2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计专题

2021年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题六 算法、复数、推
理与证明、概率与统计专题限时训练18 文
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：B
解析：当n ＝5时，5为奇数．∴n ＝3×5＋1＝16，k ＝k ＋1＝1；
n ＝n 2
＝8，k ＝k ＋1＝2；n ＝n
2
＝4，k ＝k ＋1＝3；
n ＝n 2
＝2，k ＝k ＋1＝4；n ＝n
2
＝1，k ＝k ＋1＝5，输出k ＝5.故选B.
2．图①是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )
图①
图②
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 答案：D
解析：从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.
3．(xx·新课标全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B
解析：∵ (2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴ 4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.
∴ ⎩⎨⎧
4a ＝0，a 2
－4＝－4，
解得a ＝0.故选B.
4．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z
1－z
＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案：A
解析：由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝
－1＋i
1－i
2＝
2i
2
＝i ，所以|z |＝|i|＝1.故选A.
5．(xx·山西质量监测)对累乘运算有如下定义：＝a 1·a 2·…·a n ，则下列命题中
的真命题是( )
答案：D 解析：
6．(xx·广东深圳二调)如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一
周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r
2
，所以，圆环
的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成圆的周长2π×
R ＋r
2
为
长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：若将平面区域M ＝{(x ，
y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴
旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A ．2πr 2d
B ．2π2r 2d
C ．2πrd 2
D ．2π2rd 2
答案：B
解析：已知中圆环的面积等于以AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形
成圆的周长2π×
R ＋r
2
为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域M ＝{(x ，
y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积应等于以圆(x
－d )2
＋y 2
＝r 2
围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕y 轴旋转一周所形成的圆的周长2π×d 为高的圆柱的体积．故该旋转体的体积V ＝πr 2·2πd ＝2π2π2d .故选B.
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(xx·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案：3
解析：∵ |a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，
∴ (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.
8．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．
答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤n n ＋122
解析：由题知13＝12＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1×222
； 13＋23＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2×322
； 13＋23＋33＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3×422
； 13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4×522
； …
∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤n n ＋122
. 9．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个
a ，输出的结果
b ＝________.
答案：495
解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123. 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198； 当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792： 当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693. 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594：
当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495.
10.对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →
＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →
＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．
答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →
＝0.
解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →
＋V O －
ACD
·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →
＝0. 三、解答题(每题15分，共30分)
11．(xx·北京卷)已知数列{a n }满足：a 1∈N *
，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎨
⎧
2a n ，a n ≤18，
2a n －36，a n ＞18
(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．
(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；
(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (3)求集合M 的元素个数的最大值． 解：(1)6,12,24.
(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．
由a n ＋1＝⎩⎨
⎧
2a n ，a n ≤18，
2a n －36，a n ＞18，
可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．
如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．
如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．
从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．
(3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎨
⎧
2a n －1，a n －1≤18，
2a n －1－36，a n －1＞18，
可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…)．
因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎨
⎧
2a 1，a 1≤18，
2a 1－36，a 1＞18，
所以a 2是2的倍数．
从而当n ≥3时，a n 是4的倍数．
如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}，这时M 的元素个数不超过5. 如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}，这时M 的元素个数不超过8. 当a 1＝1时，M ＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8. 12．(xx·陕西卷)已知函数f (x )＝e x
，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12
x 2
＋x ＋1有唯一公共点；
(3)设a <b ，比较f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2与
f b －f a
b －a 的大小，并说明理由． 解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x )＝1
x
，∴k ＝
g ′(1)＝1，
于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1.
(2)证明：证法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －
12
x 2－x －1零点的个数．
∵φ(0)＝1－1＝0，
∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1，则
h ′(x )＝e x －1，
当x <0时，h ′(x )<0，
∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减． 当x >0时，h ′(x )>0，
∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．
∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，
∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点， 故曲线y ＝f (x )与y ＝1
2x 2＋x ＋1有唯一的公共点．
证法二：∵e x >0，1
2
x 2＋x ＋1>0，
∴曲线y ＝e x 与y ＝1
2x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2
＋x ＋1e x
与y ＝1公共点的
个数，
设φ(x )＝12
x 2
＋x ＋1e x
，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．
又φ′(x )＝x ＋1e x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x 2＋x ＋1e x e
2x
＝
－12x
2e
x
≤0(仅当x ＝0时等号成立)，
∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点， 故曲线y ＝f (x )与y ＝12
x 2
＋x ＋1有唯一的公共点．。