[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图像与性质教师用书文北

[推荐学习]2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图像与性质教师用书文北
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图像与性质教师用书文北师大版
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个
关键点是：(0,0)，(π
2
，1)，(π，0)，(
3π
2
，
－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个
关键点是：(0,1)，(π
2
，0)，(π，－1)，(
3π
2
，
0)，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像
【知识拓展】
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是1
4
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π
2
＋
kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( ×)
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( √)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( ×)
(4)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( ×)
(5)y＝sin |x|是偶函数．( √)
(6)若sin x>
2
2
，则x>
π
4
.( ×)
1．函数f (x )＝cos(2x －π
6)的最小正周期是
( )
A.π
2 B ．π C．2π D．4π 答案 B
解析 最小正周期为T ＝2π
ω＝2π
2＝π.故选B.
2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π
6)在区间
[0，π
2]上的值域为( )
A ．[－32，3
2
]
B ．[－3
2
，3]
C ．[－332，332]
D ．[－33
2，3]
答案 B
解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π
6]，
sin(2x －π6)∈[－1
2，1]，
故3sin(2x －π6)∈[－3
2，3]，
即f (x )的值域为[－3
2
，3]．
3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π4，k ∈Z
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π8，k ∈Z
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案 D
解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，
k ∈Z ，
∴y ＝
tan 2x 的定义域为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π2＋π4，k ∈Z
. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π
3－
2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．[－712π，－π12]
B ．[－π，－π
2]
C ．[－π，－712π]，[－π12，0]
D ．[－π，－
5
12π]，[－π
12，0]
答案 C
解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π
3)．
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z)，得
－π12＋k π≤x ≤5
12π＋k π(k ∈Z)． 所以函数f (x )的递减区间是 [－π12＋k π，5
12π＋k π](k ∈Z)． 因为x ∈[－π，0]，
所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712
π]，[－
π
12
，0]．
5．y＝sin(x－π
4
)的图像的对称中心是
____________．
答案(kπ＋π
4
，0)，k∈Z
解析令x－π
4
＝kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ＋π
4
(k∈Z)，
∴y＝sin(x－π
4
)的图像的对称中心是(kπ＋
π
4
，0)，k∈Z.
题型一三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋π
6
)的定义域
是____________．
(2)(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π
6，k ∈Z} (2)[π3，π]
解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠
k π
2＋π
6
，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠
k π2＋π
6
，k ∈Z}．
(2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π
6]，
∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－1
2，
1]，
∴由函数的图像知π2≤a ＋π6≤7π6，∴
π3≤a ≤π.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不
等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x 和cos x 的值域直接求； ②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．
(1)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1
2
的
定义域为 .
(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值
与最小值的和为__________．
答案 (1)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z
(2)2－ 3
解析 (1)要使函数有意义必须有⎩
⎪⎨
⎪
⎧
sin x ＞0，cos x －12≥0，
即
⎩
⎪⎨
⎪
⎧
sin x ＞0，cos x ≥12，解得
⎩⎪⎨⎪
⎧
2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π
3
＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，
∴2k π＜x ≤π
3＋2k π(k ∈Z)，
∴
函
数
的
定
义
域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z .
(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π
6，
∴－32≤sin(πx 6－π
3)≤1，
故－3≤2sin(πx 6－π3
)≤2.
即函数y ＝2sin(πx 6－π
3)(0≤x ≤9)的最大值为
2，最小值为－ 3.
∴最大值与最小值的和为2－ 3.
题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3的单调递增区
间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π2－π12，
k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π12，
k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π＋π6，k π＋
2π3(k ∈Z) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋
5π12(k ∈Z) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π4在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54
解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋
π
2(k ∈Z)，
得
k π2－π
12
＜x ＜
k π2＋5π
12
(k ∈Z)，
所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3的单调递增区间为
⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2
－π12，k π2＋
5π12(k ∈Z)，故选B. (2)由π
2
＜x ＜π，ω＞0，得
ωπ2＋π
4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π
4
， 又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π
2，2k π
＋3π2
]， 所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z.
又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋5
4>0，k ∈Z ，
得k ＝0，所以ω∈[12，5
4]．
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 [32，74
]
解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π
4≤2k π，k ∈Z ，
解得4k －52≤ω≤2k －1
4
，k ∈Z ，
又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －1
4＞0，
k ∈Z ，
得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，74.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝
A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为
正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(1)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
－2x ＋π3的单调减
区间为________．
(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π
3]
上单调递增，在区间[π3，π
2]上单调递减，则ω
等于( )
A.23
B.32 C ．2
D ．3
答案 (1)⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B
解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3，
欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3的单调增区间．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z.
故所给函数的单调减区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．
(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω
时，
y ＝sin ωx 是增加的；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω
时， y ＝sin ωx 是减少的．
由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π3上是增加的，
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，π2上是减少的，知π2ω＝π
3，
∴ω＝3
2
.
题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性
例3 (1)(2016·北京东城区模拟)函数y ＝1
2sin
2x ＋3cos 2
x －3
2
的最小正周期等于( )
A ．π
B ．2π C.π4 D.π
2
(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π
3)的最小正周期T
满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 (1)A (2)2或3
解析 (1)y ＝12sin 2x ＋3×1＋cos 2x 2－32＝
1
2sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π
3)，所以函数的
最小正周期T ＝2π
ω＝2π
2＝π，故选A.
(2)由题意得，1<π
k
<2，
∴k <π<2k ，即π
2<k <π，
又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 对称性
例4 对于函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
πx ＋π2，下列说法
正确的是( )
A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上是增加的
B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上是减少的
C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上是增加的
D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上是减少的 答案 B
解析 因为f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
πx ＋π2＝cos πx ，则
周期T＝2，在[0,1]上是减少的，故选B.
命题点3 对称性的应用
例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3的图像关于
点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，0，则x 0＝
________.
(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π
6) (ω∈N ＋)图像的一
个对称中心是(π
6，0)，则ω的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案 (1)－π
6
(2)B
解析 (1)由题意可知2x 0＋π
3＝k π，k ∈Z ，
故x 0＝
k π2－π
6
，k ∈Z ，
又x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，0，∴－23≤k ≤1
3，k ∈Z ，
∴k ＝0，则x 0＝－π
6
.
(2)由题意知ω
6
π＋
π
6
＝kπ＋
π
2
(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N＋，∴ωmin＝2. 思维升华(1)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(2)求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx
＋φ)的最小正周期为
2π
|ω|
，y＝tan(ωx＋φ)的
最小正周期为
π
|ω|
.
(1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数
f(x)＝2sin(π
2
x＋
π
5
)，若对任意的实数x，总有
f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
A．2 B．4
C．π D．2π
(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3
，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)A (2)A
解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期，
即T 2＝π
ω
＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π
3＋φ
＋2π)
＝3cos(2π
3＋φ)＝0，
∴2π3＋φ＝k π＋π2
，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π
6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小
值为π6.
5．三角函数的性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
2k π－14，2k π＋34，k ∈Z
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
k －14，k ＋34，k ∈Z
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
2k －14，2k ＋34，k ∈Z
(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π
8)＝1，
则实数b 的值为( )
A ．－1
B ．3
C ．－1或3
D ．－3
(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3
，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为
________．
解析 (1)由图像知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54－14＝2，
∴2πω
＝2，∴ω＝π.
由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4
，
∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
πx ＋π4.
由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －1
4<x <2k
＋3
4
，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为
⎝
⎛⎭⎪⎫
2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.
(2)由f (x ＋π
4)＝f (－x )可知函数f (x )＝
2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π
8
对称，又函数
f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.
(3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π
4，
∴－
ωπ
3
≤ωx ≤
ωπ
4
.由已知条件知－
ωπ
3
≤
－π
2， ∴ω≥3
2
.
答案 (1)D (2)C (3)3
2
1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
4) (ω>0)的最小
正周期为π，则f(π
8
)等于( )
A．1 B.1 2
C．－1 D．－1 2
答案 A
解析∵T＝π，∴ω＝2，
∴f(π
8
)＝sin(2×
π
8
＋
π
4
)＝sin
π
2
＝1.
2．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为( )
A．(－π
4
，0) B．(0，
π
2
)
C．(π
2
，
3π
4
) D．(
3π
4
，π)
答案 B
解析由f(x)＝－cos 2x知递增区间为[kπ，
kπ＋π
2
]，k∈Z，故只有B项满足．
3．关于函数y＝tan(2x－π
3
)，下列说法正确的
是( ) A ．是奇函数
B ．在区间(0，π
3)上单调递减
C ．(π
6，0)为其图像的一个对称中心
D ．最小正周期为π 答案 C
解析 函数y ＝tan(2x －π
3)是非奇非偶函数，A
错误；在区间(0，π
3)上是增加的，B 错误；最小
正周期为π
2
，D 错误．
∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π
3)＝0，
∴(π
6，0)为其图像的一个对称中心，故选C.
4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π
6)＋1(x ∈R)的图像的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的
最小正周期为( )
A.3π
5
B.
6π
5
C.
9π
5
D.
12π
5
答案 B
解析由函数f(x)＝2sin(ωx－π
6
)＋1 (x∈R)
的图像的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6
＝
kπ＋π
2
，k∈Z，
∴ω＝k＋2
3
，∴ω＝
5
3
，
从而得函数f(x)的最小正周期为2π
5
3
＝
6π
5
.
5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，
若f(π
8
)＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是
( )
A．[－π
8
，
3π
8
] B．[
π
8
，
9π
8
]
C．[－3π
8
，
π
8
] D．[
π
8
，
5π
8
]
答案 C
解析由f(π
8
)＝－2，得
f(π
8
)＝－2sin(2×
π
8
＋φ)＝－2sin(
π
4
＋φ)
＝－2，
所以sin(π
4
＋φ)＝1.
因为|φ|<π，所以φ＝π
4
.
由2kπ－π
2
≤2x＋
π
4
≤2kπ＋
π
2
，k∈Z，
解得kπ－3π
8
≤x≤kπ＋
π
8
，k∈Z.
当k＝0时，－3π
8
≤x≤
π
8
，故选C.
6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<π2 )
在区间[π
6
，
2π
3
]上是单调减函数，且函数值从1
减少到－1，则f (π
4)等于( )
A.12
B.22
C.3
2 D ．1 答案 C
解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)
＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π
3＋φ)＝1
(|φ|<π2)，所以φ＝π
6，
所以f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，
于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝3
2.
7．函数y ＝2sin x －1的定义域为
______________．
答案 [2k π＋π6，2k π＋5
6π]，k ∈Z
解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥1
2，
∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5
6
π，k ∈Z.
8．函数y ＝cos 2
x ＋sin x (|x |≤π
4
)的最小值为
___________________． 答案 1－2
2
解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π
4
，
∴t ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.
∴y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝
⎛⎭⎪⎫t －122＋5
4，
∴当t ＝－22时，y min ＝1－2
2
.
9．函数y ＝cos(π
4－2x )的单调减区间为
______________．
答案 [k π＋π8，k π＋5π
8](k ∈Z)
解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π
4)，
得2kπ≤2x－π
4
≤2kπ＋π (k∈Z)，
解得kπ＋π
8
≤x≤kπ＋
5π
8
(k∈Z)，
所以函数的单调减区间为[kπ＋π
8
，kπ＋
5π
8
](k∈Z)．
10．(2016·威海模拟)若f(x)＝2sin ωx＋
1(ω>0)在区间[－π
2
，
2π
3
]上是增加的，则ω的
取值范围是__________．
答案(0，3
4 ]
解析方法一由2kπ－π
2
≤ωx≤2kπ＋
π
2
，
k∈Z，
得f(x)的增区间是[2kπ
ω
－
π
2ω
，
2kπ
ω
＋
π
2ω
]，
k∈Z.
因为f(x)在[－π
2
，
2π
3
]上是增加的，
所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π
2ω
]，
即－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，3
4]．
方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.
所以ωx ∈[－
ωπ2，
2πω
3
]，
又f (x )在区间[－π2，2π
3]上是增加的，
所以[－
ωπ2，
2πω
3]⊆[－π2，π
2
]，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
－ωπ2≥－π2，
2πω3
≤π2，
又ω>0，得0<ω≤3
4
.
11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫
2x ＋φ(－π<φ<0)，y
＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．
解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
∴φ＝k π＋π
4，k ∈Z ，
又－π<φ<0，则φ＝－3π
4
.
(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，
因此
y ＝f (x )的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π
8＋k π，k ∈Z.
12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2
x
2
.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π3－3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π
3≤π.
当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3
时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－ 3.
13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6＋
2a ＋b ，当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2时，－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值；
(2)设g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的
单调区间．
解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，
7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，1，
∴－2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6∈[－2a ，a ]，
∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.
(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6－1，
g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋7π6－1
＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6－1，
又由lg g (x )>0，得g (x )>1，
∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>1
2，
∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z ，
其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z 时，
g (x )是增加的，即k π<x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴g (x )的单调增区间为⎝
⎛⎦⎥⎤
k π，k π＋π6，k ∈Z.
又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π
6，k ∈Z 时，
g (x )是减少的，即k π＋π6<x <k π＋π
3
，k ∈Z.
∴g (x )的单调减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫
k π＋π6，k π＋π3，
k ∈Z.。