最优控制习题及参考问题详解

标准文档
1 2
f
最优控制习题及参考答案
习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：
t f J = ∫
(x
2 +1)dt t 0
解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1
d
由欧拉方程得： (2x ) = 0
dt
x = C 1
x = C 1t + C 2
将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：
C 2 = 1，C 1 = 1
得极值轨线： x *
(t ) = t +1
习题 2 求性能指标： J = ∫ 1
(x 2 +1)dt
在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：
由上题得： x *
(t ) = C t + C
由 x (0) = 0 得： C 2 = 0
∂L
由
∂x
t =t f
= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t
于是： x *
(t ) = 0
【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

2 0 1
∫
⎩ λ = −λ
有： C = x ， C = 0 ，即： x *
(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x
1 (t ) = x
2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )
边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，
3
1 试求使性能指标 J =
u 2
(t )dt 2
取极小值的最优控制 u *
(t ) 以及最优轨线 x *
(t ) 。

⎡ x ⎤
解：
由已知条件知： f = ⎢ 2
⎥
⎢⎣ u ⎥⎦
Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1
u 2 + λ x + λ u
⎧λ = 0
由协态方程： ⎨ 1
2 1
2
1 2
2
⎧λ = C
① 得： ⎨
1
1
⎩λ2 = −C 1t + C 2
②
∂H
由控制方程： ∂u
= u + λ2 = 0
得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③
由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2
得： x (t ) = 1
C t 2
− C t + C
④
2
2 由状态方程： x 1 = x 2
1 2 3
得： x (t ) = 1
C t 3
− 1
C t 2
+ C t + C
⑤
1
6 1
2
2 3 4
1 ∫
⎪
⎩
=−
=−
⎡1⎤ ⎡0⎤
将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0
⎪ 代入④，⑤,
⎣1⎦ ⎣ ⎦
10
联立解得： C 1 =
由③、④、⑤式得：
u * (t ) = 10
t − 2
9 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9
x *
(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +1
27 x *
(t ) = 5 t 2 − 2t +1 2
9
习题 4 已知系统状态方程及初始条件为
x =u ， x (0) = 1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

1
J = 0 解： H = x 2e 2t
+ u 2e 2t
+ λu
⎧x = u 列方程： ⎨λ = −2xe 2t
⎪2e 2t u + λ = 0 (x 2 + u 2 )e 2t dt
①
②
③
由③得， u
代入①得，
x 1 e −2t λ ④
2
1 e −2t λ
=−
2
x 1 e −2t λ e −2t λ =− +
2
将②，③代入，并考虑到 u = x
x 1 e −2t (−2xe 2t ) + e −2t (−2e 2t
x
) 2
整理可得： x + 2x − x = 0
1 2
) = u = 2 2
s
s 1 ⎨ 特征方程： s 2
+ 2s −1 = 0
s 1 = −1+s 2 = −1−
于是得： x *
(t ) = C e s 1t + C e s 2t
λ* (t ③ −2e 2t ①
−2e 2t x
λ* (t ) = −2e 2t (C 1s 1e s 1t
+ C s e s 2t ) 由 x (0) = 1 ，得： C 1 + C 2 = 1
⑤
由 λ(t f ) = λ(1) = 0 得： C 1s 1e + C 2 s 2e = 0
⑥
⑤、⑥联立，可得 C 1、C 2
求导
代回原方程可得 x *
→ u
*
（略）
习题 5 求使系统： x 1 = x 2 ， x 2 = u
由初始状态 x 1 (0) = x 2 (0) = 0 出发，在 t f = 1 时转移到目标集
1 x 1 (1) + x
2 (1) = 1，并使性能指标 J =
∫
1 u
2
(t )dt
2
为最小值的最优控制 u *
(t ) 及相应的最优轨线 x *
(t ) 。

解： 本题 f (i )，L (i ) 与习题 3 同，故 H (i ) 相同→方程同→通解同
⎧λ1 = C 1，λ2 = −C 1t + C 2
⎪
⎪x = 1 C t 3 − 1 C t 2 + C t + C 有： ⎪ 1 6 1 2 2 3 4 ⎪x = 1 C t 2 − C t + C
⎪ 2 2
⎪ 1 2 3
⎩u = C 1t − C 2
f ∫ ⎡0⎤ x (0) = ⎪ ⎪
⎣0⎦
由
，有： C 3 = C 4 = 0
①
由 x 1 (1) + x 2 (1) = 1，有：
1 C
– 1 C
+ 1
C − C = 1 6 1 2 2
2 1 2 2 C − 3
C = 1
②
3 1 2
2 ∂ϕ ∂ψ T
由 λ(1) = + ⋅γ = 0 ，ψ = x 1 + x 2 −1
∂x ∂x
⎡1⎤
有： λ(1) = ⎢ ⎥ γ = 0 ⇒ λ (1) = λ (1) ⎢⎣1⎥⎦ 1
2
于是： C 1 = −C 1 + C 2
2C 1 = C 2
③
3 6 ②、③联立，得： C 1 =- 、C 2 = -
7 7
于是： u * = − 3 t + 6
7 7
x * =− 1 t 3 + 3
t 2 1
14 7 x * =− 3 t 2 + 6
t 2
14 7
习题 6 已知一阶系统： x (t ) = −x (t ) + u (t ) ， x (0) = 3
（１）试确定最优控制 u * (t ) ，使系统在 t =
2 时转移到 x (2) = 0 ，并使性
能泛函
2
J = (1+ u 2 )dt = min
f f
⎪
⎩
1
−t
C
C
⎪
4
（２）如果使系统转移到 x (t ) = 0 的终端时间 t 自由，问 u *
(t ) 应如何确定？
解：
H = 1+ u 2 + λu − λ x ⎧x
= −x + u 列方程： ⎨λ = λ
⎪2u + λ = 0
由协态方程得： λ = C e t
①
1 t 由控制方程： u =− C 1e
②
2
① t f 1 t
代入状态方程： x = −x − C 1e 2
= 2，x (2) = 0
⇒ x (t ) = C 2e – 1 C e t 4 1
⎧
− 1 C = 3 ⎪ 2 4 1
⎨ ⎪C e −2 − 1
C e 2 = 0 ⎩
⎪ 2 4 1
12
解得： C 1 = 4
， e −1
3e 4
C 2 = 4
e −1 代入②得： u *
(t ) = − ② x (t f ) = 2，t f 自由
6
e t
e 4 −1
⎧
− 1 C = 3 ⎪ 2 4 1 ⎪ C e −t f – 1 C e t f
= 0 ⎨ 2 1
⎪
⎪H (t f ) = 0 ⎪ ⎩
解得： C 1 =
标准文档
40 −6=0.325
f
∫
u * (t ) = −0.162e t
习题 7 设系统状态方程及初始条件为
x (t ) = u (t ) ， x (0) = 1
试确定最优控制 u *
(t ) ，使性能指标
1 t f 2
J = t + 2 0
u dt 为极小，其中终端时间 t f 未定， x (t f ) = 0 。

解： H = 1 u 2
+ λu
2
由协态方程得： λ = 0
→ λ = C 1
①
由控制方程： u + λ = 0 → u = −C 1
②
由状态方程： x = u =
−C 1
⇒ x (t ) = −C 1t + C 2
③
由始端： x (0) = 1 → C 2 = 1 由末端： x (t f ) = 0 → −C 1t f +1 = 0 ④
∂ϕ
考虑到： H (t f ) =−
t – ∂ψ t ⋅γ = −1
∂ f ∂ f
1 2
有： u + λu = −1
2 1 C 2
− C 2 = −1 ⇒ C 2 = 2
2 1 1
1
C 1 =⑤
当 C 1 =时，代入④
有： t f
=
1 C 1
1
f
6 ⎪
当 C 1 = 时，代入④
有： t f =
1
= − 1
C C 1 最优控制
u * = 习题 8
设系统状态方程及初始条件为
x 1 (t ) = x 2 (t ) ， x 1 (0) = 2 性能指标为
x 2 (t ) = u (t ) ， J =
1
∫
t f
u 2 dt
x 2 (0) = 1
2
要求达到 x (t f ) = 0 ，试求：（1） t f = 5 时的最优控制 u * (t ) ；
（2） t 自由时的最优控制 u *
(t ) ； 解：本题 f (i )，L (i )，H (i ) 与前同，故有
⎧
⎪λ1 = C 1 ⎪
λ2 = −
C 1t + C 2 ⎪x = 1 C t 3 − 1 C t 2 + C t + C ⎨ 1 1 ⎪ 2 2 3 4
⎪x = 1
C t 2 − C t + C
⎪ 2 2 ⎪
1 2 3
⎪⎩u = C 1t − C 2
⎡2⎤
⎡0⎤
⎧C 4 = 2 ⎪C 3 = 1 ⎪125 25
① 由 x (0) = ⎪ ⎪ x (5) = ⎪0⎪ ，得： ⎨ C 1 −
C 2 + 5C 3 + C 4 = 0
⎣1⎦ ⎣ ⎦ ⎪ 6
2 ⎪ 25 C − 5C + C = 0
⎪ 1 2 3
⎩ 2
6 ∫ 2
2 联立得： C 1 = 0.432，C 2 = 1.28 ， ⇒ u *
= 0.432t −1.28
② t f 自由
⎧
⎪C = 1 ⎪ 4 ⎪C 3 = 2 ⎪ 1 C t 3
− 1 C t 2 + C t + C = 0 ⎨ 1 f ⎪ 2 2 f 3 f 4
⎪ 1 C t 2
− C t
+ C = 0 ⎪ 2 1 f ⎪ 2 f 3
⎪⎩H (t f ) = 0
联立有： C 2t 2 − 2C t
+ 2 = 0 ， 无论
C 为何值， t 均无实解。

2 f
2 f
2
f
习题 9 给定二阶系统
x (t ) = x (t ) + 1 ， x (0) = − 1
1
2
4
1
4
1
x 2 (t ) = u (t ) ， 1
x 2 (0) = −
4
控制约束为 u (t ) ≤ ，要求最优控制 u *
(t ) ，使系统在 t = t 2
f
并使
时转移到 x (t f ) = 0 ，
其中 t f 自由。

t f
J = u 2 (t )dt = min
解： H = u 2
+ λ x
+ 1 λ
+ λ u
1 2
4
1
2
⎧− 1
λ λ ≤ 1
⎪ 2 2
2 ⎪ 本题属最小能量问题，因此： u *
(t ) = ⎪−
1
λ > 1 ⎨ 2 ⎪ ⎪ 1 λ
< −1
⎪
2
标准文档
⎩实用大全
标准文档
2 1 2 1 2
=− ⎧⎪λ = 0 → λ = C 由协态方程： ⎨
1 1 1
⎪⎩λ = −λ → λ = −C t + C λ2 是 t 的直线函数。

当 u *
(t ) = − 1 λ = 1 C t − 1
C 时（试取）
2 2 2 1 2 2
x (t ) = 1 C t 2 − 1
C t + C
2
4 1 2 2 3 x (t ) = 1 C t 3 − 1 C t 2 + 1
t + C t + C 1 12 1
4
2
4
3 4
1
由始端条件 → C 3 = C 4 =
4
由末端条件 → 1 C t 3
− 1 C
t
2
+ 1 t + 1 = 0
12 1 f
4 2 f
2 f
4
1 C t
2 − 1 C t
+ 1 = 0 4
1 f
2 2 f
4 另： H (t f ) = 0
1
联立解得： C 1 = ，C 2 = 0，t = 3
9
f
于是， λ
1 t
⎧λ2 = 1时，t < 0 2 =−
⎨ 9 ⎩λ2
= −1时，t = 9
在 t 从 0 → 3 段， λ2 ≤ 1满足条件。

故， u *
1 λ = 1 t
2
2 18
标准文档
实用大全
⎨−f
习题 10 设二阶系统
x 1 (t ) = −x 1 (t ) + u (t ) ， x 1 (0) = 1
x 2 (t ) = x 1 (t ) ， x 2 (0) = 0
控制约束为 u (t ) ≤ 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u *
(t ) ，使性能指标
J = 2x 1 (1) + x 2 (1)
取极小值，并求最优轨线 x *
(t ) 。

解：由题意， f ⎡−x 1 + u ⎤
= ，
ϕ = x + x ,
L = 0 ， ⇒ H = λ u − λ x + λ x ⎪
⎪ 1
2
1
1 1
2 1
⎣ x 1
⎦
由控制方程可得： u *
= ⎧+1
⎩ λ1 < 0
λ1 > 0 ⎧λ = λ − λ
⇒ λ = C e t + C
由协态方程可得： ⎨ 1
1
2
1
2
1
⎩λ2 = 0 ∂ϕ
⎡2⎤ ⇒ λ2 = C 1 由 λ(t ) = = ⎪ ⎪ ⇒ C = 1，C = e −1
∂x (t f ) ⎣1⎦
1 2
⎧λ = e t −1 +1 → 在t > 0的围λ > 1
⇒ ⎨ 1 1
故： u *
=
−1
t ∈[0,1]
⎩λ2 = 1
若需计算 最优轨线 ，只需把 u *
= −1 代入状态 方程，可 得：
⎧x * (t ) = 2e −t −1
⎪ 1 ⎨
x * (t ) = −2e −t − t + 2 ⎩
⎪ 2
标准文档
实用大全
习题 11
设系统状态方程为
x 1 (t ) = x 2 (t ) ， x 1 (0) = x 10
标准文档
实用大全
∫
1 ⎪1 0⎪ ⎪0 0⎪ ⎪0⎪
2 2 1 2
性能指标为 J = 1
2
x 2 (t ) = u (t ) ， ∞
(4x 2 +
u 2 )dt x 2 (0) = x 20
试用调节器方法确定最优控制 u *
(t ) 。

⎡0 1⎤
解： 由已知条件得： A = ⎪ ⎪
⎣0 0⎦
⎡0⎤ ， B = ⎪ ⎪ ，
⎣1⎦
⎡4 0⎤
Q = ⎪ ⎪
⎣0 0⎦
， R = 1
∵[B
AB ] = ⎡0 1⎤ ⎣ ⎦
, ∴可控 ——最优解存在
考虑到 Q =
⎡4 0⎤ = ⎡2⎤
[2 0] = D T D ，故 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
D = [2 0]
⎡ D ⎤ ⎡2 0⎤
∵ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎣DA ⎦ ⎣0 2⎦
∴闭环系统渐近稳定
由 Riccati 方程 A T
P + PA − PBR −1
B T
P + Q = 0 ，有
⎡0 0⎤ ⎡ P 1 P 2 ⎤ + ⎡ P 1 P 2 ⎤ ⎡0 1⎤ − ⎡ P 1
P 2 ⎤ ⎡0⎤ [0 1]⎡ P 1 P 2 ⎤ + ⎡4 0⎤ = 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣1 0⎦ ⎣P 2 P 3 ⎦ ⎣P 2 P 3 ⎦ ⎣0 0⎦ ⎣P 2 P 3 ⎦ ⎣1⎦ ⎣P 2 P 3 ⎦ ⎣0 0⎦
⎧−P 2 + 4 = 0 → P = ±2(取 + 2舍 − 2) ⎪
展开得： ⎨P 1 − P 2 P 3 = 0 → P 1 = ±4(由正定舍 − 4) ⎪2P − P 2 = 0 → P 2
= 2P
→ P = ±2 ⎩ 2 3 3 2 3 ⎡4 2⎤
故 P = ⎪ ⎪
⎣2 2⎦
于是， u * = −R −1B T Px = −2x
– 2x
1
2
即： u *
(t ) = −2x (t ) − 2x (t )。