基于变分的图像恢复算法

基于变分的图像恢复算法
摘要:文章旨在有效去除噪声的同时恢复图像细节和保护图像边缘,根据变分模型中函数的选取不同,效果不同,提出了新的模型。

理论可证明模型具有稳态解、算法具有收敛性。

使用数值方法进行计算,用迭代算法(共轭梯度法)求解。

计算结果表明,该方法可以有效恢复图像,在客观标准评价和主观视觉效果方面都有明显的改善。

关键词:图像的恢复;变分;凸函数;边缘保持;稳态解
图像恢复是利用导致图像退化的先验信息,建立退化图像数学模型,然后沿着图像退化的逆过程进行重建,以获得高分辨率的图像。

利用变分思想进行图像恢复问题实际上是在一个函数集求泛函的极小或极大的问题。

由于受噪声污染图像的总变分比无噪图像的总变分明显地大,于是得到了一种以保存图像细节为目标的规整化复原方法,即总变分极小化方法。

1用变分法进行图像恢复算法的步骤
步骤一:将规整化复原问题变成极小化泛函问题
E(u)=Ku-u02 +udxdy
步骤二:将对作变分,得到Euler方程为
K*Ku-K*u0-div=0
步骤三:离散化微分方程得到相应的差分方程。

步骤四:求解差分方程。

通过在时间方向迭代得到一定精度的解。

在极小化泛函问题中,关键是选取合适的u,使得规整化泛函具有保持棱边的作用并能够有效的在计算机上实现。

{1}当t满足时=‘‘(t)=const=M>0,(其中’(0)=0’’(0)>0),在图像的连续区域有大的平滑。

{2}当t满足’’(t)=0,’’(t)=c>0时,在梯度方向不作平滑,而在与梯度正交的方向上仍然平滑,这样就起到了保护棱边的作用。

{3}当’(t)2t在[0,+∞)上连续且严格递减时,则图像可避免不稳定的平滑。

根据u的选取条件知,如果选取不同的,就会得到不同的模型。

2两类典型基于变分的图像复原模型
模型一:Tikhonov规整化方法是一种保存图像细节的方法。

通过求解极小化
minE(u)=Ku-u02+udxdy
上式中,udxdy是附加的惩罚项,它使问题得到规整化。

当u=u2时,此种方法称为Tikhonov 规整化方法。

将E(u)对u作变分,得到Euler方程为
K*Ku-K*Ku0-△u=0
其中,△u=uxx+uyy ,Tikhonov算法简单、迅速,适合分片连续图像的复原。

但由于各个方向的权重是相同的,因此,它只对变化不明显的区域进行复原,对边界及纹理区域造成明显的模糊。

模型二:Rudin,Osher,Fatemi 提出了以下的极小化问题:
minE(u)=udxdy+u-u02dxdy
其中,>0是正则系数, udxdy是去除噪声的惩罚项。

将对作变分,得到Euler方程为
=div-(u-u0)
TV正则化方法不仅能抑制噪声,而且能够保持图像的细节信息。

但在u=0处,TV函数不可微,因此,需要构造一个小的正参数来进行数值调节,即用来替换udiv是高度非线性的,给计算带来了困难。

即使进行线性化以后仍然使得共轭梯度等迭代算法收敛得很慢。

3新模型的提出
上1节(u)介绍的模型都是为凸函数的情形,对于(u)不是凸函数时,在张永平的论文中提到了一种将非凸函数转化为本质上的凸优化问题。

在此基础上我们提出一种(u)的新形式。

令t=u,设(t)=((t))=1n((t)+1),其中(t), 是任何一个凸函数。

选取(t)=-1,这个函数完全满足条件1),2),3)。

因此,泛函问题转化为
E(u)=1n((t)+1)dxdy+u-u02dxdy
其中, BV()为有界变分空间,c为常数,2为噪声方差,为图像区域的边界,为正则参数。

这里选取
=,k>0,G=exp()。

由于有界变差空间包含不连续的阶跃函数,因此上述模型不但能去除噪声,而且还具有保持边缘的特性。

在噪声存在的情况下,当方程中的正则系数取较大值时,皆有较高的光滑性,即图像中噪声的抑制效果较好,但边缘和细节信息变得模糊;当取较小值时,解保持了较好的边缘信息,但噪声的抑制减弱。

由于引进的正则化函数本质上是非凸的,其极小解不唯一,我们可求出其稳态解,并进一步证明该算法是收敛的。

3.1模型的数值计算
E(u)=1n(1+u2)dxdy+u-u02dxdy
对作一阶变分,得到Euler方程:
adiv()-(u-u0)=0。

其中,
=,k>0,
对上述模型进行离散化计算,取原始图像为I(m×n)
设Na={(i-1,j),(i,j-1),(i+1,j),(i,j+1)}
=v=[v1,v2]
v=(v1,v2)=,
利用中心差分计算散度:
v=+=+
以v1i+,j为例,
v1==u=
=
方程在中心像素点被离散化为:
0=u-up+u-u0
3.2仿真实验结果
所有程序均在MATLAB7.0.1下运行。

设I为原始图像,J为恢复后图像。

{1}对于受噪声污染后的图像,这里选用信噪比来检测实验结果。

信噪比定义为:SNR=
图描述了受椒盐噪声污染后的CT图像(400*340),表1为CT图像恢复结果表。