石墨烯紧束缚模型色散关系推导

石墨烯紧束缚模型色散关系推导
介绍
石墨烯是一种由碳原子组成的二维晶体材料，在最近几十年中引起了科学界的广泛关注。

它具有许多独特的物理性质，如高导电性、高载流子迁移率和热导率等。

石墨烯的这些性质可归功于其特殊的能带结构，即色散关系。

色散关系描述了材料中电子能级与动量之间的关系。

它直接影响到材料的电子输运性质和光学性质。

石墨烯的色散关系可以通过紧束缚模型推导得出，本文将详细介绍该推导过程。

1. 紧束缚模型基本原理
紧束缚模型是一种用于描述固体中原子间相互作用的方法。

它假设原子间的相互作用仅限于最近邻原子之间，并且通过将每个原子的波函数展开成最近邻原子轨道的线性组合来描述电子的运动。

对于石墨烯而言，紧束缚模型假设每个碳原子的波函数可由最近邻碳原子的2p_z 轨道线性组合得到。

在二维晶格上，符合Bloch定理的波函数可以构造成平面波的形式。

因此，我们可以采用Bloch函数的形式来描述石墨烯的波函数。

2. 构造石墨烯的紧束缚模型
在石墨烯中，碳原子沿两个方向排列成呈蜂窝状的二维晶格。

我们可以通过构造两个最近邻碳原子之间的相互作用来建立紧束缚模型。

设第i个碳原子上的电子的波函数为|ψ_i>，则它可以表示为最近邻碳原子上的波函数的线性组合：
|ψ_i> = c1|ψ_A> + c2|ψ_B>
其中，|ψ_A>和|ψ_B>分别表示第i个碳原子的最近邻A和B原子上的波函数，c1和c2是待定系数。

通过代入波函数表达式，并考虑到最近邻碳原子间的相互作用，可以建立起一个方程组来求解这些待定系数。

3. 解方程并推导石墨烯的色散关系
在具体的计算中，我们可以选择以A原子或B原子为基准，然后分别解出|ψ_A>和|ψ_B>。

设碳原子的最近邻距离为a，我们可以得到每个原子上的波函数表达式：
|ψ_A> = ∑ A_k exp(ikR_k)
其中，A_k是待定系数，R_k是A原子所在的位置。

|ψ_B>的表达式类似。

通过解方程组，可以得到待定系数A_k和B_k的表达式，然后代入到波函数表达式中。

进一步计算可以得到能量与动量的关系，即色散关系。

石墨烯的色散关系可以由以下公式表示：
E(k) = ±t√(1 + 4cos(√3akx/2)cos(aky/2) + 4cos^2(√3akx/2))
其中，E(k)表示能量，k是动量，t是最近邻原子间的跃迁积分。

总结
通过紧束缚模型的推导，我们得到了石墨烯的色散关系。

色散关系对于解释石墨烯的许多物理性质具有重要意义。

石墨烯的色散关系由一个带隙和两条能带组成，其中带隙位于两条能带之间。

石墨烯具有特殊的色散关系，使其具有许多独特的电子和光学性质。

它具有高度的电子迁移率和导电性，使其成为电子学和光电子学应用的理想材料。

石墨烯的紧束缚模型色散关系的推导为我们理解石墨烯的物理性质提供了重要的基础。

通过进一步研究和实验验证，我们可以进一步深入理解石墨烯的性质，为其在各个领域的应用提供更强的支持。

参考文献 1. Castro Neto, A. H., Guinea, F., & Peres, N. M. R. (2009). The electronic properties of graphene. Reviews of Modern Physics, 81(1), 109-162. 2. Wallace, P. R. (1947). The band theory of graphite. Physical Review, 71(9), 622.。