有理数乘法法则“负负得正”的五种教学法

有理数乘法法则“负负得正”的五种教学法
■沙稼璐　（南京师范大学教师院数学系　江苏　２２００４６）
【摘　要】根据义务教育数学课程标准（２０１１版）７－９年级数与代数部分的教学要求，笔者查阅各版本初中数学教材、初中数学及小学奥数教辅用书中“负负得正”相关的教学设计、教法、解法，提出总计两个大类、五种解决方法，有理数乘法法则。

【关键词】课程分析；教学设计；有理数乘法法则；负负得正
【中图分类号】Ｇ６３３ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２１－０００８－０２
引言
有理数乘法法则作为初中数学课程教育的一大基石，也是初中义务教育数学课程“数与代数”部分的基础。

有关于有理数乘法法则教学设计的话题讨论经久不息，其中对于“负负得正”的讨论与设计更是汇集了前人无数智慧并渴望将其解决的。

笔者通过查阅，汇总各类初中数学版本教材、初中数学及小学奥数教辅用书中“负负得正”相关的教学设计、教法、解法，提出总计五种解决方法，希望有理数乘法中“负负得正”这一课程难点教学提供一些帮助。

基础解释方法：引入现实问题，建立对应模型。

数学起源于人类早期的生产活动，可以说数学自诞生起便是直接服务于实际生活的一门学科，引入现实问题，建立对应模型是帮助理解、记忆数学原理和规律最常用的方式，下文通过建立类似“１＋１＝２”对应“一个苹果加一个苹果等于两个苹果”，的现实模型，从现实问题出发引入解释“负负得正”。

导入：乘法法则的初步学习中，人教版通过对“一个人有两个苹果，那么四个人有几个苹果？”一类问题的思考进行引入，再通过引入两个不同的量，人和苹果，定义乘法并得出：２＋２＋２＋２＝２×４，得出：２×４＝８个。

负数的学习中，人教版首先通过“比没有苹果还少一个苹果”的思考，“０－１＝？”的思考进行引入，再通过依靠建立具有相反意义的模型，如将今天记为０，明天记为１，得出昨天记为－１，从而解释了正数的相反数———负数，此部分，通过类似的方法：引入现实问题，建立对应模型。

方法一：建立两组具有相反意义的量的模型
方法一导入：选取三种生活中的例子，从现实生活中解释负负得正。

提出测量类模型，运动类模型，以及“司汤达之问”的负债模型共计三种具有相反意义的量的模型作为参考。

以上三种模型就本质而言均为建立两组具有相反意义的量进行解释，掌握本质后，可以举出众多例子。

测量型模型：我们通过题目来引入讲解：某气象站测得海拔每升高１千米，温度降低０．６度，观察地点的气温是０度；试问：在观察地点以上２千米的地方气温是多少度？观察地点以下３千米的地方气温是多少度？
规定，气温升高为正，气温下降为负观察地点以下为负，观察地点以上为正。

可知：
每升高１千米，海拔＋１；温度降低０．６度，温度－０．６
每降低１千米，海拔－１；温度升高０．６度，温度＋０．６
①观察地点以上２千米的地方气温是
（－０．６）×（２）＝１．２度
海报增加１ｋｍ温度变化量×海拔增加千米数＝观察地点地方气温
②易得上述问题观察地点以下３千米的地方气温是的算式为：
（－０．６）×（－３）＝１．８度
总结：建立两组具有相反意义的量的模型中测量型模型是一种常见的证明方法。

说明过程简单易懂。

运动类模型：我们同样通过题目来引入讲解：一个人沿着公路慢跑，一直向东方行走，速度５公里每小时，请问下午４点时，他回头跑到下午１点所在位置需要奔跑的距离是？
规定：选定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向。

①依照时间的顺序，表示为：
将来的时间使用正值，表示过去的时间使用负值，
人的初始位置在零点，初始时间也设定为０。

依照方向的顺序，表示为：
向右走为正值，向左走为负值。

②下午１点距离下午４点所在的时间是－３小时
每小时行进距离－５公里（向西）
易知：他距离现在所在位置的距离（－５）×（－３）＝１５公里
总结：建立两组具有相反意义的量的模型中运动类模型是一种不常见的证明方法。

说明过程中往往需要运用到时间概念。

时间的概念需要初中物理知识作为支撑，运动类模型在各类教材版本中往往出现于课后习题（如苏教版、人教版、北师大版等），少见于直接证明。

负债模型：
负债模型由数学见Ｍ．ｋｅｌｉｅｎ正式提出并广泛为人接受。

我们同样通过题目来引入讲解约定：某人每天支出５元人民币，给定日期４天后，此人负债２０元人民币。

①采取记债：支出５人民币记为：－５；
每天支出５人民币，负债４天可以数学表达：（－５）×４＝－２０。

同样一人每天负债５人民币，那么给定日期４天前，他的财产比给定日期的财产多２０人民币。

（－４）：表示４天前；
（－５）：表示每天负债；
②那么４天前，此人经济情况为：（－５）×（－４）＝２０。

方法二：建立向量模型，引入数轴表示法。

导入：数轴表示法是小学数学课程中的一种基本方法，数轴作为图形更加直观，兼顾复习已学，联系新知识，有承上启下的作用。

因此，运用向量模型中的数轴表示法作为一种数学情景的讲解不失为一种好的课程教学办法。

数轴模型：规定数轴的正方向为东，负方向为西．一个人在数轴的原点处，一２看作向西运动２米，（一３）×（一２）看作沿反方向（东）运动２次，结果向东运动了６米，所以（－３
）×（－２）＝６．
数理逻辑解释方法：利用已知数理知识，计算推导证明结论
导入：义务教育数学课程学习中，学生学习依靠反复的运算和实践，将诸如数学中的结合律、分配率等进行了强有力的验实，达到对对应的基础数学计算方法和运算法则的理解。

这部分参照国内教材，部分修改与调整，，列举三种经典的针对初中数学学习的数理逻辑解释方法，从具体到抽象（纯数字和理论），通过数学的计算推导，使用数理逻辑解释或者证明“负负得正”。

方法三：使用观察归纳法证明负负得正
导入：归纳法通过对现实的观察、探索、分析、推理、归纳五个部分，获得合情推理得到结果，是人类认识世界最原始也是最基础的方式。

有关于“负负得正”的问题，在教学的前期使用归纳法，
引入知识同时锻炼学生的探究意识。

一般的归纳模型作为不完全归纳，并不完整，此处补充观察归纳方法。

归纳得出：“当乘数增加１，最后乘积减少２”；“当乘数减少１，最后乘积增加２。

”
由此写出右边算式的结论。

归纳得出：“负负得正”这一结论。

观察归纳法需要教师一步步详细的指引，朱文芳《初中生函数概念发展的研究》一书中，表明５８．６％的初一学生难以使用变化的观点解决数学问题。

此类方法出现于部分教材的引入部分。

方法四：使用分配律证明负负得正
导入：据北京１９６９版的数学教材，运算律分配律作为公理，使用分配率证明负负得正。

对于分配率证明负负得正，近年的教材中并不再出现，究其原因：运算律应该产生于运算之后，使用运算律证明运算的法则的做法并不可取。

此处对原书中数学推理作相关的修改优化，部分用语文字化以降低理解难度，过程如下：
①使用构造法：
由：３×（－２）＋３×（２）
＝３×［（－２）＋２］＝３×０＝０
所以构造有：３×（－２）＋３×（２）＝０
移项有：３×（－２）＋３×（２）－［３×（２）］＝０–［３×（２）］
所以有：３×（－２）＝–［３×（２）］
②类比以上过程：
由：（－３）×（－２）＋（－３）×（２）
＝（－３）×［（－２）＋２］＝（－３）×０＝０
所以有：（－３）×（－２）＋（－３）×（２）＝０
移项有：（－３）×（－２）＋（－３）×（２）－［（－３）×（２）］＝０–［（－３）×（２）］所以有：（—３）×（－２）＝–［（－３）×（２）］
因为：–［（－３）×（２）］＝３×２
所以最终有：（—３）×（－２）＝３×２
③由此得出结论：使用分配律证明负负得正。

可以看出，证明过程通过“保持”运算律从而得到法则，与正常教学中运算应先规定法则再验证运算律不同。

方法五：使用相反数证明负负得正
导入：据华师版，人教版教材，使用相反数证明负负得正。

相反数的定义赋予了其在“负负得正”数学推理中的简便，是最常见的数理逻辑解释方法。

①通过举例特殊情况下：
３×２＝３＋３＝６；
（－３）×２＝（－３）＋（－３）＝－６；
通过：（－３）×２＝（－３）＋（－３）＝－６；
８　
（－２）×３＝（－２）＋（－２）＋（－２）＝－６；
－（２×３）＝－６；
由以上三式有结论：（－３）×２＝（－２）×３＝－（２×３）；
对负负得正的情况：（－３）×（－２）＝－［３×（－２）］＝－［－６］＝６②一般情况下，ｍ、ｎ均为正整数下，类比特殊情况可以写出：
ｍ×ｎ＝ｍ＋ｍ＋ｍ＋…＋ｍ共计ｎ项
＝ｍｎ；
（－ｍ）×ｎ＝（－ｍ）＋（－ｍ）＋…＋（－ｍ）共计ｎ项
＝－ｍｎ；
通过：（－ｍ）×ｎ＝（－ｍ）＋（－ｍ）＋…＋（－ｍ）共计ｎ项
＝－ｍｎ；
（－ｎ）×ｍ＝（－ｎ）＋（－ｎ）＋…＋（－ｎ）共计ｍ项
＝－ｍｎ；
－（ｎ×ｍ）＝－ｍｎ；
由以上三式有结论：（－ｍ）×ｎ＝（－ｎ）×ｍ＝－（ｎ×ｍ）；
对负负得正的情况：（－ｍ）×（－ｎ）＝－［ｍ×（－ｎ）］＝－［－ｍｎ］＝ｍｎ
③由此得结论：（－ｍ）×（－ｎ）＝－［ｍ×（－ｎ）］＝－［－ｍｎ］＝ｍｎ
特殊情况下即为：（－３）×（－２）＝－［３×（－２）］＝－［－６］＝６
语言叙述为：有理数乘法中，一个因数换成它的相反数，所得乘积为原式子乘积的相反数．
以上方法经历了特殊到—般再到特殊，具有具体直观的特点，通过归纳和类比，最终达到使用相反数证明负负得正。

参考文献
［１］龚烈炯．“负负得正”教学再思考［Ｊ］．中学数学教学参考，２００８（８）．
［２］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１版）．北京．北京师范大学出版社．
［３］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．义务教育数学课程标准（２０１１版）解读．北京．北京师范大学出版社．
［４］马复．义务教育数学课程标准实验教科书（七年级上册）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００５．
艺术教育下小学生音乐学习与其心理因素浅析
■付超楠　（云南师范大学　昆明　６５００００）
【摘　要】小学生的艺术教育是除“语、数、外”三大主科之外对小学生综合素质影响最重要的内容。

而艺术教育中的音乐学习不仅发展了学生的核心素养，其中包括学习音乐所必须具备的表现性、感受力与创造力也在另一方面影响着学生的心理素质与心理健康。

本文通过简析小学生音乐学习中的表现力、感受力与创造力的特点，结合小学生心理影响因素对小学音乐教育教学提出意见和建议，方便教师更好地了解小学生音乐学习中存在的心理问题。

【关键词】小学生；艺术教育；心理因素；音乐学习
【中图分类号】Ｇ６２３．７１ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２１－０００９－０１
一、概念界定
１．艺术教育。

美学大词典中对艺术教育解释为“艺术知识、理论和艺术感受力、创造力、表现力的教育。

是美育的基本内容、方法、特征和目的之一。

”也就是说艺术教育是将艺术知识与理论的学习融入对艺术的感受，及其激发自身创造和表现的一种教育。

也是我们美育中强调的重要内容。

２．音乐学习心理学。

心理咨询大百科全书将音乐学习心理学描述为“研究音乐学习活动领域的心理活动特点和规律。

”而其中提到音乐学习心理的主要内容有“音感学习、读谱和记谱学习、欣赏学习、音乐才能的培养等”。

可以看出音乐学习心理的内容既涵盖音乐基础知识与理论也包括音乐学习的感受力表现力与创造力的培养。

由此可以结合艺术教育的概念，从音乐学习心理基础上出发，为音乐教学提供心理学方面的依据。

二、小学生艺术教育的音乐学习特点
１．表现力特点。

第一，小学生的音乐表现力较强却不到位。

一方面，他们觉得自己可以表现出来心中所想的，另一方面又限于认识能力的不足，无法将自己理解与表现力较好的结合。

这个阶段的学生表现欲强，但是表现力水平一般不高。

第二，小学生的音乐表现力在特定的情境下可以得到较好的激发。

如音乐课堂中老师给到一首特别欢快的音乐，小学生能随着音乐的韵律而做出各种富有表现力的动作。

说明教师给到一个刺激，小学生会很容易受到刺激引发行为反应而表现出来。

第三，小学生的舞台表现经验较低。

不是所有的小学生都有着较强的音乐表现力。

普通学校中的小学生他们大多数没有经常站上舞台的机会，缺乏舞台经验，没有舞台感。

２．感受力特点。

第一，小学生的音乐感受力需要老师的启发。

小学阶段的儿童可以在老师的指导与启发下自发地感受美、趋向美，并能体验到艺术作品的感染力，但最重要的还是需要老师的引导，因为他们的语言表达还不到位，头脑中产生的想象可能无法用语言进行准确描述。

需要教师引导其对艺术作品准确的理解方向，再让其产生自己的想象。

第二，小学生的音乐感受力易变化波动。

小学生感受力发展是不稳定的，感受力既可能受情绪情感的影响也可能会受外来因素的影响如学习环境和学习设施等。

３．创造力特点。

第一，小学生的音乐创造力以想象为主。

小学生会对他们听到的任何不熟悉的声音进行猜想，如听到很快的音乐声他们会想象是汽车在急速的行驶，慢速的音乐他们会想象在入睡等等。

第二，小学生的音乐创造力具有随意性。

小学生有时会随着自己心情的变化而随意哼唱出不同的音乐甚至为这段音乐加词。

三、影响小学生艺术教育方面音乐学习心理因素分析
小学阶段的学习心理是既趋于成熟又充满幼稚的，从艺术教育方面来看小学生音乐学习的影响因素具有更直观的意义。

影响小学生音乐学习心理的因素也有不同的方面。

１．教师。

教师对学生音乐学习产生着重要的作用。

第一，现阶段以教师为主导的艺术教育课程在各小学中是最为常见的教学模式。

教师在音乐教学中起着主要作用，既引导着学生对音乐的理解，又进行基础理论的教学。

教师的指导方式影响着学生学习音乐的兴趣与注意。

第二，教师评价因素对学生心理产生的影响。

教师的评价有时会直接或间接的影响学生对音乐学习的态度。

如果教师给到的评价及时有效，那么学生也会对教师的评价有着良好的反馈。

反之，教师如果给出一个负面的评价，可能会直接或间接导致学生产生消极心理。

第三，教师对学科的重视程度也会对小学生产生暗示性的影响。

如教师不重视音乐学科教学，那么小学生也会以相应的态度对待这门课程。

２．艺术教育的本质。

根据音乐学习本质来说，小学生音乐的学习并不像学习其他科目一样可以运用具象思维方式，具体分析问题。

艺术教育不同于文化知识的教育，艺术教育是需要发展人的各项综合能力，并且也是培养人气质发展的教育。

气质与综合能力的发展也是潜移默化的，是在不断的学习中慢慢积累下来的量变引发质变。

小学生接受音乐的学习，前提是以发展听力能力与音乐技能为基础的。

在此基础上，再深化出更抽象的艺术教育中的表现力、创造力、想象力的培养，才是完整的艺术教育。

３．学生个体。

学生个体也是影响小学生音乐学习心理的关键因素。

第一，小学生是具有独立性与依赖性的矛盾个体。

我们既可以发现他非常渴望独立完成一件事情，又存在非常依赖父母或教师等行为。

从小学生个体特点来说，他接受艺术教育的行为与自身和他人的关系是密不可分的。

一方面他自身兴趣与好奇心可以引导他进行音乐学习，另一方面，教师和父母的建议又是他产生依赖行为的对象。

第二，学生个体存在差异性，气质类型也分为多种不同的风格。

学习艺术时学生个体的气质类型对表现力、创造力与想象力方面都会有不同程度的影响。

个体不同，产生的学习效果也就不同。

四、结论与建议
１．注意做好学生的心理导向。

教师结合小学生学习音乐的心理特征，认识到教师自身对学习音乐学习产生的影响，要综合考虑学生的全面发展需求，鼓励引导学生进行正确的音乐学习，评价学生的音乐表现、创造与想象的能力时，不要打击学生的自信心。

正确的指导与规范学生的音乐学习态度。

把握学生心理情绪，以良好的沟通带来对音乐学习的兴趣与爱好，以健康的导向作为学生学习的基础。

２．重视音乐学习的个体差异。

有些小学生不善于表现的原因有很多，如受害羞心理、紧张心理、怯场心理等影响；还有因为自身性格与气质等原因导致，如老师同样让学生表演一段才艺，多血质与粘液质的学生表现力大小还是有很大的差距。

所以要认识到个体之间的差异性，不要把学生表现力不足归于学习态度不认真。

教师要认真总结每个学生的音乐学习特点，按照每个学生的类型分配不同的任务，善于发掘学生潜在的音乐天赋，让每个学生都得到个体最大化的发展。

３．尊重音乐学习的本质规律。

音乐学习是需要不断积累经验与实践的过程，在这个学习过程中既有美的体验，也可以得到合作能力与自身能力的全面提高。

重视音乐学习中的美育作用，使音乐学习成为小学生今后发展与生活中的一部分。

不仅促进了小学生全面发展，也为音乐的发展带来新的希望。

参考文献
［１］朱立元主编．美学大辞典［Ｍ］．上海：上海辞书出版社，２０１０．
［２］车文博主编．心理咨询大百科全书［Ｍ］．杭州：浙江科学技术出版社，２００１．第７４２页．
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