考研高数第四、五、六章总结

一元函数积分学
（一）不定积分
1、原函数的存在性
积不出来。

故这些不定积分均称为不能用初等函数表示，被积函数有原函数，但等。

不一定是初等函数初等函数的原函数
上原函数一定存在，但在区间连续，则在区间设⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx e dx x
dx x x dx x x dx x dx x eg I x f I x f x 2,ln 1
,cos ,sin ,)cos(,)sin(:)()(222、基本积分公式
⎰⎰⎰≠>+=+=-≠++=+)1,0(ln ;||ln 1),1(1
1a a C a a dx a C x dx x u C u x dx x x x
u u
；实常数 For personal use only in study and research; not for commercial use
⎰⎰
⎰⎰+-==+==C x dx x xdx C x dx x
xdx cot sin 1csc ;tan cos 1sec 22
22
⎰⎰⎰⎰+=+-=+-=+=;
|sin |ln cot ;|cos |ln tan ;
csc csc cot ;sec sec tan C x xdx C x xdx C x xdx x C x xdx x
⎰⎰+-=++=C x x xdx C x x xdx |cot csc |ln csc ;|tan sec |ln sec
补充公式：
⎰⎰⎰⎰>+±+=±>+-+=->+=+>+=-)0(||ln 1);0(||ln 211);0(arctan 11;)0(arcsin 1
2
2
2222222a C a x x dx a x a C x
a x a a dx x a a C a
x
a x a a C a x dx x a
要求：会推导，会背！！！
3、换元积分法和分部积分法
（1）第一类换元积分法（凑微分法----整体代换----复合函数求导数的逆运算）
⎰⎰⎰⎰+=+==='+=C
x F C u F du u f x u x d x f dx x x f x x C u F du u f )]([)()()()()]([)()]([)
....()()()(ϕϕϕϕϕϕϕ令变量的一个函数看成一个新把可导，则，又设
要求积分公式能够倒背如流，可以顺利的凑出中间变量！！！ 常用的几种凑微分形式：见练习本 <1>
⎰
≠≠++=
+-)0,0)(()(1
)(1n a b ax d b ax f na
dx x b ax f n n n n <2>⎰⎰-=+)1(arctan )1(arctan 1)
1
(arctan 2
x d x f dx x x f <3>
)0))((ln()][ln()]
[ln(22222
222>±+±+=±±+⎰⎰
a a x x d a x x f dx a x a x x
<4>
⎰
≠+=')0)((|)(|ln )
()
(x f C x f dx x f x f (2)第二类换元积分法(看成一个新变量函数把x )
的反函数。

为其中令则，若单调、可导，且设)()()]([)()()]([)()()()()]([,0)()(11t x x t C x G C t G dt t t f t x dx x f C t G dt t t f t t x ψψψψψψψψψψ==+=+='=+='≠'=--⎰⎰⎰
注意：第二类换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉。

常见的变量替换分为两大类：
第一类：被积函数是或与或与n n d
cx b
ax x b ax x +++构成的代数式的根式，
由x e 等例如b ae x +。

即可。

变量替换就作这种已经不再有根式，那么，解出只要令根式)()()(t x t x t x g n ψψ===
第二类：
三角替换。

然后再作时，先化为先化为时处理，将量替换不行，要作特殊仍是根号，那么这样变解出
，如果仍令被积函数含有])()[(0,)[(0)()0(2
02
2
022x x l A A l x x A A t x t C Bx Ax A C Bx Ax ---<±->==++≠++ψ
（三角替换见练习本）
注意：如果既能用上述第二类换元积分法，又可以用第一类换元积分法，那么一般用第一类换元积分法比较简单。

（3）分部积分法（两个函数相乘的求导数的逆运算）分部积分法的目的：化难为易。

有一定规律。

谁看作函数中谁看作使用分部积分法时被积均有连续的导数，则设)()()()()()()()()()()()()()()()(x v x u dx x u x v x v x u x du x v x v x u x dv x u dx x v x u x v x u ''-=-=='⎰⎰⎰⎰
规律：。

多项式部分为为取次分部积分法，每次均进行要
为常数次多项式为情形)();(cos ,sin ,,,)(,cos )(,sin )(,)()1(x u x v ax ax e n a n x P ax x P ax x P e x P ax
n n n ax n '
()()()()()再考虑其它方法。

化被积函数的形式发生变，用分部积分法一次为而为次多项式取为情形）（,,)(arctan ,arcsin ,ln ),(,arctan ,arcsin ,ln 2x u x x x x v x P n x P x x P x x P x x P n n n n n '
)
(4c o s ,s i n )3(x dv dx bx e bx e ax ax 和凑成使尽量多的因子凑微分法，使用分部积分法，要用）比较复杂的被积函数（分法后要移项，合并。

情形，进行二次分部积
例题：1、直接积分法
所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。

1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=x x x x x 三角函数中的倍角公式
在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。

然后再用基本积分公式积分。

加项减项法、积化差（因式分解再裂项）、三角函数中平方关系的巧妙应用。

2、第一类换元积分法
Eg1、()
C x x
dx x x x x N n n dx x x n n n n n n ++=+-+=∈>+⎰⎰+
|1
|ln 11),1()1(1
Eg2、C
x x x C x B x A x dx x C
x B x A dx x x x x x dx x x x x x +---==⇒==⇒==⇒=-+-+-=---+-=-+-+-⎰⎰⎰|)3()2()1(|ln ;13;22;31]321[)3)(2)(1(26266611626266232232原式令令根据分子建立方程，令
Eg3、
C e
e x e d e dx e e e e d e dx e dx e e e dx e x x
x x x x
x
x
x x x x x x ++-+-=++-+-+=++-+=+-+=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰11)1ln()1()1(111)1()1(111)1(1)1(12222
先化简，再凑微分。

Eg4、⎰⎰-=++-=++-=++
=+-)ln 1ln (ln ln 11)ln 1()
ln 1()
ln (ln 12
22dx x
x x x d C x x x C x
x x x x x
d dx x x x
})sin (cos )(cos {)cos 1(cos )(cos )cos 1(cos )sin (cos )cos 1(cos sin cos :5sin 2sin sin sin sin sin sin sin 2sin 2x
x x
x x x x x
x e x x xe xe xe xe d dx
xe xe e x x dx xe x x x eg -='+=+-=+-⎰⎰⎰ C xe xe C u u du u u u u du x
x
++=++=+-=+=⎰⎰|cos 1cos |ln |1|ln ]111[)1(sin sin
注：被积函数中最复杂的因子，可能就是中间变量，()()=d 凑微分，这种方法常用。

C e x d e
e
x dx eg x x
x
+=-=-⎰
⎰
1
1
12)1
(1:6把分母的指数函数挪到分子上变成负指数。

性质 Eg7：⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-=--=-=-+-=+C
x x x x
x d x x d dx x x
dx x x dx x x x x dx x x tan sec cos cos cos cos cos sin cos sin )sin 1)(sin 1()sin 1(sin sin 1sin 22222
注：两个根号相加减的因子，乘以另外一个因子，构成平方差，化简常用。

Eg8、dx x x x dx x x ⎰⎰-+-+-=-100
21002)
1(1
)1(2)1()1( 3、第二类换元积分法
Eg1：C
x a a x
a x a x a d a x a x a xdx
x a dx a x d x a x a a dx x a x a +--⋅=---⋅=-+-=-+=>-+⎰⎰⎰⎰⎰222
22
22
22222arcsin )(21arcsin )0(
解法二、a
x
a x a a x a x a C x a a
x a C t t a dt t a tdt
t t
t
a dt t a t t t a x arccos
2arcsin 2arccos arcsin (arccos )2sin 2()2cos 1(2cos sin 2sin cos 2)2sin 2(2cos 12cos 12cos 2
2-=⋅⇔=+⋅+--⋅-=++-=--=⋅⋅-=--+==⎰⎰⎰
ππ注：则原式令
4、分部积分法（有时还用了换元积分法）
Eg1：C
bx b bx a b a e bxdx e C bx e a b
bx e a bxdx e a b bxdx e a b bx e a b bx e a de bx a b
bx e a bxdx e a b bx e a bx
d e a bx e a de bx a b a bx e ax ax
ax ax ax ax
ax ax ax ax ax ax ax ax ax
ax
+-+='
+-=+--=-=--==
≠≠⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)cos sin (sin cos sin 1sin )1(sin cos sin 1cos sin 1cos sin 1sin 1sin 1sin 1)00
(
sin 222222222找关系式
(二)定积分和反常积分的概念与计算方法
1、定积分的几何意义
曲边梯形面积的代数和。

2、定积分的性质
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===-⇐-=∈⇐-≤≤-≤≤≤≤<←≤<≤≤≤≤≤-==≡+=+=+=-=+--T
nT
a a
a
a
a
a
a b a b
a
b
a b
a
b a
b
a
b a
b a
b
a
b a
b
c
c a
b
a
b a
b a
a
a
a b
b
a
dx
x f n dx x f a T x f f dx x f dx x f f dx x f b a x f dx x f a
b a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m b x a M x f m b a dx x f dx x f b a dx x g dx x f b x a x g x f b a a
b dx dx x f b a b a
c dx x f dx x f dx x f dx
x f k dx x f k dx x f k x f k dx x f dx
x f dx x f 0
22112211)()()(10)
()(2)()(0)()9(],[)()(1))(()(],,[],[)()8()()()(),()(,7|)(||)(|,;
)()(),)(()(,)6(11)(],[)5)
],[()()()()4()()()]()([)3(0
)()2()()()1(为常数，则为周期的连续函数，以设）周期函数的积分性质
（为连续、偶函数为连续、奇函数奇偶函数的积分性质
上的积分平均值在为定义：我们称定积分中值定理
使
个点上连续，则至少存在一在设积分估值定理
则
）设（常用）
（绝对可积则设则设，则上如果在区间（之外也可以在ξξ
3、变上限积分的函数
称为变上限积分的函数
上可积，则在定义：设⎰∈=Φx
a
b a x dt t f x b a x f ],[,)()(],[)( 定理：
)
()()()()(],[)()2(],[,)()(],[)()1(x f x x f dt t f x b a x f b a x dt t f x b a x f x
a
x
a
=Φ'=Φ=Φ⎰⎰上可导，且在上连续，则在若上连续
在上可积，则在若
推广形式：
)()]([)()]([)()()(),(,)()(112
2)
()
(2121x x f x x f x F x f x x dt t f x F x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ'-'='=⎰
连续，则
可导，设
4、牛顿---莱布尼茨公式
)
---],[)(],[)(()
()(|)()(],[)()(],[)(但证明方法就很复杂莱布尼茨公式仍成立，上可积，牛顿在若法来证明；用上面变上限积分的方上连续，可以很容易地在注：若则有上任意一个原函数，在为上可积，在设b a x f b a x f a F b F x F dx x f b a x f x F b a x f b
a b a ⎰-==
5、定积分的换元积分法和分部积分法：式子和上下限都变！！！
6、反常积分（1）无穷区间上的反常积分 《1》 ⎰⎰⎰
⎰
∞
--∞→+∞
+∞→==b b
a
a a
b
a
b dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )()(lim
)(和定义：
反常积分不能向定积分那样把一个区间去分割，取点，求和，取极限；而是把反常积分定义为定积分取极限状态这么考虑，所以有极限存在（收敛，有值得概念）或不存在（发散，没有值的概念）两大类。

⎰
⎰⎰⎰
⎰+∞
∞
-+∞→-∞→+∞
∞
-+=+=b
c
b c a
a c
c dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(
是可以的。

，那么计算是收敛的，而求它的值知道
是收敛的。

但如果已经才能知道两个反常积分都收敛，和求的极限存在性，必须要的收敛性不能用判断⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰-+∞→∞
+∞
-∞+∞
-∞+∞
--+∞→+∞
∞
-R
R
R c
c
R
R
R dx x f dx x f dx x f dx x f dx
x f dx x f dx x f )(lim
)()()()()(lim
)( 《2》常用公式：
⎰
⎰⎰⎰
∞
+-∞+∞
+∞
+≥≤>≤>-==≤∞+>-=e
x k p e
p p
k dx
e x p p p u
du x x dx
p p p x dx
)
0(,,0,01..................1 (1)
1
)(ln 1..........1. (1)
1
11
发散
收敛
发散
收敛
发散
收敛λλλ （2）无界函数的反常积分（瑕积分）
发散）。

否则反常积分是收敛的，
时才称反常积分若上面两个极限都存在注：定义的瑕点
为，则称点外连续，且上除点在》设在《⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰+-→→→+=+=∞=<<b
a
b
a
b
t
c
t c a
t a
c
t b c
b a
c
x dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f x f c x f b c a c b a x f )()(()(lim )(lim )()()()()(lim )(],[)(1
<2>常用公式：
⎰⎰⎰-≥<1011-10)1()1()1(q q q
x
dx x dx
q q x dx 和；；；类似考虑时发散时收敛 最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算
法则就可以得到反常积分运算法则。

例题：1、用常规方法计算定积分
Eg1:40
2|2211
,arcsin )
()
1(arcsin 2
202
1
ππ
π
=
==⋅-=
=-⎰⎰
t tdt x
dx
x dt t x dx x x x ，原式于是令收敛的反常积分
Eg2：
⎰
>--b
a
a b x b a x dx ))(()
)((收敛的反常积分
⎰=--=≤
≤+=2
2
2
s i n c o s )(2s i n )(,2
0,s i n c o s π
ππ
dt t
t a b t
a b t t b t a x 原式则解：令
Eg3：
)(2sin 120
分段函数dx x ⎰
-π
⎰⎰⎰-=-=-=ππ
π20
20
2
|cos sin |2|cos sin |)cos (sin dx x x dx x x dx x x 解：原式
24])cos (sin )sin (cos [
24
4
=-+-=⎰⎰
dx x x dx x x ππ
π
（三）定积分的应用
1、平面图形的面积
2、平面曲线的弧长
3、特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分） （1）已知平行截面面积的立体体积 )(,)(d z c dz z S V d
c
≤≤=
⎰
（2）绕坐标轴旋转的旋转体的体积
<1>平面图形由曲线轴和，与直线x b x a x x y y ==≥=0)(围成绕轴x 旋转一周的体积为⎰
=b
a
x dx x y V )(2π
；绕y 轴旋转一周的体积为⎰=b
a
y dx x xy V )(2π
<2>平面图形由曲线轴和与直线y d y c y x y y ==≥=,0)(围成绕轴y 旋转一周的体积为⎰
=d
c
y dy y x V )(2π
；绕x 轴旋转一周的体积为⎰=d
c
x dy y yx V )(2π
4、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积
⎰⎰⎰'+'=≤≤=='+=≤≤='+=≤≤==⋂
⋂
⋂
⋂
β
α
β
α
θ
πβαθ
θθθθπβθαθπd t y t x t y S t t y y t x x AB d r r r S r r AB dx
x y x y S b x a x y y AB S x x AB C b
a
22222)]([)]([)(2)(),(),()3()]([)]([sin )(2)(),()2()]([1)(2),)(()1(.的参数方程为设则的极坐标方程为设则的方程为设面积为轴一周所得旋转曲面的轴上方，它绕位于设平面曲线
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。