最新高考数学三轮复习必做的数列综合题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）若对一切 都有 ，求 的取值范围.
解：（1） ，∴
当 时， .
当 ≥2时， = ，∴
此时 · · = · ，
∴ …… = ……+
设 ……+ ，
∴ …… ，
∴
∴ · ……6分
（2）由 可得
①当 时，由 ，可得
∴ 对一切 都成立，
∴此时的解为 .
②当 时，由 可得
≥ ∴ 对一切 都成立，
∴此时的解为 .
高考数学三轮复习必做的数列综合题
1.数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是常数， ＝2.71828 ）和任意正整数 ，总有 2；
(Ⅲ) 正数数列 中， .求数列 中的最大项.
（Ⅰ）解：由已知：对于 ，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列 是公差为1的等差数列
又n=1时， ， 解得 =1
∴ .( )
（Ⅱ）证明：∵对任意实数 和任意正整数n，总有 ≤ .
∴
(Ⅲ)解：由已知 ，
易得
猜想 n≥2 时， 是递减数列.
令
∵当
∴在 内 为单调递减函数.
由 .
∴n≥2 时, 是递减数列.即 是递减数列.
又 , ∴数列 中的最大项为 .
2．设f1(x)= ，定义fn+1(x)=f1［fn(x)］，an= （n∈N*）.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2) 若 ，Qn= （n∈N*），试比较9T2n与
Qn的大小，并说明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1= = ，fn+1(0)=f1［fn(0)］= ,
两式相减，得 T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n.
∴ T2n= +n× (- )2n1= - (- )2n+ (- )2n1.
T2n= - (- )2n+ (- )2n1= (1- ).
∴9T2n=1- .
又Qn=1- ，
当n=1时，22n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn；
当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn；
=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1
=3·
=3(2n+1－2)－3nn+1
∴－Sn=(3－3n)2n+1－6
Sn=6+(3n－3)2n+1
（3）
∴T1<T2=T3>T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥ 。
4．已知 ，且 ，数列 的前 项和为 ，它满足条件 .数列 中， · .
（1）求数列 的前 项和 ；
由于 ，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：
所以， 所以，
⑵∵ ， ∴
∴ 等价于 ①
依题意，①式应对任意 恒成立．
显然 ，因为 （ ），所以，需且只需 对任意 恒成立．即： 对 恒成立．
记 （ ）．∵ ，
∴ （ ）的最大值为 ，∴ ．
∴an+1= = = = - = - an.
∴数列｛an｝是首项为 ,公比为- 的等比数列，∴an= ( )n1.
（2）∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n1+2na2n，
∴ T2n= (- a1)+(- )2a2+(- )3a3+…+(- )(2n-1)a2n－1+ 2na2n
=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n.
范围.
（1）f(1)=3
f(2)=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个
∴f(n)=3n
（2）由题意知:bn=3n·2n
Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n
∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1
∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1
（ ）。
6、已知函数 ，点 ， 是函数 图像上的两个点，且线段 的中点 的横坐标为 ．
⑴求证：点 的纵坐标是定值；
⑵若，求实数 的取值范围．
解：⑴由题可知： ，所以，
点 的纵坐标 是定值，问题得证．
⑵由⑴可知：对任意自然数 ， 恒成立．
当n≥3时， ，
∴9T2n＞Qn.
3． 设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；
（2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；
（3）记 ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值
由①，②可知
对一切 ，都有 的 的取值范围是 或 . ……14分
5、已知函数 （ ）。
（Ⅰ）若 且 ，则称 为 的实不动点，求 的实不动点；
（II）在数列 中， ， （ ），求数列 的通项公式。
解：（Ⅰ）由 及 得
或 （舍去），
所以 或 ，即 的实不动点为 或 ；
（II）由条件得 ，从而有
，
由此及 知：数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故有
解：（1） ，∴
当 时， .
当 ≥2时， = ，∴
此时 · · = · ，
∴ …… = ……+
设 ……+ ，
∴ …… ，
∴
∴ · ……6分
（2）由 可得
①当 时，由 ，可得
∴ 对一切 都成立，
∴此时的解为 .
②当 时，由 可得
≥ ∴ 对一切 都成立，
∴此时的解为 .
高考数学三轮复习必做的数列综合题
1.数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是常数， ＝2.71828 ）和任意正整数 ，总有 2；
(Ⅲ) 正数数列 中， .求数列 中的最大项.
（Ⅰ）解：由已知：对于 ，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列 是公差为1的等差数列
又n=1时， ， 解得 =1
∴ .( )
（Ⅱ）证明：∵对任意实数 和任意正整数n，总有 ≤ .
∴
(Ⅲ)解：由已知 ，
易得
猜想 n≥2 时， 是递减数列.
令
∵当
∴在 内 为单调递减函数.
由 .
∴n≥2 时, 是递减数列.即 是递减数列.
又 , ∴数列 中的最大项为 .
2．设f1(x)= ，定义fn+1(x)=f1［fn(x)］，an= （n∈N*）.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2) 若 ，Qn= （n∈N*），试比较9T2n与
Qn的大小，并说明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1= = ，fn+1(0)=f1［fn(0)］= ,
两式相减，得 T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n.
∴ T2n= +n× (- )2n1= - (- )2n+ (- )2n1.
T2n= - (- )2n+ (- )2n1= (1- ).
∴9T2n=1- .
又Qn=1- ，
当n=1时，22n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn；
当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn；
=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1
=3·
=3(2n+1－2)－3nn+1
∴－Sn=(3－3n)2n+1－6
Sn=6+(3n－3)2n+1
（3）
∴T1<T2=T3>T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥ 。
4．已知 ，且 ，数列 的前 项和为 ，它满足条件 .数列 中， · .
（1）求数列 的前 项和 ；
由于 ，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：
所以， 所以，
⑵∵ ， ∴
∴ 等价于 ①
依题意，①式应对任意 恒成立．
显然 ，因为 （ ），所以，需且只需 对任意 恒成立．即： 对 恒成立．
记 （ ）．∵ ，
∴ （ ）的最大值为 ，∴ ．
∴an+1= = = = - = - an.
∴数列｛an｝是首项为 ,公比为- 的等比数列，∴an= ( )n1.
（2）∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n1+2na2n，
∴ T2n= (- a1)+(- )2a2+(- )3a3+…+(- )(2n-1)a2n－1+ 2na2n
=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n.
范围.
（1）f(1)=3
f(2)=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个
∴f(n)=3n
（2）由题意知:bn=3n·2n
Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n
∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1
∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1
（ ）。
6、已知函数 ，点 ， 是函数 图像上的两个点，且线段 的中点 的横坐标为 ．
⑴求证：点 的纵坐标是定值；
⑵若，求实数 的取值范围．
解：⑴由题可知： ，所以，
点 的纵坐标 是定值，问题得证．
⑵由⑴可知：对任意自然数 ， 恒成立．
当n≥3时， ，
∴9T2n＞Qn.
3． 设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；
（2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；
（3）记 ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值
由①，②可知
对一切 ，都有 的 的取值范围是 或 . ……14分
5、已知函数 （ ）。
（Ⅰ）若 且 ，则称 为 的实不动点，求 的实不动点；
（II）在数列 中， ， （ ），求数列 的通项公式。
解：（Ⅰ）由 及 得
或 （舍去），
所以 或 ，即 的实不动点为 或 ；
（II）由条件得 ，从而有
，
由此及 知：数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故有