损伤与断裂力学

中国矿业大学
2011 级硕士研究生课程考试试卷
考试科目损伤与断裂力学
考试时间2011.12
学生姓名韩晓丽
学号ZS10030121
所在院系力建学院
任课教师高峰
中国矿业大学研究生院培养管理处印制
第一部分断裂力学
第一章引言
1.1 影响断裂的两大因素---载荷大小和裂纹长度
考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时
间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。

在工
作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；
在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。

这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大
小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状
有关。

1.2 断裂力学研究内容
随时间和裂纹长度的增长，构件强度从设计的最
高强度逐渐地减少。

假设在储备强度A点时，只
有服役期间偶而出现一次的最大载荷才能使构件
发生断裂；在储备强度B点时，只要正常载荷就
会发生断裂。

因此，从A点到B点这段期间就是
危险期，在危险期中随时可能发生断裂。

如果安
排探伤检查的话，检查周期就不能超过危险期。

1.3 脆性断裂和韧性断裂
韧度（toughness）：是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。

它是个能量的概念。

脆性（brittle）和韧性（ductile）：一般是相对于韧度低或韧度高而言的，而韧度的高低通常用冲击实验测量。

高韧度材料比较不容易断裂，在断裂前往往有大量的塑性变形。

如低强度钢，在断裂前必定伸长并颈缩，是塑性大、韧度高的金属。

金、银比低强度钢更容易产生塑性变形，但是因为强度太低，因此吸收能量的能力还是不高的。

玻璃和粉笔则是低韧度、低塑性材料，断裂前几乎没有变形。

如图所示的一个带环形尖锐切口的低碳钢圆棒，受到轴向拉伸载荷的作用，在拉断时，没有明显的颈缩塑性变形，断裂面比较平坦，而且基本与轴向垂直，这是典型的脆性断裂。

粉笔、玻璃以及环氧树脂、超高强度合金等的断裂都属于脆性断裂这一类。

反过来说，若断裂前的切口根部发生了塑性变形，剩余截面的面积缩小（既发生颈缩），段口可能呈锯齿状，这种断裂一般是韧性断裂。

前边提到的低强度钢的断裂就属于韧性断裂。

1.4 韧性断裂与脆性断裂之比较
脆性断裂时的载荷与变形量一般呈线性关系，在接近最大载荷时才有很小一段非线性关系。

脆性断裂的发生是比较突然的，裂纹开始扩展的启裂点与裂纹扩展失去控制的失稳断裂点非常接近。

裂纹扩展后，载荷即迅速下降，断裂过程很快就结束了。

韧性断裂的载荷与变形量关系如图所示，有较长的非线性阶段，启裂后，裂纹可以缓慢地扩展一段时间，除非变形量增到失稳裂点，否则就不会发生失稳断裂。

第二章 能量守恒与断裂判据 传统强度理论:
在现代断裂力学建立以前，机械零构件是根据传统的强度理论进行设计的，不论在机械零构件的哪一部分，设计应力的水平一般都不大于材料的屈服应力，即
这里 是设计应力； n 是安全系数，其值大于1； 是屈服应力，在等截面物体受到单向拉伸时， 即为单向拉伸的屈服强度。

经典断裂理论:
断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。

现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量。

2.1 Griffith 能量释放观点 Griffith 裂纹
图(2－1)的Griffith 裂纹问题(即无限大平板带有穿透板厚的中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题)，以及图(2－2)的矩形平板带有单边裂纹(single edge crack)的问题。

设两平板的厚度均为B ，Griffith 裂纹长度为2a ，单边裂纹的长度为a 。

Griffith 能量释放观点:
现在只考虑Griffith 裂纹右端点。

在拉伸应力的作用下，此裂纹端点向正前方扩展。

根据Griffith 能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此释放出来的能
n ys
σσ≤
ys σys σys
σ
量将用来形成新的裂纹面积。

能量释放率:
定义裂纹尖端的能量释放率(energy release rate)如下∶能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。

表面自由能:
材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。

此抵抗裂纹扩展的能力可以用表面自由能(surface free energy)来度量。

一般用γs 表示。

表面自由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。

著名的Griffith 断裂判据:
若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。

则在准静态的情形下，裂纹扩展时，裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积。

换句话说，根据能量守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。

设每个裂端裂纹扩展量为Δa ，则由能量守恒定律有： 这就是著名的Griffith 断裂判据 。

单边裂纹的能量释放率:
假想裂纹发生了准静态扩展，裂端所释放的能量是由总应变能的一部分转化过来的，因此，比较裂纹扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率。

则根据能量守恒定律和能量释放率的定义，可得 ：
中心裂纹的能量释放率:
由于对称关系，中心裂纹系统所释放的能量将均等地分配到两个裂端，使每个端的裂纹扩展量为Δa 。

因此，裂纹两端具有相同的能量释放率，其表达式将为单边裂纹能量释放率表达式的一半。

2-2 能量平衡理论
在Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan 从热力学的观点重新考虑了断裂问题，提出了能量平衡理论。

按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。

假设W 为外界对系统所做的功，U 为系统储存的应变能，T 为动能，D 为不可恢复的消耗能，则Irwin —Orowan 能量平衡理论可用公式表达如下∶
假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展，则动能不变化，即dT/dt=0。

若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积，则 ：
At 为裂纹总面积，γ p 为表面能。

2-3 内聚应力理论
)2()(a B a B G s
∆=∆γ
s G γ2=a a a a U a a U B G a -∆+-∆+=→∆)()
()(1lim
0a U B G ∂∂=
21dt
dD dt dT dt dU dt dW +
+=dt dA dt dA dA dD dt dD t
p t
t γ==
断裂的结果是造成新的裂纹面积，从原子间距的观点来看，就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分离。

作为物理模型，可视为把有相互作用力而结合在一起的两平面分离开。

设ζ为平面间的内聚应力，ε为应变。

ε=（δ-δ0)/δ0，这里δ为瞬时平面间的距离。

内聚应力变化曲线:
当ε由零渐渐增加时，起初ζ基本上与ε成正比而增加，快接近最高内聚应力时，开始偏离线性关系，过了最高点ζc以后，ζ开始下降而ε仍然继续增加。

如图所示。

这种关系是定性的，并未得到实验的支持。

其中最大内聚应力ζc称为内聚强度。

内聚应力分布:
根据以上模型，在裂纹端点，内聚应力刚好是内聚强度。

垂直于裂纹表面的内聚应力分布如图所示。

这里x方向为裂纹扩展方向，当外载荷引起的应力在裂端前大于内聚强度时就发生断裂。

第三章应力强度因子
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。

若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发生，反之则不发生。

因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键。

3-1 裂纹的基本型
一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示
张开型滑移型撕裂型
第一种称为张开型（opening mode ）或拉伸型（tension mode ），简称I 型。

其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y 方向)。

它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面的情形，例如Griffith 裂纹是I 型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前方（x 方向）。

若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚，则是三维问题。

许多工程上常见的断裂都是I 型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。

第二种裂纹型称为同平面剪切型（in —plane shear mode ）或者滑移型（sliding mode ），简称II 型。

裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x 方向，另一个向负x 方向。

在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问题。

第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti —plane shear mode ），简称III 型。

裂纹面上下表面的位移方向也是刚好相反，但一个向正z 方向，另一个向负z 方向。

这里的z 方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。

除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixed mode crack ），它是两种以上基本型的组合。

3-2 裂端的应力场和位移场 I 型裂纹的应力场
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
＋高次项
在裂端区，即r 足够小的情形下，式中r 的高次项比首项小得多，因而可以忽略 。

I 型裂纹的应变场:
从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI 值的大小来决定，因此就称KI 为I 型裂纹的应力强度因子。

裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：
I 型裂纹的位移场:
通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为：
23cos
2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2θ
θθπτθθθπσθθθπσr K r K r K I xy I y I x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=y x j i f r K ij
I
ij ,,),(2==θπε2
sin 2cos 2)1(222cos 2sin 2)1(2222
/122
/1θθκπμθθκπμ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=r K v r K u I
I
这里u 和v 分别为x 和y 方向的位移分量，μ是剪切模量，κ与泊松比ν的关系为：
3-3 应力奇异性和应力强度因子
三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r →0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。

这种特性称为应力奇异性（stress singularity ）。

应力奇异性
图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。

它们分别受到无穷远处y 方向的均匀拉应力的作用。

对于圆孔，此时A 和B 两点有应力集中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。

对于椭圆孔，应力集中仍发生A 点和B 点，其应力集中系数为：
a 为椭圆的长半轴，ρ为椭圆长轴端点的曲率半径。

三种基本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、位移值和应变能密度值都由应力强度因子及其位置来决定。

因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、应变、位移和应变能密度就都能求得。

由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。

近代断裂力学，就是Irwin 在五十年代中期提出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开始发展起来的。

3-4 常见裂纹的应力强度因子 Griffith 裂纹的应力强度因子:
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到均匀拉伸应力作用的应力强度因子
无限大平板有中心裂纹，裂纹表面某处受到一对集中拉力P （单位厚度集中力）作用 的应
⎪⎩⎪⎨⎧+--=νννκ1343ρa K t 21+=
力强度因子
有限宽的长条板有中心裂纹，受到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子
有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子
有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的纯弯曲的应力强度因子
b
a b a a
P K b a b a a P K B A +-=
-+=ππ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=h a a K ππσsec a
K h a h a h a h a h a h a f h a f a K πσπσ12.138.3071.216.1023.012.14
32=<<⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=h a f a K πσa
K h
a h a h a h a h a h a f πσ12.10.1408.1333.740.112.1432=<<⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
3-5 叠加原理及其应用 1.同型裂纹的叠加
两个以上的外载荷同时作用于一个带裂纹的物体，若此时的裂纹问题与每个载荷单独作用时是同一型裂纹，则应力强度因子为每个载荷单独作用时应力强度因子之和。

2.复合型裂纹的分解
如果几种载荷或是特殊载荷的作用，产生了复合型裂纹，则复合型裂纹的各型应力强度因子是把载荷分解后各型裂纹问题的应力强度因子。

3.把裂纹问题化为同型的另一个裂纹问题
当一个裂纹问题的应力强度因子很大易求得时，有时可以通过叠加原理，改求另一个较简单裂纹型的应力强度因子，而此两裂纹问题的应力强度因子是相等的 。

第四章 线弹性断裂力学的基本理论
4-1 应力强度因子概念和能量释放观点的统一
假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。

下面以带有穿透板厚的I 型裂纹的平板为例，来建立应力强
a
P
a K ππσ+
=a K a K a K III
II I π
τπτπσ',,===
度因子和能量释放率间的关系。

裂纹尖端正前方的应力分布:
裂纹长度(或裂纹半长度)为a 的裂纹端点正前方r 处有使裂纹面撑开的拉伸应力:
裂纹面上的位移:
在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a 长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s 的裂纹。

此时在原坐标系的x=r 处或离新裂纹端点s-r 处，新裂纹上表面的位移v(s-r,π)：
裂纹形成时外力做功
:
当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。

由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长s 时，作用力对裂纹上表面所做的功为：
B 为平板的厚度
能量释放与应力强度因子:
按照Griffith 能量释放的观点，裂纹长度延长s 时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。

因此，按照I 型裂纹能量释放率GI 的定义 : 当s →0时，有[KI]a+s → KI ，经过积分得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=23sin 2sin 12cos 2θθθπσr K I
y r K r I y πσ2)0,(=2sin 2cos 2)1(2222/1θ
θκ
π
μ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=r K v I s a I K r s r s v +-+=-][221),(πμκπBdr r s v r s y ⎰
-02)
,()0,(π
σBdr r s v r Bs G s y s I ⎰
-=→002
),()0,(2lim πσ
4-2 柔度法
柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得到G ，然后再利用G 与K 的关系来得到K 值。

由于I 型裂纹的G 与K 的关系式是精确的，并且I 型裂纹容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I 型裂纹。

恒载荷和恒位移时G 的表达式 :
当边界是给定位移时，外界对系统不做功，则
这是恒位移时能量释放率的表达式 。

若系统边界某范围是给定载荷 ，
这是恒载荷时的能量释放率表达式。

应力强度因子标定的步骤如下∶
(1) 选定一标准试件，在疲劳试验机上施加疲劳载荷或用薄刀片加工，制成长为a1的I 型裂纹。

然后在拉力试验机上拉伸，画出拉力P 和加载点位移δ关系线。

此时P- δ关系应是线性的，见图。

拉力P 值不得大到使P- δ关系产生非线性。

下一步，再度使裂纹稍稍延长至长度a2，有在同一张纪录纸上记下此时的P- δ关系。

如此进行至少十多次，裂纹长度已相当长时才停止。

(2) 根据图，求出不同裂纹长度下的柔度，柔度是直线斜率的倒数。

把柔度与裂长的关系画在图中。

若是数据点足够多，可用最小二乘法把数据点拟合成一条多项式表示的曲线。

若取此多项式为四次多项式，用无量来表示，则有 这里B 是板厚，E 是弹性模量，h 是板宽，bi 为多项式各项的系数。

(3) 事实上，在P- δ关系保持线性时，P 不论取为何值，上式恒成立。

对上式微分，并利用下式
2
81I
I K G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μκdA U W d G )
(-=δ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dA dU G p dA dU G ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dU P d dW 2==δ4
4
332210)()()()(h a b h a b h a b h a b b BEC ++++=P a C B P a B U G ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∂∂=22
可得
4-3 断裂判据 断裂过程区:
断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤达到临界程度时才发生的。

在此小区域中材料的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的地方。

这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。

K 场区:
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端的小区域内，此区域称为K 场区。

K 场区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外则须加上高次项。

关于K 场区和断裂过程区:
如果K 场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端区是不实用的。

反过来，若K 场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上，则断裂进行区是否会发生断裂，受其外部的K 场区强度所制约，因此，断裂判据可建立在K 场区强度是否达到临界条件这个基础上。

由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性区，而塑性区内的应力是有界的。

因此，应力强度因子断裂判据成立的条件是，塑性区尺寸比K 场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。

幸运的是，许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时，多是K 场区强度起支配作用的。

因此，应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂。

断裂判据:
对于一个单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的关系，可有断裂判据：
I 型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开始的临界点Kcr ，通常与试件(或构件)的厚薄、大小有关。

当试件(或构件)厚到某一程度和大到某一程度，脆性材料的Kcr 值达到极小值，以后尺寸厚度再增加， Kcr 仍维持此极小值，此极小值用符号代表即为KIC ，其相应的GIC 值称为平面应变的断裂韧度。

因此，I 型裂纹保守的判据为: 断裂判据可以解决下列两个问题
(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临界裂纹尺寸； (2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引起断裂的载荷。

4-4 阻力曲线
能量释放率可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量，又称为裂纹扩展力。

裂纹扩展力必须大于裂纹扩展阻力，裂纹才有可能扩展。

对平面应变的脆性断裂来说，裂纹扩展阻力由KIC 确定，是个常数值，不随裂纹增长而变。

但对不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面应变所要求的厚度时，裂纹扩展阻力不再是常数。

为了说明裂纹扩展阻力的观念，现在以平面应变无限大平板I 型中心裂纹为例， 脆性断裂阻力曲线:
])(4)(3)(2[2
13
423212
2h a b h a b h a b b P Eh GB +++=2
1
3423212
1])(4)(3)(2[)2(h a b h a b h a b b h B P K +++=cr K K ≥IC I K K ≥
当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增加而线性上升。

在σ1时，裂纹半长度为a1就达到裂纹扩展阻力值GIC。

超过a1 ，就发生失稳断裂；低于a1 ，则裂纹不扩展。

以小于σ1的拉伸应力σ2作用时，必须超过较长的a2才会发生断裂。

图中带箭头的直线代表裂纹扩展力，只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=KIC，才会发生失稳断裂。

如果将x轴改为代表裂纹扩展增量Δa，则可以改画成下图。

Δa ＞0部分才是真正扩展。

Δa ＜0部分即表示不扩展，而以负方向离原点的距离表示裂纹半长度的大小。

韧性断裂阻力曲线:
在板厚较薄而不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力R随Δa增加而增加。

图(4－9)的例子仍是Griffith裂纹，此时裂纹扩展阻力是一曲线。

此曲线叫做阻力曲线或R曲线
图4-9 非平面应变的R曲线
4-5 应变能密度因子
考虑二维的裂纹问题，受到I、II、III型三种载荷中的任一种或两种以上载荷的作用。

裂纹前缘是平直的，即整个前缘各点的应力强度因子值都相同，如图所示，裂纹端点区附近的一点P处有体积元，其应力场为三种裂纹应力场的叠加：
一般情况下的裂纹尖端应力场
平面应力 平面应变
记
应变能密度公式 于是，平面应变时在P 点的应变能密度为 ：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-+=
23sin 2sin 12cos 223cos 2cos 2sin 221θθθθθθτr
k r
k xy 2cos
22sin 233θτθ
τr
k r
k yz
xz =-=23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 221θ
θθθθθσr
k r k y +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=23cos 2cos 22sin 223cos 2sin 12cos 221θθθθθθσr k r k x ⎩
⎨
⎧+=)(0
y x z σσνσ321,,k K k K k K III II I π
ππ===)(21)
()
(21
2
22222zx yz xy x z z y y x z y x E E dV dU τττμ
σσσσσσν
σσσ+++++-++=]2[12
333222*********k a k a k k a k a r
dV dU +++=
式中：
FPZ
设裂端有个以裂端为原点、半径为r0的圆形损伤核(或叫断裂进行区)。

设r0值远小于K 场区尺寸，如此，在脆性断裂时，断裂是否会发生要由K 场区应力应变强度来决定。

对于复合型裂纹，应变能密度可综合度量K 场区应力应变的强度；更重要的是，应变能密度是个单参数，它代替两个以上的应力强度因子(多参数)。

因此，根据应变能密度的概念而建立的断裂判据，显然要比多参数判据简单。

K 场区
损伤核周界是损伤核与K 场区的交界。

在K 场区所有位置的应变能密度中，周界上的应变能密度对断裂是否发生，起着决定性的作用。

4-6 平面I-II 复合型裂纹
一般构件的受载情形是复杂的，萌生裂纹的位置和裂纹扩展方向受到应力分布的影响，有可能不是单独型裂纹，而是复合型裂纹。

以线弹性力学应力分析来说，描述复合型裂纹端点区的应力场强度的力学参量至少两个，因此，断裂判据可能是多参数判据。

例如力学参量为应力强度因子时，判据可写成
这里发fcr 为在此温度、此厚度下的材料常数。

多参数判据在应用上有时不方便，同时与开裂角不一定能联系起来，因此，寻找一个物理意义清楚，且与实验结果符合的判据是非常有必要的。

最大能量释放理论:
在Griffith 能量释放理论中，已假设裂纹是沿着原来的方向扩展，这对I 型裂纹是正确的，
μ
θθθνμνθθμθθνμ41
)]
1cos 3)(cos 1()cos 1)(1(4[161)]21()[cos sin 2(161)cos 1)(cos 43(16133221211=-++--=--=+--=a a a a cr f k k k f =),,(321
但对II 型裂纹或复合型裂纹，实验已证明裂纹并不沿原来方向扩展。

因此前面所建立的能量释放率与应力强度因子的关系式，只有在I 型的情况下才正确，其余都只是近似的结果。

按照物理观点，裂纹扩展的方向应是有最多能量可释放的方向 ：
由此确定 以及发生的方位。

失稳断裂判据取为：
第五章 弹塑性断裂力学的基本概念 5-1 Irwin 对裂端塑性区的估计
线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r-1/2而变化。

当r->0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。

事实上，不论强度多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的。

尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发生使这种无限大应力的结果并不符实。

当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区(plastic zone)，塑性区内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度有关。

裂端塑性区:
对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。

此时，线弹性断裂力学的理论和应力强度因子的概念完全适用。

当塑性区尺寸不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性断裂力学结果。

若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量。

这属于塑性断裂力学的内容。

裂端塑性区尺寸的初步估计
:
Irwin 首先对裂纹尖端塑性区的尺寸给予初步的估计。

假设裂纹是I 型，裂端前r 等于r*p 处y 方向的拉伸应力刚好达到屈服应力σys,则r*p 就是塑性区的尺寸。

用公式表示如下:
所以塑性区尺寸为：
I 型裂纹的应力场:
00.
22<∂∂=∂∂==θθθθθθG G 和。

max G cr G G ≥m ax ys
p
r r y r K p
σπσθ====*02*
2
2
*2ys
p
K r πσ=
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
＋高次项
在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，因而可以忽略。

所以裂纹前沿任一点的σx =σy=σ
裂端塑性区尺寸:
平面应力时：
平面应变时：
按上式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。

因为平面应变时，塑性内的应力分布并不是恒为σys，而是呈峰形分布。

Irwin建议取平面应变时裂端塑性区尺寸为：
裂纹有效长度:
第二步估计可以假设裂纹的有效长度为aeff，而aeff=a+ρ，这里ρ大于零。

用此aeff来计算应力强度因子Keff和应力场。

如图所示，仍是I型裂纹，当有效裂纹端点前λ处的σy等于σys时，则:
得：
Irwin塑性区的再度估计:
当ρ<<a时，即塑性区尺寸远比裂纹长度小(此时叫小范围屈服) ，Keff趋近于K值，上式成为：
要估计ρ的大小，可假设图中阴影线部分的面积A等于面积B。

换句话说，高于屈服应力
2
3
cos
2
cos
2
sin
2
2
3
sin
2
sin
1
2
cos
2
2
3
sin
2
sin
1
2
cos
2
θ
θ
θ
π
τ
θ
θ
θ
π
σ
θ
θ
θ
π
σ
r
K
r
K
r
K
I
xy
I
y
I
x
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
=
2
2
*
2
s
p
K
r
πσ
=
2
2
*
2
)
2
1(
s
p
K
r
πσ
ν
-
=
2
2
*
6
s
p
K
r
πσ
=
ys
eff
K
σ
πλ
=
2
2
2
2
ys
eff
K
πσ
λ=
*
2
2
2p
ys
eff r
K
=
≈
πσ
λ。