整数M为4;
T
A B
C
D
M
N
T A B
C D M
N (II )对于任意的s 、t ∈[,2],都有f (s )≥g(t )成立等价于f (x )≥g(x )max . 由(I )知,在[,2]上,g (x )max =g (2)=1
∴在[,2]上,f (x )=+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x﹣x 2lnx 恒成立 记h (x )=x ﹣x 2lnx ,则h′(x )=1﹣2xlnx ﹣x 且h′(1)=0 ∴当
时,h′(x )>0;当1<x <2时,h′(x )<0
∴函数h (x )在(,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, ∴h(x )max =h (1)=1 ∴a≥1
【点评】本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围,考查等价转化思想,这种常规的数学思想方法值得研究.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图所示,两个圆相内切于点T ,公切线为TN ,外圆的弦TC ,TD 分别交内圆于A 、B 两点,并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明://AB CD ;
(2)证明:AC MD BD CM ⋅=⋅.
【分析】(Ⅰ)证明∠TCD=∠TAB,即可证明AB∥CD; (Ⅱ)证明:∠MTD=∠ATM,利用正弦定理证明,由AB∥CD 知
,即可证明
ACMD=BDCM .
【解答】【解答】:(1)由弦切角定理可知,NTB TAB ∠=∠, 同理,NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD .
(2)连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M , 所以由弦切角定理知,CMA ATM ∠=∠, 又由(1)知//AB CD ,
所以,CMA MAB ∠=∠,又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.
在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TD
DTM TMD =
∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TC
ATM TMC
=
∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,
所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =
, 所以MD BD MC AC
=
,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.
【点评】本题考查正弦定理,弦切角定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. [选修4-4:坐标系与参数方程] 23.求曲线C 2的极坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ,N ,切点为T ,求|TM||TN|的取值范围. 【分析】(I )曲线C 1的方程是ρ=1,即ρ2=1,利用ρ2=x 2+y 2,即可化为直角坐标方程:再向上平移1个单位得到曲线C 2:x 2
+(y ﹣1)2
=1,展开利用即可得到曲线
C 2的极坐标方程.
(II )设T (cosθ,sinθ),θ∈[0,π].切线的参数方程为:
(t
为参数),代入C 2的方程化为:t 2+2t[cos (θ﹣α)﹣sinα]+1﹣2sinθ=0,利用|TM||TN|=|t 1t 2|及其三角函数的单调性即可得出.
【解答】解:(I )曲线C 1的方程是ρ=1,即ρ2=1,化为x 2+y 2=1,将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2:x 2+(y ﹣1)2=1,展开为x 2+y 2﹣2y=0. 则曲线C 2的极坐标方程为ρ2
﹣2ρsinθ=0,即ρ=2sinθ. (II )设T (cosθ,sinθ),θ∈[0,π]. 切线的参数方程为:
(t 为参数),代入C 2的方程化为:t 2+2t[cos (θ
﹣α)﹣sinα]+1﹣2sinθ=0, ∴t 1t 2=1﹣2sinθ,
∴|TM||TN|=|t 1t 2|=|1﹣2sinθ|∈[0,1], ∴|TM||TN|的取值范围是[0,1].
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆. (1)求实数m 的取值范围B ;
(2)若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c
++=, 求证:9232
a b c ++≥
. 【分析】(1)因为f (x )=m ﹣|x ﹣2|,所以f (x+2)≥1等价于|x|≤m﹣1,解此不等式,结合[﹣1,1]⊆A 知A 是非空集合,得到端点的不等式得到m 范围; (2)由(1)知m 0=2,所以
,即
,利用乘1法,将要
证不等式左边变形为满足基本不等式的形式. 【解答】(1)因为
()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知
A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m
的取值范围是[)2,.B =+∞ (2)由(1)知02m =,所以
1112,23a b c ++=()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫
∴++=++++ ⎪
⎝⎭2
19
232223a b c a b c ⎛≥⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭
.
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及利用乘1法,结合基本不等式证明不等式;属于中档题.。