第四节 数列通项公式的求法

-1 (2n-5)
将上述等式相加整理得bn-b1= 2 ·(n-1)=n2-4n+3, ∴bn=n2-4n+4(n≥2),当n=1时,b1=1也满足,∴bn=n2-4n+4(n∈N*).
考点突破
命题方向三 形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1),求an 典例3 在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.
项公式为an=3n-1,n∈N*.
考点突破
规律总结 Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn、Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an、an-1的关系式,再求解.
2 n -1 an -2
,n∈N*.证明:
an -2 n
为等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
解析 (1)∵ an1 = an + 2 ,则数列{ an }为等差数列. ∴ an = 8 + 2(n-1)= 2(n+1). ∴an=2(n+1)2.
(2)∵数列{an}满足a1=3,
2(n+1)an-nan+1=2n+4,
=
1 a1
=-1,∴
1 Sn
=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-
1 n
.
(3)由题意得,a1+a2=4,a2=2a1+1,
解得a1=1,a2=3,又当n≥2时,
由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得an+1=3an,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以数列{an}的通
(2)若数列{an}满足:∀n∈N*,都有
n-
an1
ann=2,bn=
ann,则数列{bn}是等差数列.(
✕)
(3)若数列{an}满足:∀n∈N*,都有an+1-an=n,则数列{an}是公差为n的等差数列.
(✕)
(4)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( ✕ )
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第四节 数列通项公式的求法
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由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)累乘法:由形如an+1=an f(n)递推关系求通项公式an; (2)累加法:由形如an+1=an+f(n)递推关系求通项公式an; (3)换元法:通过换元bn=f(an),把较复杂的数列{an}的递推关系转化为较简单的 数列{bn}的递推关系,确定数列{bn}的类型,先求数列{bn}的通项公式,再求数 列{an}的通项公式.
1是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
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解析
(1)证明:∵an+1=
2(n
1)an n
+n+1,
∴ an1 =2× an
n1 n
+1,∴
an1 n 1
+1=2
an n
1 ,
∴数列
an n
1是等比数列,公比为2,首项为2.
(2)由(1)可得:
an n
+1=2n,∴an=n·2n-n.
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提醒 利用累乘法,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到 a2 ,
a1
漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.( ✕ )
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解析 (1)由数列{bn}满足bn-bn-1=an(n≥2,n∈N*),得b2-b1=a2=-1, 又b1=b3=1,∴b2=0,a3=b3-b2=1, ∵数列{an}是等差数列,∴公差d=a3-a2=1-(-1)=2, ∴a1=a2-d=-1-2=-3. (2)由(1)可知数列{an}是以-3为首项,2为公差的等差数列, ∴an=-3+2(n-1)=2n-5,∴当n≥2时,bn-bn-1=2n-5,bn-1-bn-2=2(n-2)-5,……,b2-b1=-1,
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考点二 由an与Sn的关系求数列的通项公式
典例6
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=
1 3
an+
2 3
,则{an}的通项公式为an=
.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
.
(3)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,求数列{an}的通项公
1 2
为公比的等比数列.
1
所以Tn=
1-
1 2n
1- 1
=2-
1 2n-1
.
2
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式.Biblioteka 考点突破 栏目索引答案
(1)
-
1 2
n -1
(2)- 1
n
解析
(1)当n=1时,a1=S1=
1 3
a1+
2 3
,所以a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1 3
an-
1 3
an-1,所以
an =- 1 ,所以数列{an}(n≥2且n∈N*)是首项a1=1,公比q=- 1 的等比数列,故an=
解析 因为数列{an}满足a1=1,an+1-an-1=2n,
所以a2-a1=1+21,a3-a2=1+22,a4-a3=1+23,……,an-an-1=1+2n-1, 以上各式相加得an-a1=n-1+(21+22+23+…+2n-1), 所以an=2n+n-2.
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1-2 若数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则an=
3
得an=
2 3
an-1+2,
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两式相减得an+1-an=
2 3
(an-an-1),
即d= 2 d,∴d=0,
3
∴an+1=an=
2 3
an+2,解得an=6.
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1-4
已知数列{an}中,a1=1,an+1=
2(n
1)an n
+n+1.
(1)求证:数列
an n
(2)当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=4-
n2 2n-1
,①
a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-
n 1 2n-2
,②
由①-②得,nan=
n 2n-1
,所以an=
1 2n-1
(n≥2),
经检验,a1=1也适合上式,所以an=
1 2n-1
(n∈N*).
所以数列{an}是以1为首项,
(2)若{an}为等差数列,求{an}的通项公式.
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解析
(1)∵an+1-6=
2 3
an
2
-6=
2 3
(an-6),
又a1-6=7-6=1,∴{an-6}是以1为首项,
2 3
为公比的等比数列.
∴an-6=(a1-6)
2 3
n
-1
=
2 3
n -1
,
∴an=
2 3
n -1
+6.
(2)设{an}的公差为d,由an+1= 2 an+2,
.
答案 an=2n+1-1(n∈N*)
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4.在数列{an}中,a1=1,an=
n-1 n
an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为
答案
an=
1 n
(n∈N*)
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.
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考点突破
考点一 由数列的递推关系求通项公式
命题方向一 形如an+1=an f(n),求an 典例1 已知在数列{an}中,a1=1,nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为
.
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答案 an=n
解析
∵nan+1=(n+1)an,∴
an1 an
=
n
n
1,∴
an an-1
=
n,
n-1
an-1 an-2
=
n-1 n-2
,……,
a2 a1
=
2 1
(n≥2),累
乘得
an a1
=
n 1
(n≥2),又∵a1=1,
∴an=n.
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命题方向二 形如an+1=an+f(n),求an 典例2 已知数列{an}是等差数列,且a2=-1,数列{bn}满足bn-bn-1=an(n=2,3,4,…), 且b1=b3=1. (1)求a1的值; (2)求数列{bn}的通项公式.
典例4
在数列{an}中,a1=
3 2
,且满足an=
3
3an-1 2an-1
(n≥2),则an=
.
答案 3
2n
解析
由an=
3
3an-1 2an-1
(n≥2),可得
1 an
=
2 3
+
1 an-1
,可得数列
1 an
是以
2 3
为首项,
2 3
为公
差的等差数列,∴
1 an
=
2 3
+
2 3
(n-1)=
2n 3
a1 n(n-1)
= 2 2 (n≥2),
n(n-1) n(n-1)
则an=1·2 2 = 2 2 ,
n (n -1)
当n=1时,a1=20=1,符合上式.综上所述,an= 2 2 .
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考点突破
1-3
已知数列{an}满足an+1=
2 3
an+2.
(1)若a1=7,证明数列{an-6}为等比数列,并求{an}的通项公式;
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2-1
数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4-
n2 2n-1
,n∈N*.
(1)求a3的值;
(2)求数列{an}的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,a1=1;
当n=2时,a1+2a2=2,解得a2=
1 2
;
当n=3时,a1+2a2+3a3=
141,解得a3=
1 4
.
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∴ an1-2 =2× an -2 , a1-2 =1,
n 1
n1
∴
an -2 n
为等比数列,首项为1,公比为2.
∴
an -2 n
=2n-1,∴an=2+n·2n-1.
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规律方法
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由递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+
解析 ∵an+1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1),即
an1 1 an 1
=3.
∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3,首项为a1+1=2,
∴an+1=2×3n-1.∴an=2×3n-1-1.
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命题方向四
形如an+1=
Aan Ban
C
(A,B,C为常数),求an
(a3-a2)+(a2-a1)+a1.
(2)已知a1且
an an-1
=f(n)(n≥2),可用“累乘法”求an,即an=
an an-1
·an-1
an-2
·…·a3
a2
·a2
a1
·a1.
(3)已知a1且an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1),则an+1+k=A(an+k)(其中k可由待定系数法
确定),可转化为等比数列{an+k}.
.
答案
n (n -1)
22
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解析 数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,
即有 an1 =2n,
an
则有 an =2n-1(n≥2),
an-1
an-1 =2n-2,
an-2
……
a3 =22,
a2
a2 =21,
a1
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将以上(n-1)个式子相乘,有
an =21×22×…×2n-2×2n-1=21+2+…+n-1
an-1 2
2
-
1 2
n -1
,又a1=1符合上式,故an=
-
1 2
n-1
.
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(2)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴
1 Sn1
-
1 Sn
=-1,∴
1 Sn
是等差数列,且公差为-1,首项
1 S1
(4)形如an+1= Aan (A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造
Ban C
新数列求解.
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提醒 在利用“累加法”或“累乘法”求通项公式时要注意消去了多少项, 保留了多少项.
1-1 若数列{an}满足a1=1,an+1-an-1=2n,则an=
.
答案 2n+n-2
,∴an=
3 2n
.
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命题方向五 其他构造法
典例5 (1)在数列{an}中,若 an1 = an + 2,a1=8,则数列{an}的通项公式为
(A)
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2
D.an=4n(n+1)
(2)数列{an}满足a1=3,2(n+1)an-nan+1=2n+4,数列{bn}满足bn=
(5)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{an}是公比为2的等比数列. ( √ )
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2.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= ( C )
A.2n B.2n-1
C.2n
D.2n-1
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3.在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为