新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第4章 4.2.1 对数运算

4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算
1．对数的定义及相关概念 (1)对数的概念
在表达式a b ＝N (a ＞0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，
记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．
(2)对数恒等式
＝N .
(3)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log 10N 记为lg_N . (4)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln_N .
思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？ [提示] (1)指数式和对数式的关系如图所示：
(2)指数式和对数式各部分的名称：
2．对数的性质
1．把对数式x ＝lg 2化为指数式为( ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10
D ．2x ＝10
A [根据指数式与对数式的互化可知x ＝lg 2化为指数式为10x ＝2.] 2．若log 8x ＝－2
3，则x 的值为( ) A.14 B ．4 C ．2
D.12
A [∵log 8x ＝－23，∴x ＝8-23
＝2－2＝1
4，故选A.] 3．
＝________.
3 [由对数恒等式得，
＝3.]
4．若log 3(log 2x )＝0，则x 12
＝________.
2 [∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝30
＝1，∴x ＝2，即x 12
＝
2.]
【例1】 。

(2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．
[思路探究] 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可知对数式lg(2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞.
(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2>0，x －2>0，
x －2≠1
，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是
(2,3)∪(3，＋
∞)．
]
根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围．
1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，2∪(2，＋∞) [由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1>0，2x －3>0，
2x －3≠1，
解得x >3
2，且x ≠2，所以
实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，2∪(2，＋∞)．]
【例2①log 216＝4；②log 3
x ＝6；③43
＝64；④3－2＝19；
⑤lg 1 000＝3.
(2)设a ＝log 310，b ＝log 37，求3a －b 的值．
[思路探究] (1)根据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解；
(2)由于a ，b 是对数，所以可考虑用指数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中．
[解] (1)①因为log 216＝4，所以24＝16. ②因为log
3x ＝6，所以(
3)6＝x .
③因为43＝64，所以log 464＝3. ④因为3－2＝19，所以log 31
9＝－2. ⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
(2)因为a ＝log 310，b ＝log 37，所以3a ＝10,3b ＝7. 则3
a －b
＝3a 3b ＝107.
1．指数式与对数式互化的方法技巧
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．
2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式．
①10－3＝1
1 000；②ln 2＝x.
(2)已知a>0且a≠1，log a2＝m，log a3＝n，求a2m＋n的值．
[解](1)①因为10－3＝1
1 000，所以lg1
1 000
＝－3.
②因为ln 2＝x，所以e x＝2.
(2)根据条件log a3＝n及对数的定义可得a n＝3，
由log a2＝m及对数的定义可得a m＝2，
所以a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝22×3＝12.
[
1．是不是所有的实数都有对数？
[提示]负数和0没有对数．
2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出log a1，log a a分别等于什么吗？
[提示]因为a0＝1，所以log a1＝0；因为a1＝a，所以log a a＝1.
3．你能推出对数恒等式＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
[提示]因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.
【例3】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝()
A．－ln 6＋6B．ln 6－6
C．ln 6＋6 D．－ln 6－6
(2)有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；
②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；
④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()
A．①③B．②④
C．①②D．③④
[思路探究](1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为－f(－ln 6)再代入求解．
(2)根据对数的性质逐一判断即可．
(1)C(2)C[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6－e ln 6)
＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.
(2)因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；
因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；
由10＝lg x，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得e e＝x，故x≠e2，所以④错误．]
1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．对数恒等式a log a N＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．
(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
(教师独具)
1．本节课的重点是掌握对数的概念及性质、对数恒等式，难点是对数性质及对数恒等式的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握指数式与对数式的互化关系．
(2)对数性质的应用．
(3)对数恒等式的应用．
3．本节课的易错点是弄错对数恒等式的适用条件.
1．思考辨析
(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()
(2)对数式log32与log23的意义一样．()
(3)因为1a＝1，所以log11＝a.()
(4)log(－2)(－2)＝1.()
(1)×(2)×(3)×(4)×[(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；
(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；
(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；
(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．]
2．若3x＝2，则x等于()
A．log23B．log32
C．32D．23
B[由指数式化为对数式可知x＝log32.]
3．计算＝________.
20
＝22·2log25＝4×5＝20.]
4．求下列各式中的x.
(1)log2x＝－2 3；
(2)log5(log2x)＝0.
[解](1)x＝2-
2
3
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
2
3
.
(2)log2x＝1，x＝2.。