高三数学函数与方程的思想方法(文)一周强化
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函数与方程的思想方法(文)一周强化
一、知识精析
函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,以变量的运动变化,联系和发展角度打开思想.
和函数有必然联系的是方程,方程f(x)=0的解,就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.
二、例题讲解
例1、对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求x的取值X 围.
例2、已知(3x4+7x3+4x2-7x-5)5·(3x4-7x3+4x2+7x-5)5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40,试求a0+a2+a4+…+a40的值.
例3、已知α、β均为锐角,且
求证:当x>0时,成立.
例4、设a>b>c,且a+b+c=0,抛物线y=ax2+2bx+c被x轴截得的弦长为l,求证:.
例5、已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2}.如果
A∩B≠Ф,某某数m的取值X围.
例6、已知a、b不同时为零,且满足:
asinx+bcosx=0①
Asin2x+Bcos2x=C.②
求证:2abA-(a2-b2)B+(a2+b2)C=0.
二、例1分析:
我们习惯上把x当作自变量,构造函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为:当p ∈[0,4]时,y>0恒成立,求x的取值X围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的.
如果把p看作自变量,x视为参数,构造函数y=(x-1)p+(x2-4x+3),则y是p 的一次函数,就非常简单.
解答:
令f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3).
当x=1时,f(p)=0,不满足f(p)>0.
∴f(p)表示p的一次函数.
∵p∈[0,4],
∴函数f(p)的图象是一条线段,要使f(p)>0恒成立,求且仅当f(0)>0,且f(4)>0,解这个不等式组即可求得x的取值X围.
答案点评:
x的取值X围是(-∞,-1)∪(3,+∞).本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为了一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组,从而求得了x的取值X围.
例2:分析:
拿到此题的第一感觉,可能会联想到二项式定理,但是仔细观察会发现,3x4+7x3+4x2-7x-5与3x4-7x3+4x2+7x-5并不是某两个二项式的展开式.至此,不少同学可能会思想受阻.
再回到已知,不妨比较一下3x4+7x3+4x2-7x-5与3x4-7x3+4x2+7x-5对应项的系数,不难发现:它们的偶次幂项的系数都相等,而x的奇次幂项的系数互为相反数,这时我们便联想到函数的奇偶性.
解答:
设f(x)=(3x4+7x3+4x2-7x-5)5·(3x4-7x3+4x2+7x-5)5,
则f(-x)=f(x).
∴f(x)为偶函数.
∴a1=a3=a5=…=a39=0.
∵f(1)=(3+7+4-7-5)5·(3-7+4+7-5)5
=25·25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+…+a39+a40
∴a0+a2+a4+…+a40=25·25=1024.
点评:
联想是开启数学思维的一把钥匙.本题首先通过相似联想,把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系,产生了一个错误的思路;进而改变思维.
例3:解答:
如果视α、β为常数,x为变量,则欲证不等式的左边为两个指数函数的和,问题转化为求函数的值域.
∵β为锐角,∴为锐角.
又α+β>,∴α>-β.
∴
∴即cosβ<sinα.
同理可证,cosα<sinβ.
∴
∴
在(0,+∞)上是减函数.
∴故f(x)<f(0)=2,即:
答案点评:
本题虽然含有三个变量α、β、x,但是我们把α、β看作常量,x视为变量,
从而构造出了函数它是两个指数函数的和,这就启示我们从研究该函数的单调性入手.
解答:
∵a>b>c,且a+b+c=0,
∴a<0,c<0.
从而Δ=4b2-4ac>0.
故抛物线y=ax2+2bx+c与x轴有两个不同的交点,即方程ax2+2bx+c=0必有两个不相等的实根x1、x2,由韦达定理,得:
可见,l2是的二次函数.
由a>b>c及a+b+c=0,
得
在上是减函数,
即:3<l2<12.
答案点评:
应用函数的性质证明不等式,关键在于构造一个适当的函数,且能较方便地判断该函数的有关性质.
分析:
如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识X围内,此题的思维方向是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是:“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,某某数m的取值X围.”这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.
解答:
由得:
x2+(m-1)x+1=0.①
∵A∩B≠Ф,
∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实根.
首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.
当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有负根,不符合要求.
当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在区间内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.
综上所述,m的取值X围是
例6:分析:
比较①、②两式与欲证等式,不难看出,由题设到结论,参数x消失了.这个信息告诉我们,可以从消参数x入手.有如下证法.
证明:
若a=0,则b≠0.由①式得cosx=0,从而由②式,
得C=Bcos2x=B(2cos2x-1)=-B.
这时,结论显然成立.
若a≠0,由①式得:
由万能公式,得
代入②式,得:
化简得:2abA-(a2-b2)B+(a2+b2)C=0.。