【数学】山东省菏泽市2017届高考一模试卷(理)(解析版)

山东省菏泽市2017届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，集合B={x|﹣1＜x＜4}，则A∩B等于（）A．∅B．（﹣2，3）C．（2，4）D．（3，4）
2．（5分）若复数z满足z﹣1=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于
（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sin C=4sin A，cos B=，则△ABC的面积为（）
A．1 B．C．2 D．
4．（5分）在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）
A．60 B．70 C．80 D．100
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）“m＞2”是不等式|x﹣3m|+|x﹣|＞2对∀x∈R恒成立”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知||=3，||=2，∠BAC=30°，且2+3=5，则•等于（）A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣5
8．（5分）已知实数x、y满足约束条件，若z=的最小值为﹣，则正数
a的值为（）
A．B．1 C．D．
9．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），直线x=c与双曲线C在第一象限的交点为P，过F的直线l与双曲线C过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP交于点B，若△ABF与△PBF的面积的比值为2，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）设min{m，n}表示m、n二者中较小的一个，已知函数f（x）=x2+8x+14，g（x）=min{（）x﹣2，log2（4x）}（x＞0），若∀x1∈[﹣5，a]（a≥﹣4），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则a的最大值为（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．0
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）a1=‘
a2=（1﹣a1）=；
a3=（1﹣a1﹣a2）=；
a4=（1﹣a1﹣a2﹣a3）=；
…
照此规律，当n∈N*时，a n=．
12．（5分）执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为．
13．（5分）已知（﹣）5的常数项为15，则函数f（x）=log（x+1）﹣在区间[﹣，2]上的值域为．
14．（5分）已知a≥cosθdθ，则曲线f（x）=ax+ln（ax﹣1）在点（2，f（2））处切线的斜率的最小值为．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0，2）（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为||，若
=2，则||=．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）已知向量=（sin x，m cos x），=（3，﹣1）．
（1）若∥，且m=1，求2sin2x﹣3cos2x的值；
（2）若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求函数f（2x）在[，]上的值域．
17．（12分）如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．
18．（12分）在数列{a n}中，a1=1，=+（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=1+a（n∈N*），求数列{2nb n}的前n项和S n．
19．（12分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：时间），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周
自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”．
（1）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．
20．（13分）已知函数f（x）=（2x+b）e x，F（x）=bx﹣ln x，b∈R．
（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；
（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．
21．（14分）已知焦距为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M 的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
参考答案
一、选择题
1．D
【解析】集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2或x＞3}，
集合B={x|﹣1＜x＜4}，
则A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．
故选：D．
2．D
【解析】z﹣1====﹣2i，
∴z=1﹣2i，
则z在复平面内对应的点（1，﹣2）位于第四象限．
故选：D．
3．B
【解析】∵a2sin C=4sin A，
∴由正弦定理可得：a2c=4a，解得：ac=4，
∵cos B=，可得：sin B==，
∴S△ABC=ac sin B=4×=．
故选：B．
4．A
【解析】高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．
5．C
【解析】由已知三视图得到几何体如图：
由团长时间得到体积为=5；
故选C．
6．A
【解析】不等式|x﹣3m|+|x﹣|＞2对∀x∈R恒成立，
∴3m﹣＞2，或﹣3m＞2，
解得m＞，
∴“m＞2”是不等式|x﹣3m|+|x﹣|＞2对∀x∈R恒成立”充分不必要条件，故选：A
7．B
【解析】∵||=3，||=2，∠BAC=30°，
∴•=||•||•cos30°=3×2×=9
∵2+3=5，
∴=﹣=（﹣）﹣=﹣，
∴•=•（﹣）=•﹣=×9﹣12=3，
故选：B
8．D
【解析】实数x、y满足约束条件的可行域如图：
∵z=表示过点（x，y）与（﹣1．﹣1）连线的斜率，
易知a＞0，所以可作出可行域，可知可行域的A与（﹣1，﹣1）连线的斜率最小，由解得A（1+，）
z=的最小值为﹣，
即（）min===⇒a=．
故选：D．
9．A
【解析】由题意P（c，），
∵△ABF与△PBF的面积的比值为2，∴AB：BP=2：1，∵A（﹣a，0），∴B（，），
∵过F的直线l与双曲线C过二、四象限的渐近线平行，∴﹣=，
∴2b=a+c，
∴3e2﹣2e﹣5=0，
∵e＞1，∴e=，
故选A．
10．C
【解析】当（）x﹣2=log2（4x），解得x=1，
当0＜x≤1时，（）x﹣2≥log2（4x），
当x＞1时，（）x﹣2＜log2（4x），
∴g（x）=min{（）x﹣2，log2（4x）}（x＞0）=，
∴当0＜x≤1时，g（x）的值域为（﹣∞，2]，当x＞1时，g（x）值域为（0，2），∴g（x）的值域为（﹣∞，2]
∵f（x）=x2+8x+14=（x+4）2﹣2，其对称轴为x=﹣4，
∴f（x）在[﹣5，﹣4]上为减函数，在（﹣4，a]上为增函数，
∵f（﹣5）=﹣1，f（a）=a2+8a+14
当﹣4≤a≤﹣3时，函数f（x）的值域为[﹣2，﹣1]，
当a＞﹣3时，函数f（x）的值域为[﹣2，a2+8a+14]，
∵∀x1∈[﹣5，a]（a≥﹣4），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，
∴a2+8a+14≤2，
解得﹣3＜a≤﹣2，
综上所述a的范围为[﹣4，﹣2]，
∴a的最大值为﹣2，
故选：C
二、填空题
11．
【解析】a1=；
a2=（1﹣a1）=；
a3=（1﹣a1﹣a2）=；
a4=（1﹣a1﹣a2﹣a3）=；
…
照此规律，当n∈N*时，a n=（1﹣a1﹣a2﹣…﹣a n﹣1）=，
故答案为．
12．
【解析】执行如图所示的程序框图，如下；
k=3，n=1，S=1，
满足条件2S＜kn，执行循环体，n=2，S=，
满足条件2S＜kn，执行循环体，n=3，S=，
满足条件2S＜kn，执行循环体，n=4，S=，
满足条件2S＜kn，执行循环体，n=5，S=，
不满足条件2S＜kn，终止循环，输出S的值为．
故答案为：．
13．[0，10]
【解析】由题意（﹣）5的常数项为15，即中，解得：r=1，
则，可得a=﹣3．
那么可得函数f（x）=log（x+1）+，
∵在区间[﹣，2]上y=log（x+1）和y=都是减函数，
∴函数f（x）在区间[﹣，2]上是减函数
当x=时，函数f（x）取得最大值为10．
当x=2时，函数f（x）取得最小值为0．
∴函数f（x）=log（x+1）+在区间[﹣，2]上的值域为[0，10]
故答案为：[0，10]
14．
【解析】a≥cosθdθ=•sinθ|=×（sin﹣sin0）=，可得a﹣≥﹣=，
f（x）=ax+ln（ax﹣1）的导数为f′（x）=a+•a•=a+，在点（2，f（2））处切线的斜率为k=a+=（a﹣）++
≥2+=．
当且仅当a=时，取得最小值．
故答案为：．
15．1
【解析】由题意，|MF|=x0+．
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为||，∴|MA|=2（x0﹣），
∵=2，
∴|MF|=|MA|，
∴x0=p，
∴2p2=8，∴p=2，
∴||=1．
故答案为1．
三、解答题
16．解：（1）当m=1时，=（sin x，cos x），=（3，﹣1）．
∵，∴sin x=﹣3cos x．
又sin2x+cos2x=1，
∴sin2x=，cos2x=．
∴2sin2x﹣3cos2x=2×﹣3×=．
（2）f（x）==3sin x﹣m cos x=sin（x﹣φ），其中tanφ=．
∵函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，
∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．
∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．
∴m=．
∴f（x）=2sin（x﹣）或f（x）=﹣2sin（x﹣）．
∴f（2x）=2（2x﹣）或f（2x）=﹣2sin（2x﹣）．
∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．
∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]或[﹣2，]．
17．证明：（1）取PD中点G，连结GF，AG，
∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE 的中点，
∴FG AB，∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG∥BF，
∵AG⊂平面ADP，BF⊄平面ADP，∴BF∥平面ADP．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PE=1，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），
=（2，2，0），=（0，2，1），=（0，0，2），
设平面BDF的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣1，2），
设平面PDF的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，则=（1，﹣1，0），
设二面角B﹣DF﹣P的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角B﹣DF﹣P的余弦值为．
18．解：（1）∵=+，即﹣=，又=，
∴{}是以为首项，以为公差的等差数列．
∴=+（n﹣1）=，
∴a n=﹣1．
（2）b n=1+a==．
∴2nb n=，
∴S n=++++…+，①
∴S n=++++…，②
①﹣②得：
S n=++++…+﹣
=﹣
=8﹣﹣=8﹣．
∴S n=16﹣．
19．解：（1）甲班样本数据的平均值为×（9+11+13+20+24+37）=19，
由此估计甲班学生每周平均熬夜时间19小时．
乙班样本数据的平均值为×（11+12+21+25+27+36）=22，
由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时．
（2）∵从甲班的6个样本数据中随机抽取1个的数据为“过度熬夜“的概率是，
∴从甲班的样本数据中，有放回地抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度熬夜“的概率为：P==．
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列为：
E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．
20．解：（1）f（x）=（2x+b）e x，f′（x）=（2x+b+2）e x，
∴当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣），增区间为（﹣，+∞）．
F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣．
∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，
要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，
则＞0，即b＜﹣2．
∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
（2）F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）．
要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，
+∞）恒成立，
令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣（x＞0）．
若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；
若0＜b＜1，则当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，∴=1﹣b+ln b＞0，得b∈∅；
若b≥1，则，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．
综上，b的取值范围是[1，+∞）．
21．解：（1）由题意可得2c=2，即c=，
直线y=代入椭圆方程可得+=1，
解得x=±a，
可得|AB|=a﹣a，
由四边形ABPQ是平行四边形，
可得|AB|=|PQ|=2a，
解得b=，a==2，
可得椭圆的方程为+=1；
（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4，
解得x=±，
可设M（，），
由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
可设E（m，﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d=，即有OE⊥MN，|OM|=d，
即为=﹣，=，
由m=，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，
解得k=2或；
（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
可得﹣2+x N=﹣，
解得x N=，
y N=k（x N+2）=，即N（，），
设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，
可得AN⊥DG，
即有k AN•k DG=﹣1，
即为•=﹣1，
解得t=0．
故点G是定点，即为原点（0，0）．。