单摆周期的一个推论式及其例解

单摆周期的一个推论式及其例解
作者：刘维军
来源：《中学教学参考·理科版》2010年第01期
我们知道,有些单摆受外部因素影响时,单摆的周期不能直接用T=2πLg计算,一般情况下,可以用两种方式解决:一是等效重力加速度的方法;二是等效摆长的方法.下面介绍一种计算单摆周期的通用推论式,供大家参考.
一、计算单摆周期的通用推论式
单摆模型在平衡位置(最低点)静止时,所受合力为零,所以摆球所受重力与摆线对摆球的拉力平衡,即拉=mg,也就是重力加速度可以用拉m计算,单摆周期公式即可变为
T=2πLg=2π
L
拉m
拉.当受外部因素影响,单摆在平衡位置静止时,摆球所受各力的合力仍为零,即摆球所受摆线的拉力与其他各力的合力平衡,如将其余各力的合力等效为“重力”,有拉合=mg′,即可得“等效重力加速度拉m,单摆周期公式即为拉.综合以上情形,可得计算单摆周期的一个通用的推论式:T=2πmLF,其中F为摆球在平衡位置静止时摆线对摆球的拉力.
二、应用举例
【例1】如图1所示,在一倾角为θ的光滑斜面上固定一长为l的单摆,若使其小角度摆动,它的运动周期为().
图1
A.T=2πlg
B.T=2πlsinθg
C.T=2πlgsinθ
D.T=2πlgcosθ
解析:通常情况下,解此题是用等效摆长的方法,如果等效不正确就会得出选项B的错误答案.
根据推论式,现只要求出摆球在平衡位置静止时摆线对摆球的拉力,即拉力等于摆球所受重力沿斜面向下的分力:F=mgsinθ,就可运用推论式求出此单摆的运动周期:T=2πmlF=
2πlgsinθ
,故正确选项为C.
【例2】在O点固定一摆长为l细线,另一端固定一个质量为m,带电量为+q的小球(可视为质点),然后沿水平方向加以电场强度为E的匀强电场,小球处于静止状态,如图2所示.若将其拉
开一个较小的角度由静止释放,求小球运动的周期.
图2 图3
解析:摆球在平衡位置静止时的受力如图3所示.
摆球所受的拉力为
单摆的周期为
【例3】在以加速度为a的匀加速上升的电梯的水平地面上固定一光滑圆弧,圆弧半径为R,有一质量为m的小球(可视为质点)静止在圆弧最低点.若将小球拉离一段较小的弧线由静止释放,如图4所示,求小球运动的周期.
图4 图5
解析:此小球的运动可等效为单摆,圆弧的半径即
可视为单摆的摆长,小球在平衡位置所受的支持力即可视
为摆球受到的拉力.
小球在平衡位置静止时的受力如图5所示.
由F-mg=ma,得F=m(g+a).
小球运动的周期T=2πmRF=2πRg+a. (责任编辑黄春香)。