高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题提高题学能测试试卷

高三数学易错三角函数与解三角形多选题 易错题提高题学能测试试卷
一、三角函数与解三角形多选题
1．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）
A ．A
B A
C →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，
2
2
413AB AC AD DB AD DB AD DB →
→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确； 对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-， 解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误； 对于D
，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=
（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2
BAD π
∠∈
，又cos BAD ∠≥
BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<
C ．
753
A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆
面积是
4
【答案】ABD 【分析】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，
sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2
A =-，cos 0AC A
B bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1
sin 2
ABC S bc A ∆=，可判定D
【详解】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753
,,222
a k
b k
c k =
== ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；
又222
2
2
2
259491444cos 5322222
k k k
b c a A bc k k +-+-=
==-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；
由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；
若8+=b c ，则2k =，故5,3,120o
b c A ===
，所以1sin 2ABC S bc A ∆==
，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
3．设函数()sin 6f x M x πω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）
A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最大值为M
C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递减 D ．5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心
【答案】BCD 【分析】
已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T π
πω=
=，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当0x =时，()0sin 20sin 662
M
f M M ππ⎛
⎫
=⨯+== ⎪⎝
⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以最大值为M ，故选项B 正确； 由解析式可知()f x 在3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈ 即2,63x k k ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣
⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26
x k π
π+
=，即212
k x ππ
=
- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.
4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．
A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭
+
+ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3
x =- C ．5π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π
12
个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】
首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23
x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后
的解析式. 【详解】
由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3
x π
=
时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244
ππωω⨯=⇒=， 当3
x π
=时，322,3
2k k Z π
πϕπ⨯
+=
+∈，解得：526
k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56π
ϕ∴=
，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，故A 正确； B.当23x π=-
时，25236
2π
π
π⎛⎫⨯-+=- ⎪
⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-
时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪
⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移
12
π
个单位后，再向下平移2个单位后，得
()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤
⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，函数是奇函数，故D 正
确.
故选：ABD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法
低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．
5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当23
3x π
π
-=
时，函数取得最大值2，所以函数的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦
.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法
低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的周期为π
B ．函数()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512
x π
=-对称 D ．该图象向右平移6
π
个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】
先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；
对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；
对于C ：计算512f π⎛-⎫
⎪⎝⎭
，看512x π=-
是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】
由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫
=-=∴==
⎪⎝⎭
；
由=2sin 2212122f ππϕπ
ϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩
解得：3πϕ=
故函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
对于A ：4312T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512
x π
=-
时255s 21212
32in f ππ
π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-
是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；
对于D ：()y f x =向右平移6π
个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝
⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
7．已知函数(
)26f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712
x π
=对称 【答案】BD 【分析】 首先要熟悉(
)26g x x π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭的图象和性质，将(
)26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下
方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】
由题意，将()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2
π
，故A 错误；
函数()f x B 正确；
函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的
图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
知D 正确， 故选：BD . 【点睛】
思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的性质，并
且知道函数()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.
8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6
π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω可以为1
2
D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】
根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】
A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭的初相为6
π
-，正确；
B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，236
2
k πωπ
π
π-≤
+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则
02ω<≤，正确；
C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以
1
2,3
k k Z ω=+∈
故ω不可以为
1
2
，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫
+=+- ⎪⎝
⎭
是偶函数，则,6
2
k k Z π
π
ωπ-
=
+∈，所以2,3
k k Z π
ωπ=
+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】
掌握三角函数图象与性质是解题的关键.
二、数列多选题
9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且11
2
n n n S a a +=⋅-，则（ ）
A ．12
d =
B ．11a =
C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列
D ．设(1)n
n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =
【答案】AC 【分析】
利用已知条件可得1121
2
n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d
的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下2121
2
n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-
，所以11212
n n n S a a +++=-，
两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，1
2
d =
，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112
a =-，故选项B 不正确；
由选项A 、B 可知，当112
a =-
，12d =时，()1111222n n
a n =-+-⨯=-，
{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当()()11
11122
n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =
+时，()221212n n b a n ==+，()21211
2112
n n b a n n --=-=--+=-， 因为2122121
2
n n n n b b a a --+=-+=
， 所以()()()212342122
n n n n T b b b b b b -=++++++=
， 当12n n a =
-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213
122
n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131
122
n n b b n n -+=-+
-=， 此时()()()22212223212
n n n n n n
T b b b b b b ---=++++++=
， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ）
A ．2n S n =
B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=
C ．11k =
D ．21n a n =- 【答案】ACD
【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到
122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =；
而713a =，故75275
a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
23171617k S S S S a =-=， 则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ．
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；
（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.。