人教版八年级数学上册15.2.3 整数指数幂 课件

1
a2
(1)
问题4 如果把正整数指数幂的运算性质 a m a n a m n
(a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，
即假设这个性质对于像 a 3 a 5 的情形也能使用，
如何计算？
a3÷a5=a3-5=a-2
(2)
a
2
1
2
a
若规定a-2=
1
a2
(a≠0)，就能使am÷an=am-n 这条性质也
推进新课
知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
①2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一
号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程
中，探测器距离地球的距离为1920000000公里．1.92×109
②2022年11月30日神舟十五号飞船载乘3名航天员成功与神舟
十四号航天员乘组上演“太空相会”.航天员的宇航服加入了可
解：1 mm =10-3 m，1 nm =10-9 m.
3
3
（103）
（109）
109 1027
109 （ 27） 1018.
1018是一个非常大的数，
它是1亿（即 108）的
100亿（即 1010）倍.
答：1 nm3 的空间可以放1018个1 nm3 的物体.
强化练习
a
a
a
a-3·a-5=a(-3)+(-5)
(3)当m，n分别为零和负整数时，
a 0 a 5 1
1
1
0 5
5


a

a
a5
a5
a0·a-5=a0+(-5)
小结
(1) a m a n a m n
(m，n 是整数)；
(2) （a m）n a mn
(m，n 是整数)；
知识点1
整数指数幂
问题1 将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正
整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
问题2 am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数
指数幂am 表示什么？
问题3 根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 a 3 a 5？
a3÷a5=
a
3
a3 a2
=
a 2）（
b 2）3
8
b
a 2 b 2 a 6 b 6 a 8 b 8 8 ．
a
问题7 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
名称
符号表示
同底数幂的乘法
am·an=am+n（m，n是整数）
幂的乘方
（am）n=amn（m，n是整数）
积的乘方
（ab）n=anbn（n是整数）
mn
对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
a a a
m
(1)当m，n分别为正整数和负整数时，
a a
3
5
1
3 5
a 5 a 2 a
a
3
a3·a-5=a3+(-5)
(2)当m，n均为负整数时，
a
3
a
5
1
1
1
3 5
8
3 5 8 a a
同底数幂的除法 am÷an=am-n（a≠0，m，n是整数）
n
分式的乘方
a
an
b b n ( n是整数)

问题7 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
a m a n a m n ， a m a - n a m （-n）=a m -n ，因此，
a 7；
a
b 3 2 （b 3）2
b 6
a4
（2）（ 2 ）
4 6 ；
2 2
a
（a ）
a
b
（3）（a -1b 2）3；
-3
（4）a -2b 2 （a 2b -2）．
6
b
3
（
b 2）3 a 3b6 3 ；
解：（3）（a 1b 2）3 （a 1）
a
2
3
（4）a 2b 2 （a 2b 2）3 a 2b（
解：（1）0.3=3×10-1 ；
（2）-0.000 78=-7.8×10-4 ；
（3）0.000 020 09=2.009×10-5.
例2 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =
10-9 m．把1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把
乒乓球放到地球上．1 mm3 的空间可以放多少个1
nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
0.000 098 2 = 9.82×0.000 01= 9.82× 105
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记
数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤ | a | <10.
用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤:
①确定a
②确定n
③表示数
a是大于或等于1且小于10的数
3
10
0.003 5 = 3.5×0.001 = 3.5×
0.000 098 2 = 9.82×0.000 01= 9.82× 105
a 105
• 1 < a < 10
• n为a相对于原数小数点向右移动的位数
0.00000002 = 2×0.00000001 = 2×10-8
0.003 5 = 3.5×0.001 = 3.5× 103
当m是0时，设a ≠ 0，am即为a0，值为1；
当m是负整数时， 设a ≠ 0，am即为a-m的倒数.
练一练
填空：
（1） 30 = ____，
1
0
（2）
= ____，
1
（-3）
【课本P145 上方练习 第1题】
1
9
32 = ____；
1
2
9
= ____；
（-3）
1
b 2 （b≠0）．
（3）b0 = ____，
(3)
(n是正整数)
(4)
(5)
(a≠0，m，n是正整数，m＞n)
(n是正整数)
此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)
问题2 你能使用两种不同的方法计算a5÷a3 ？
分式的约分
a5
a 3·
a2
2
3
a
3
a
a
a5÷a3
= a5-3 = a2
am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
21位
21位
0.00000002 = 2×0.00000001 = 2×10-8
归纳：
1
10 =
1 00
n
0
= 0.00
0 1．
n个 0
n个 0
思考：
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？
0.00
0 1 1 0. 0 0
n个 0
0 1 1 10
n
n个 0
1
b 2 = ____
知识点2
整数指数幂的性质
问题6 引入负整数指数和0指数后， a m a n a m n (m，n
是正整数)，这条性质能否推广到m，n 是任意整数
的情形？
分析：从特殊情形入手，取m，n分别为正整数和
负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况
进行研究（a≠0）.
n
9a
1

a
2
a 2 a 4 a 2 a 4
【课本P145 下方练习 第1题】
用科学记数法表示下列各数：
3040000 =
3.04×106
5006000000 = 5.006×109
0.000000301 = 3.01×10-7
0.000000567 =
5.67×10-7
巩固练习
1.计算：
（1） a
1

2
a
3 2
2
2
a b
b
（2） 2 3
9a b
-2 -4 6
(2)原式= a b c ÷a-6b3



= a4b-7c6
巩固练习
1.填空：
1
1
(1)30= 1 ，3-2= 9 ，(-3)0= 1 ，(-3)-2= 9 .
1
1

-3
-3
(2)3 = 27 ，(-3) = 27 .
2
(3) 1 =
2
2
3
1
4 , = 4 ， 1 = 8 .
方法一：n等于原数中左起第一个非0数字
前0的个数（包括小数点前的那个0）
方法二：小数点向右移到第一个非0数字后，
小数点移动了几位，n就等于几
将原数用科学计数法表示为a×10-n的形式，
其中1≤a＜10，n是正整数
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；
（2）-0.000 78；
（3）0.000 020 09.
15.2.3 整数指数幂
第2课时 整数指数幂
R·八年级上册
复习导入
问题1 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有
哪些运算性质?
正整数指数幂：
当n是正整数时，an = a·a·…·a.
n个
正整数指数幂有以下运算性质：
(1)
(m，n是正整数)
如果指数是负整数
(2)
(m，n是正整数)
该如何计算呢？
用科学计数法表示绝对值小于1的数
R·八年级上册
复习导入
负整数指数幂：a-n =
1
（n是整数，a ≠ 0）
an
整数指数幂的运算性质：
m
（1）a a
n
（ a m n）（m，n 是整数，a ≠ 0）；
（2）
（a ） （ a
m n
mn
）（m，n 是整数，a ≠ 0）；
n
（3）
（ab）
（ a nb n）（n 是整数，a ≠ 0）．
1
1
(2)原式 1 3 3 2
2
4
13

2
4
2
2
2 .
5.若 a a 1 3 ，试求 a 2 a 2 的值.
解： a a 1 3,

a a
1

2
9,
a 2 a 2 2 9,
a 2 a 2 7.
2
2
2.若m，n为正整数，则下列各式错误的是
( D )
n
A.a a a a
m
n

C. a
m
n
m
a
mn
n
a
n n
B. a b
b
1
n
D.am
amn
3.下列计算正确的是( C )
0
A. 1 1
1

B. 0.5 1
2

C. 1
D. x
0
1
1
3
x
5
x
2
4.计算.
1
(1) 2
3
( 2)

1
2016 π
π 3.14
0

0

9
3
27 2
1
9 1 ;
2
2
2
解：(1)原式 2 3 1 3 1 4
课堂小结
零指数幂：当a≠0时，a0=1
整
数
指
数
幂
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=
整数
指数
幂的
性质

(a≠0)

(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)
(2)(ab)m=ambm(m为整数，a≠0，b≠0)
(3)(am)n=amn(m，n为整数，a≠0)
15.2.3 整数指数幂
第2课时
以抵御太空高温的气凝胶.气凝胶是一种具有纳米多孔结构的
新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m.
???
怎样把0.00000002用科学记数法表示？
1
1Байду номын сангаас
1
= 10 ； 0.01=
102；
探究： 0.1=
10
100
1
3
= 10 ；
0.001= 1000
1
4
10
10000
(3) （ab）n a nb n
(n 是整数)；
(4) a m a n a m n (m，n 是整数)；
a n
an
(5) （ ） n
b
b
(n 是整数)．
例9
计算：
（1）a 2 a 5；
解：（1）a 2 a 5 a 2 5
b 3 2
（2）（ 2 ）；
a
1
7
适用于像a3÷a5的情形.为使上述运算性质适用范围更广，
同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当n 是正整数时，
1
a = n（a 0）．
a
-n
n
这就是说， a （
a 0）是an 的倒数．
问题5 试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示
什么意义？
当m是正整数时，am表示m个a相乘；
a m a n a m n ，即同底数幂的除法 a m a n 可
以转化为同底数幂的乘法 a m a - n ．
a
1
a n

a

b

a

b
，
特别地，
所以，
（ ） （a b 1）n．
b
b
a n
即商的乘方 （ b ）可以转化为积的乘方（a b 1）n．
小结
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
0.000 1=
=
；
算一算： 10-2= 0.01 ；10-6= 0.000001 ；10-8= 0.00000001 ；
议一议： 指数与运算结果的0的个数有什么关系？通过上
面的探索，你发现了什么？
n
一般地，10的-n次幂，在1前面有____个0.
想一想： 10-21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
(1) a m a n a m n
(m，n 是整数)；
(2) （a m）n a mn
(m，n 是整数)；
(3) （ab）n a nb n
(n 是整数)．
练一练
计算：
3
（1）x 2 y （
x 1 y）3；
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
1
=
x
（2）（2ab 2c 3）2 （a 2b）3．