人教版八年级数学上册课时练：第十二章 全等三角形 (培优篇)

课时练：第十二章全等三角形（培优篇）
时间：100分钟满分：100分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列选项中表示两个全等图形的是（）
A．形状相同的两个图形
B．能够完全重合的两个图形
C．面积相等的两个图形
D．周长相等的两个图形
2．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠AEB＝∠ADC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）
A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．BE＝CD D．AB＝AC
3．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为80cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝25cm，DF＝35cm，则EF的长为（）
A．20cm B．30cm C．45cm D．55cm
4．工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，师傅这么做的依据是（）
A．SAS B．SSS
C．角平分线逆定理D．AAS
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥AC交CD于点E，连接AE，若ED＝EF，∠ECF＝58°，则∠DAE＝（）
A．32°B．18°C．16°D．29°
6．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．如图，AB＝AD，AC＝AE，则能判定△ABC≌△ADE的条件是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠B C．∠D＝∠E D．BC＝DE
8．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）
A．△DEF≌△ABC B．∠F＝∠ACB C．AC＝DF D．BE＝EC
9．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是（）
A．38°B．36°C．34°D．32°
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC ＝5cm，则点O到边AB的距离为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
二．填空题（每小题4分，共20分）
11．如图，已知△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF＝
12．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC边上的点，EF∥BC，点D在BC边上，连接DE、DF，请你添加一个条件，使△BED≌△FDE．
13．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，
B的距离，只需要测量出线段即可．
15．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D 为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，AC与BD交于点O．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ABC的面积．
17．如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，直线MN经过点P并与AB，CD分别交于点M，N．
（1）如图①，求证：EM +FN ＝EF ；
（2）如图②，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，直接写出EM ，FN ，EF 三条线段的数量关系．
18．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．
（1）如图（1）所示，AB ＝6，AC ＝4，S △ABD ＝9，求S △ADC ．
（2）如图（2）所示，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且∠EDF +∠BAC ＝180°，求证：DE ＝DF ．
19．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．作CG ⊥DE 于G ，BF ⊥DE ，交DE 的延长线于F ．
（1）求证：EF ＝EG ．
（2）求证：AB ＝CD ．
20．已知在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC ＝180°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在射线DA ，DC 上，满足EF ＝AE +CF ．
（1）如图1，若点E ，F 分别在线段DA ，DC 上，求证：∠EBF ＝90°﹣∠ADC ；
（2）如图2，若点E ，F 分别在线段DA 延长线与DC 延长线上，请直接写出∠EBF 与∠ADC 的数量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：A、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；
C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；
故选：B．
2．解：由图形可知∠BAE＝∠DAC，
A、根据ASA（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD（ASA），故
本选项不符合题意；
B、没有边的条件，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
C、根据AAS（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故
本选项不符合题意；
D、根据AAS（∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠DAC，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故
本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵△ABC≌△DEF，△ABC的周长为80cm，
∴△DEF的周长为80cm，DE＝AB＝25cm，
又∵DF＝35cm，
∴EF＝80﹣25﹣35＝20cm．
故选：A．
4．解：在△OMP和△ONP中
∵
∴△OMP≌△ONP（SSS），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP平分∠AOB，
故选：B．
5．解：∵CD⊥AB，∠ECF＝58°，
∴∠DAC＝32°，
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）
∴∠DAE＝∠FAE，且∠DAC＝32°，
∴∠DAE＝16°，
故选：C．
6．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DAO＝∠EAO，
∵AO＝AO
∴△ADO≌△AEO（AAS）；
∴OD＝OE，AD＝AE
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°
∴△BOD≌△COE（ASA）；
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴△ADC≌△AEB（ASA）；
∵AD＝AE，BD＝CE
∴AB＝AC
∵OB＝OC，AO＝AO
∴△ABO≌△ACO（SSS）．
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
7．解：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS）．
A、B、C选项都不符合题意，
故选：D．
8．解：由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB，AC＝DF，BC＝EF，
∴BE＝CF，
故A，B，C正确，
故选：D．
9．解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝28°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝57°，
∴∠BCA＝114°，
∴∠B＝180°﹣28°﹣114°＝38°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝38°，
故选：A．
10．解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O为△ABC的内心，
过O作OP⊥AB，连接OB，
S
＝＝OP•（AB+BC+AC），△ABC
又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°
∴AB＝3，
∴×3×4＝•OP（3+4+5），
解得：OP＝1．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．证明：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，且BD＝CE，BE＝CF，
∴△BED≌△CFE（SAS）
∴∠EFC＝∠BED，
∵∠BEF＝∠EFC+∠C＝∠BED+∠DEF，
∴∠DEF＝∠C＝70°，
故答案为：70°．
12．解：由题意：DE＝ED，∠DEF＝∠EDB，
∴根据SAS可以添加DB＝EF，
根据AAS，ASA可以添加∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD，
故答案为BD＝EF（或∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD）
13．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
14．解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，
故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．
故答案为：DE．
15．解：延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．
∵BD＝CD，且∠BDC＝140°，
∴∠DBC＝∠DCB＝20°，
∵∠A＝40°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠ECD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
在△BDM和△CDE中，，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，
∴∠MDE＝∠BDC＝140°，
∵∠MDN＝70°，
∴∠EDN＝70°＝∠MDN，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝CN+CE，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+CN+CE+AN＝AM+AN+CN+BM＝AB+AC＝4；
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
16．证明：如图所示：
（1）∵AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，
∴∠ADC＝∠BAC，∠DCA＝BCA，
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（ASA），
∴AD＝AB，
∴△ADB是等腰三角形，
∴OB＝OD；
（2）由（1）可知：
AO⊥BD，OB＝OD＝，
∵BD＝6，
∴OB＝，
又∵AC＝8，
∴＝＝12．17．（1）证明：如图1，在EF上截取FQ＝FN，
∵FP平分∠CFE，
∴∠PFN＝∠PFQ，
又FP＝FP，
∴△FPN≌△FPQ（SAS），
∴∠PNF＝∠PQF，
又AB∥CD，
∴∠PNF+∠PME＝180°，
∵∠PQF+∠PQE＝180°，
∴∠PME＝∠PQE，
∵EP平分∠MEP，
∴∠PEM＝∠PEQ，
∵PE＝PE，
∴△PEM≌△PEQ（AAS），
∴EM＝EQ，
∴EM+FN＝EQ+FQ＝EF；
（2）解：（1）的结论不成立．
EM，FN，EF三条线段的关系是：FN﹣EM＝EF．如图2，延长EP交CD于H，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，
∴∠PEF+∠PFE＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠HPF，
∵PF＝PF，∠PFH＝∠PFE，
∴△PFH≌△PFE（ASA），
∴EF＝HF，PH＝PE，
∵AB∥CD，
∴∠EMP＝∠PNH，∠PEM＝∠PHN，
∴△PEM≌△PHN（AAS），
∴EM＝NH，
∴FN﹣NH＝FN﹣EM＝HF＝EF，
即FN﹣EM＝EF．
18．解：（1）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，如右图1所示，∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，AC＝4，S
＝9，
△ABD
∴＝9，
解得，DE＝3，
∴DF＝3，
＝＝6；
∴S
△ADC
（2）证明：作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如右图2所示，则∠EMD＝∠FND＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∵∠EDF+∠BAC＝180°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
又∵∠DFN+∠AFD＝180°，
∴∠DEM＝∠DFN，
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE＝DF．
19．证明：（1）∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°．
在△CGE和△BFE中，
∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，
∴△CGE≌△BFE（AAS），
∴EF＝EG．
（2）∵△CGE≌△BFE（AAS），
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB＝CD．
20．证明：（1）如图1，延长DA，使AH＝CF，连接BH，
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠HAB＝180°，
∴∠BCD＝∠HAB，且AB＝BC，AH＝CF，
∴△HAB≌△FCB（SAS）
∴BH＝BF，∠HBA＝∠CBF，
∵EF＝AE+CF，
∴EF＝AE+AH＝EH，且BH＝BF，BE＝BE，
∴△BEH≌△BEF（SSS）
∴∠EBF＝∠EBH，
∴∠EBF＝∠EBH＝∠EBA+∠CBF，
∴∠EBF＝∠ABC＝（180°﹣∠ADC）＝90°﹣∠ADC；（2）在CD的延长线上截取CH＝AE，连接BH，
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，
∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，
∴△AEB≌△CHB（SAS）
∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，
∵EF＝AE+CF，
∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，
∴△EBF≌△HBF（SSS）
∴∠EBF＝∠HBF，
∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，
∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，
∴2∠EBF+∠ABC＝360°，
∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，
∴∠EBF＝90°+∠ADC．。