天津市部分区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)

2018-2019学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 已知集合A={2，4，6，8}，B=，{1，2，3，4}，则A∩B=（）
A. 2，3，4，6，
B.
C. D.
2. 已知角θ的终边与单位圆交于点P（-，），则tanθ的值为（）
A. B. C. D.
3. 已知sinα=，则sin（π-α）=（）
A. B. C. D.
4. 下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A. B. C. D.
5. 已知向量，满足||=1，||=2，（）=0，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
7. 已知a=2，b=log3，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
8. 关于函数y=sin2x，下列说法正确的是（）
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图象关于直线对称
D. 函数图象关于点对称
9. 在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=4，若=2，=+（λ∈R），且•=，则λ的值为（）
A. 1
B.
C.
D.
10. 知函数f（x）=
，
，＞，其中0＜m＜1，若存在实数a，使得关于x的方程f（x）=a恰有
三个互异的实数解，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 设向量=（3，-4），则||=______．
12. 函数的定义域为______．
13. 已知sinα=，则cos2α=______．
14. 已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=，则f（2019）=______．
15. 某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，
在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000元的年份是______年．（参考数据：1g1.08≈0.03，1g5.3≈0.73，1g7≈0.84）
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16. 已知向量，满足||=1，||=，且与的夹角为45°，若向量2t+与向量-t垂直，其中t＞0，求t
的值．
17. 已知平面直角坐标系中，向量=（1，2），=（cos x，sin x），且．
（Ⅰ）求tan x的值；
（Ⅱ）设x∈（0，），求sin（2x+）的值．
18. 设函数f（x）=lg，（a∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的定义域；
（Ⅲ）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
19. 已知函数f（x）=cos（2x-）+2sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．
20. 已知函数f（x）=x2-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f（1）+f（-1）≥2|x|的解集为A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．
1.B
解：∵集合A={2，4，6，8}，B={1，2，3，4}，
∴A∩B={2，4}．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.C
解：∵角θ的终边与单位圆交于点P（-），则tanθ==-，
故选：C．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.B
解：∵sinα=，
∴sin（π-α）=sinα=．
故选：B．
原式利用诱导公式化简，把sinα的值代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
4.D
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）=|x|=，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）=-x2+2x，在区间（1，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于C，f（x）==，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于D，f（x）=-1，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
5.B
解：因为（）=0，
所以•-=0，
所以||||cosθ=||2，
又||=1，||=2，
cosθ=，
由θ∈[0，π]，
所以θ=，
故选：B．
由向量数量积运算可得（）=0，所以•-=0，由已知||=1，||=2，求得cosθ=，由
θ∈[0，π]，所以θ=，得解
本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属简单题．
6.C
解：将函数y=sin2x，向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+），即sin2（x+）=．
故选：C．
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7.C
∈（0，1），
解：∵a=2＞1，b=log3＜0，c=log
则a，b，c的大小关系是a＞c＞b．
利用指数与对数函数的单调性与0，1比较大小即可得出．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.B
解：∵y=sin2x，
令，k∈z，
可得，，k∈z，
令k=0可得，单调递减区间[]，结合选项可知A错误；
令可得，，
令k=0可得，可得函数在[-]上单调递增，故B正确；
当x=时y=0不符合对称轴处取得最值的条件，C错误；
当x=时，y=，不符合正弦函数对称中心函数值为0的条件，D错误
故选：B．
结合正弦函数的单调性可判断A，B，结合正弦函数的对称轴即对称中心的性质可判断C，D 本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．
9.C
解：∵=2，=+（λ∈R），
∴===，
∵，∠A=120°，AB=3，AC=4，
∴==-6，
∵•=，
∴（）•（）=
=+=，
则λ=-2，
结合已知，用，表示，然后结合向量数量积的运算性质即可求解．
本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
10.A
解：当0＜m＜1时，
函数f（x）=的图象如图：
∵x≤m时，
f（x）=x2-2mx+m2+2=（x-m）2+2≥2，
∴要使得关于x的方程f（x）=a有三个不同的根，
必须2＜log m，又0＜m＜1，
解得0＜m＜，
故选：A．
作出函数f（x）的图象，依题意，可得2＜log m，解之即可．
本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到2＜log m是难点，属于中档题．
11.5
解：由向量模的运算有：||==5，
故答案为：5．
由向量模的运算：=（x，y），则||=可得解．
本题考查了向量模的运算，属简单题．
12.，∈
解|：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．
故答案为：．
利用正切函数的定义域，直接求出函数的定义域即可．
本题是基础题，考查正切函数的定义域的求法，结果必须写成集合的形式，考查计算能力．
13.
解：sinα=，则cos2α=1-2sin2α=1-2×=-．
故答案为：-．
利用二倍角公式转化求解即可．
本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．
14.-
解：根据题意，知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，
则f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1），
又由当x∈（0，2）时，f（x）=，则f（1）==，
则f（2019）=-f（1）=-；
故答案为：-
根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f（2019）=f（-1+505×4）=f（-1）=-f（1），结合函数的解析式分析可得答案．
本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.2022
解：设第n年开始超过7000万元，
则5300×（1+8%）n-2018＞7000，
化为：（n-2018）lg1.08＞lg7-lg5.3，
n-2018＞≈3.7．
取n=2022．
因此开始超过7000万元的年份是2022年．
故答案为：2022．
设第n年开始超过7000万元，可得5300×（1+8%）n-2018＞7000，两边取对数即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.解：∵，，且与的夹角为45°；
∴ ；
又向量与垂直；
∴ ==2t+1-2t2-2t=0，且t＞0；
∴解得．
根据条件可求出，又根据向量与垂直即可得出，，进行数量积的运算即可求出t的值．
考查数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．
17.解：（Ⅰ）平面直角坐标系中，向量=（1，2），=（cos x，sin x），且，
则sin x-2cos x=0，∴sin x=2cos x，∴tan x=2．
（Ⅱ）设x∈（0，），则sin（2x+）=sin2x+cos2x=•+•
=+•=+•=．
（Ⅰ）由题意利用两个向量平行的性质求得tanx的值；
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin（2x+）的值．
本题主要考查两个向量平行的性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．18.解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=lg，（a∈R），且f（1）=0，
则f（1）=lg=0，则=1，解可得a=2；
（Ⅱ）根据题意，f（x）=lg，
必有＞0，解可得x＞-1，
即函数f（x）的定义域为（-1，+∞）；
（Ⅲ）根据题意，f（x）=lg，在（0，+∞）上的单调递减，
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=lg（）-lg（）=lg（）=lg（x2+1）-lg（x1+1），
又由0＜x1＜x2，则lg（x2+1）＞lg（x1+1），
即f（x1）-f（x2）＞0，
即函数f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得f（1）=lg=0，解可得a的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由函数的解析式可得＞0，解可得x的取值范围，即可得答案；
（Ⅲ）根据题意，设0＜x1＜x2，由作差法分析可得答案．
本题考查函数单调性的判断以及函数解析式的计算，关键是求出a的值，属于基础题．19.解：函数f（x）=cos（2x-）+2sin2x=cos2x cos+sin2x sin+1-cos2x
=sin2x-cos2x=sin（2x-）
（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=；
（Ⅱ）∵x∈[-，]上，
∴2x-∈[-，]上，
∴当2x-=时，f（x）取得最小值为-1；
∴当2x-=时，f（x）取得最小值为；
故得f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值分别为-1和．
（Ⅰ）利用二倍角，和与差公式以及辅助角化简即可求解最小正周期；
（Ⅱ）根据x∈[-，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值和最小值．本题考查三角函数的化简能力和图象性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
20.解：（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2|x|可化为|x|≤1，解得-1≤x≤1，
∴A=[-1，1]
（Ⅱ）h（x）=-3x+2在[-1，1]上是递减函数，所以h（x）的值域为[-1，5]
f（x）=x2-ax的对称轴为x=，（a＞1）
当＞1即a＞2时，f（x）在[-1，1]上递减，值域为[1-a，1+a]，
2f（x）的值域为[2-2a，2+2a]，依题意[2-2a，2+2a]⊆[-1，5]，
∴ ，解得a矛盾，舍去
当≤1，即1＜a≤2时，f（x）min=f（）=-，f（x）max=max{1-a，1+a}
依题意解得1＜a
故所求a的取值范围是（1，]
（Ⅰ）根据f（x）的解析式列式可解得；
（Ⅱ）先分别求出2f（x）和h（x）在A上的值域，再根据任意是存在的子集列式可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。