热点创新练(二)

热点创新练(二)
一、单项选择题
1.(2021·新高考原创卷)鉴于目前国内新冠肺炎疫情防控常态化的形势，2020～2021赛季CBA联赛将分阶段举行.其中常规赛阶段将采取赛会制，即20支参赛球队将根据2019～2020赛季的最终排名蛇形排列分为两组，每组10支球队，组内四循环(每2支球队进行4场比赛)、不同组间双循环(每2支球队进行2场比赛).那么在常规赛阶段，2020～2021赛季CBA联赛一共需要比赛的场数为() A.360 B.400
C.560
D.720
答案 C
解析同组内的球队需要比赛的场数为2·C210×4＝360，不同组间的球队需要比赛的场数为2×10×10＝200，根据分类加法计数原理知，一共需要比赛的场数为360＋200＝560.
2.(2021·湖北联考)为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为()
A.207米
B.257米
C.2021米
D.2521米
答案 C
解析在Rt△OAT中，OT⊥OA，∠OAT＝30°，设OT＝h，则OA＝h
tan 30°＝3h.
在Rt △OTB 中，OT ⊥OB ，∠OBT ＝60°，因为OT ＝h ，所以OB ＝h tan 60°＝3
3h . 在△OAB 中，因为∠OAB ＝21.7°，在点B 处测得该山在西偏北81.7°方向，所以∠AOB ＝81.7°－21.7°＝60°，又AB ＝140，所以由余弦定理得1402＝(3h )2＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫33h 2
－2×3h ·3
3h ·cos 60°，解得h ＝2021，故选C.
3.(2021·南京、盐城二模)密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”.1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为7
6π，则其圆心角用密位制表示为( ) A.12－50 B.17－50 C.21－00 D.35－00
答案 B
解析 设扇形的圆心角为α rad ，由题意知扇形的半径R ＝2，则12R 2α＝7π
6，所以α＝7π12.因为1 rad ＝6 0002π密位＝3 000π密位，所以7π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π12·3 000π密位＝1 750密
位＝17－50，故选B.
4.(2021·深圳一调)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A (前轮)、圆D (后轮)的半径均为3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC →·BP
→的最大值为( )
A.18
B.24
C.36
D.48
答案 C
解析 根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，则A (－8，0)，B (－6，23)，C (－2，23).
圆D 的方程为x 2＋y 2＝3，可设P (3cos α，3sin α)， 所以AC
→＝(6，23)，BP →＝(3cos α＋6，3sin α－23). 故AC →·BP →＝6sin α＋63cos α＋24 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋3
2cos α＋24
＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＋24≤12＋24＝36.
故选C.
5.(2021·江苏调研)天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1－m 2＝2.5(lg E 2－lg E 1)，其中星等为m i 的星的亮度为E i (i ＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则r 的近似值为(当|x |较小时，10x ≈1＋2.3x ＋2.7x 2) ( ) A.1.23 B.1.26 C.1.51 D.1.57
答案 B
解析 设“心宿二”的星等为m 1，“天津四”的星等为m 2，则“心宿二”的亮
度为E 1，“天津四”的亮度为E 2，且m 1＝1.00，m 2＝1.25，E 1＝rE 2. 因为两颗星的星等与亮度满足m 1－m 2＝2.5(lg E 2－lg E 1)，所以1.00－1.25＝ 2.5[lg E 2－lg(rE 2)]＝2.5[lg E 2－(lg r ＋lg E 2)]＝－2.5lg r ，解得r ＝100.1≈1＋2.3×0.1＋2.7×0.12＝1＋0.23＋0.027＝1.257，所以与r 最接近的是1.26，故选B. 6.(2021·苏北适应性考试)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种方法，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的一种方法，我们称3×4为12的最佳分解.当p ×q (p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数f (n )＝|p －q |，例如f (12)＝|4－3|＝1，则∑2 021
i ＝1f (2i )＝( ) A.21 011－1 B.21 011 C.21 010－1 D.21 010
答案 A
解析 当i ＝2k (k ∈N *)时，22k ＝2k ·2k ，f (22k )＝|2k －2k |＝0； 当i ＝2k －1(k ∈N *)时，22k －1＝2k ·2k －1，f (22k －1)＝|2k －2k －1|＝2k －1. 所以∑2 021
i ＝1f (2i
)＝f (21
)＋f (23
)＋f (25
)＋…＋f (22 021
)＝20＋21＋22＋…＋2
1 010
＝
1－21 011
1－2
＝21 011－1.
7.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且图中所示的函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin π3x ＋13，0≤x <2，
90·e －0.5x ＋14，x ≥2.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n (n ∈N *)小时才可以驾车，则n 的值为(参考数据： ln 15≈2.71，lg 30≈3.40)( )
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车[20，80)
醉酒后驾车[80，＋∞)
A.5
B.6
C.7
D.8
答案 B
解析由题意可知，当酒精含量低于20 mg/100 mL时才可以驾车，即当x≥2时，
f(x)＝90·e－0.5x＋14<20，整理得e－0.5x<1
15，－0.5x<ln 1
15，解得x>
ln 15
0.5≈5.42，所
以至少经过6小时才可以驾车，故选B.
8.(2021·湖北一联)蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，“蹴”有用脚蹴、踢、蹋的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.3D打印属于快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足任意两点间的直线距离为2 6 cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(参考数据：π≈3.14，2≈1.41，3≈1.73，精确到0.1)()
A.113.0 g
B.267.9 g
C.99.2 g
D.13.8 g
答案 C
解析 把棱长为26的正四面体ABCD 放到正方体中，如图所示，则正方体的棱长为26×2
2＝23，正四面体的外接球即此正方体的外接球，即外接球的半径R ＝（23）2＋（23）2＋（23）22＝3，则外接球的体积V ＝43πR 3
＝36π，正四
面体ABCD 的体积即正方体体积的13，即V 四面体ABCD ＝1
3×(23)3＝83，则制作该模型所需原料的质量为(36π－83)×1≈36×3.14－8×1.73＝99.2(g)，故选C.
二、多项选择题
9.(2021·湖南名校测评)我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成N ＝a ·10n
(1≤a <10，n ∈Z )，定义：W (N )＝⎩
⎨⎧N 的整数部分的位数，n ≥0，N 的非有效数字0的个数，n <0，如
W (1.2×102)＝3，W (1.23×10)＝2，W (3×10－2)＝2，W (3.001×10－1)＝1，则下列说法正确的是( )
A.当n >0，M >1，N >1时，W (M ·N )＝W (M )＋W (N )
B.当n <0时，W (N )＝－n
C.若N ＝2100，lg 2≈0.301，则W (N )＝31
D.当k ∈N *时，W (2k )＝W (2－k ) 答案 BCD
解析 令M ＝1.2×102，N ＝1.25×10，则W (M )＝3，W (N )＝2，W (M ·N )＝W (1.5×103)＝4，而W (M )＋W (N )＝5，故W (M ·N )≠W (M )＋W (N )，所以A 选项不正确； 当n <0时，W (N )＝W (a ·10n )＝－n ，所以B 选项正确；因为N ＝2100，lg 2≈0.301，lg 2100＝100lg 2≈30.1，所以n ＝30，W (N )＝31，所以C 选项正确；
当k ∈N *时，令2k ＝a ·10n (1<a <10，n ∈N *)，于是2－k ＝1a ·10－n
，又1<a <10，所以
0.1<1a <1，所以2－k ＝1a ×10－n ＝10a ·10－n －1，此时W (2k )＝n ＋1，W (2－
k )＝n ＋1，即W (2k )＝W (2－k )，所以D 选项正确.故选BCD.
10.(2021·济南联考)筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，如图1是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.一个半径为R 的筒车的平面示意图如图2所示，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒，经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2，则下列叙述正确的是( )
A.φ＝－π3
B.当t ∈[0，60]时，函数y ＝f (t )单调递增
C.当t ∈[0，60]时，|f (t )|的最大值为3 3
D.当t ＝100时，|P A |＝6 答案 AD
解析 由题意可知y ＝f (t )的最小正周期T ＝120， 所以2πω＝120，即ω＝π60.
如图，由题意原问题可转化为P 从A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速运动，A (3，－33)，∠AOx ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，所以tan ∠AOx ＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪－333＝3，所以∠AOx ＝π3，且R ＝6.连接OP ，则∠xOP ＝ωt －π3＝π60t －π3.根据三角函数的定义可得y
R ＝sin ∠xOP ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
60t －π3， 即y ＝R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π60t －π3＝6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
60t －π3，
所以φ＝－π
3，故选项A 正确； 当0≤t ≤60时，－π3≤π60t －π3≤2π
3，
所以函数y ＝f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
60t －π3在t ∈[0，60]时不单调递增，故选项B 错误；
当0≤t ≤60时，－π3≤π60t －π3≤2π
3，
所以当π60t －π3＝π
2，
即t ＝50时函数y ＝f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
60t －π3取得最大值6，所以|f (t )|的最大值为6，故选
项C 错误；
当t ＝100时，y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π3－π3＝6sin 4π3＝－33，此时x ＝6cos 4π3＝－3，即
P (－3，－33)，所以|P A |＝6，故选项D 正确. 综上可知，选AD.
11.(2021·保定调研)对于高次方程的根的问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了用导数方法求方程近似解的方法——牛顿法.在(x 0，f (x 0))处作f (x )图象的切线，切线与x 轴的交点为(x 1，0)；用(x 1，f (x 1))替代(x 0，f (x 0))一直继续下去得到x 0，x 1，x 2，…，x n ，则x 0，x 1，x 2，…，x n 为f (x )＝0的近似解.f (x )在(x 0，f (x 0))处切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).当f ′(x 0)≠0时，设x 1＝x 0－
f （x 0）
f ′（x 0）
.继续这个过程可以得
到求方程根的牛顿法公式：x n ＝x n －1－f （x n －1）
f ′（x n －1），则下列选项正确的是( )
A.若f (x )＝x 3＋x －1，x 0＝0，则x 2＝3
4 B.若f (x )＝x 3＋x －1，x 0＝1，则x 2＝59
86 C.若f (x )＝x 3，x 0＝1，则x 2＝2
3
D.若f (x )＝x 3，x 0＝1，用牛顿法公式求f (x )＝0近似解的过程中，随着n 变大，x n
与f (x )＝0的精确解x ＝0误差越来越小 答案 ABD
解析 对于A ，因为f (x )＝x 3＋x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋1. 又x 0＝0，所以f (x 0)＝f (0)＝－1，f ′(x 0)＝f ′(0)＝1. 所以x 1＝x 0－f （x 0）f ′（x 0）＝0－－1
1＝1，
则f (x 1)＝f (1)＝1，f ′(x 1)＝f ′(1)＝4，
所以x 2＝x 1－f （x 1）f ′（x 1）＝1－14＝3
4，则A 正确.
对于B ，因为f (x )＝x 3＋x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋1. 又x 0＝1，所以f (x 0)＝f (1)＝1，f ′(x 0)＝f ′(1)＝4. 所以x 1＝x 0－f （x 0）f ′（x 0）
＝1－14＝3
4，
则f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝1164，f ′(x 1)＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫34＝43
16，
所以x 2＝x 1－f （x 1）f ′（x 1）＝34－11
644316＝59
86
，则B 正确；
对于C ，因为f (x )＝x 3，所以f ′(x )＝3x 2. 又x 0＝1，所以f (x 0)＝f (1)＝1，f ′(x 0)＝f ′(1)＝3. 所以x 1＝x 0－f （x 0）f ′（x 0）
＝1－13＝2
3，
则f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝827，f ′(x 1)＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝43， 所以x 2＝x 1－f （x 1）f ′（x 1）＝23－8
2743
＝4
9
，则C 不正确.
对于D ，因为f (x )＝x 3，x 0＝1，用牛顿法求f (x )＝0近似解的过程中，由C 的过程知，x 1＝23，x 2＝4
9，…，随着n 变大，x n 越来越小，逐渐趋于0，故x n 与f (x )＝0的精确解x ＝0的误差越来越小，则D 正确.故选ABD.
12.(2021·重庆联考)对于定义域为R 的函数f (x )，f ′(x )为f (x )的导函数，若同时满足
①f (0)＝0，②当x ∈R 且x ≠0时，都有xf ′(x )>0，③当x 1<0<x 2且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是( ) A.f 1(x )＝e 2x －e x －x B.f 2(x )＝e x ＋x －1
C.f 3(x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≥0，
－x ，x <0
D.f 4(x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，
ln （1－x ），x ≤0
答案 ACD
解析 首先可以验证，4个选项都满足条件①.
条件②等价于函数f (x )在x <0时单调递减，在x >0时单调递增. 对于A 选项，f 1′(x )＝2e 2x －e x －1， 令e x ＝t ，g (t )＝2t 2－t －1(t >0)，
因此，当x <0时，t ∈(0，1)，f 1′(x )<0，当x >0时，t ∈(1，＋∞)，f 1′(x )>0， 因此满足条件②.
当x <0时，令m (x )＝f 1(x )－f 1(－x )＝e 2x －e x －x －e －2x ＋e －x －x ＝e 2x －e －2x ＋e －x －e x －2x ，则m ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －e －x －e x －2＝2(e 2x ＋e －2x )－(e －x ＋e x )－2，令e －x ＋e x ＝k ，则k >2，2k 2
－k －6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k －142－498>2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－142－498＝0，∴m (x )在(－∞，0)上
单调递增，
∴m (x )<0，故f 1(x )满足条件③.
对于B 选项，f 2′(x )＝e x ＋1>1，不满足条件②.
对于C 选项，f 3(x )的图象如图1所示，结合函数图象可知，满足条件②.因为e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时等号成立)，所以e x －1>x (x >0)，因此满足条件③.
对于D 选项，f 4(x )的图象如图2所示，结合函数图象可知满足条件②.因为ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，所以ln(x ＋1)<x <2x (x >0)，因此满足条件③.
三、填空题
13.(2021·新高考原创卷)在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一
篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二 步，径五步，问：为田几何？答曰：二亩五十五步.其大致意思为：现有一个环形田(如图)，中周长92步，外周长122步，径长5步，则田的面积是多少？答：2亩55平方步.则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率π的近似值是________.
答案 3
解析 设内圆的半径为r 1，外圆的半径为r 2，由题意知r 2－r 1＝5，2πr 1＝92，2πr 2＝122，则2π(r 2－r 1)＝30，解得π＝3.
14.(2021·深圳一调)冈珀茨模型(y ＝k ·a bt )是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：y ＝k 0·e1.4e －0.125t (当t ＝0时，表示2020年初的种群数量).若m (m ∈N *)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为________.(ln 2≈0.7)
答案 6
解析 因为y ＝k 0·e1.4e －0.125t ，
所以当t ＝0时，y ＝k 0·e 1.4.
当t ＝m 时，y ＝k 0·e1.4e －0.125m .
因为m (m ∈N *)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，
所以k 0·e1.4e －0.125m <12
k 0·e 1.4， 即2·e1.4e －0.125m <e 1.4，两边同取自然对数得ln 2＋1.4e －0.125m <1.4，即e －0.125m <12，
两边同取自然对数得－0.125m <－ln 2≈－0.7，即m >5.6.而m ∈N *，所以m 的最小值为6.
15.(2021·南京调研)被誉为“数学之神”的阿基米德(公元前287～公元前212)，是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下
结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形.在平面直角坐标系xOy 中，已知直
线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝14x 2交于A ，B 两点，则弦AB 与抛物线C 所围成的封
闭图形的面积为________.
答案 643
解析 由题意可取A (－4，4)，B (4，4)，又y ′＝12x ，所以两条切线方程为y －4＝
－2(x ＋4)，y －4＝2(x －4)，即2x ＋y ＋4＝0，2x －y －4＝0，其交点为P (0，－4)，
则△APB 的面积为12×[4－(－4)]×[4－(－4)]＝32，所以弦AB 与抛物线C 所围成
的封闭图形的面积为23×32＝643.
16.(2021·大连双基测试)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________(填序号).
①f (x )＝ln x ；②f (x )＝x 2＋2x －3；③f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－1，x ≤1，|2－x |，x >1；
④f (x )＝x ＋1x . 答案 ②③
解析 对于①，由于x >x －1≥ln x ，所以ln x ＝x 无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于②，令x 2＋2x －3＝x ，得x 2＋x －3＝0，因为Δ＝1－4×(－3)>0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于③，当x ≤1时，
令2x 2－1＝x ，得x ＝－12或x ＝1，从而该函数为“不动点”函数；对于④，令x
＋1x ＝x ，得1x ＝0，无解，因而该函数不是“不动点”函数.。