湖北省黄冈中学高三数学10月月考 理(教师版)【会员独享】

湖北省黄冈中学2013届高三十月月考数学试题（理）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数
1i
i -的共轭复数为（ ） A ．1122i -+ B ．1122
i +
C ．11
22
i -
-
D ．1122
i -
【答案】 C 【解析】
(1)11112222
i i i i i i ⋅+-+===-+- 2．已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D. 既不充分又非必要条件
【答案】D
【解析】若a ，b ，c 成等比数列，则b =ac b =
，则有可能0,0b a c ==或
3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3915170a a a a +++=，则21S 的值是（ ）
A.1
B. 1-
C. 0
D.不能确定 【答案】 C
【解析】391517111140,0a a a a a a +++==∴=,2111210S a == 4．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（ ）
A ．1213PP PP ⋅
B ．1214PP PP ⋅
C ．5121P P P P ⋅
D ．1216
PP PP ⋅ 【答案】A
【解析】利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P 的长度12PP 与1i P P 在12P P 的方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP <>的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 方向上的投影最大.
5．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）
A ．（1），（3）
B ．（1），（4）
C ．（2），（4）
D ．（1），（2），（3），（4）
【答案】A
【解析】可以是一个正方体上面一个球，也可以是一个圆柱上面一个球.
A. 0
B. ln 2
C. 21e +
D.1ln 2+
【答案】D
【解析】0(2012)(0)ln 21ln 2f f e ==+=+ 7．ABC ∆中，3
π
=
A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB 【答案】D
【解析】方法1：由正弦定理得
3
2sin sin sin sin sin sin sin()33
b c b c b c
B C B C B B ππ++=
===
++-， 得b ＋c
＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6
B π
+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝
36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB ．
方法2：可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝
6
π
，周长应为33＋3，故排除A 、B 、C ． 8．已知实数,a b 满足等式23a b
=，下列五个关系式：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<
④0;b a <<⑤.a b =其中可能成立的关系式有（ ） A ．①②③ B ．①②⑤ C．①③⑤ D ．③④⑤
【答案】B
【解析】设23,a b k ==则23log ,log a k b k ==，分别画出
23log ,log y x y x ==的图像可得.
9. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，
(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为（ ）
A ．[]12,+∞ B. []0,3 C. []3,12 D.[]0,12 【答案】D
【解析】函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，所以
)(x f 为奇函数，
)2()2(22y y f x x f -≤-∴，2222x x y y ∴-≥-，
222214x x y y x ⎧-≥-∴⎨≤≤⎩
，即⎩⎨⎧≤≤≥-+-410)2)((x y x y x ，画出可行域，可得[]20,12x y +∈
10. 已知函数31,0()3,0
x x f x x
x x ⎧
+>⎪
=⎨⎪+≤⎩，则方程2(2)f x x a +=（2a >）的根的个数不可能为（ ）
A ．3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A
【解析】画出)(x f 图像知，当32≤<a 时，a x f =)(有3个根，一负二正，当a <3时，a x f =)(有2
个正
根.令
x x t +=2
2，则81
-
≥t .当32≤<a 时，a t f =)(有3个t 使之成立，一负二正，两个
正
t 分别对应2个x ，当负t 81-<时，没有x 与之对应，当负t 8
1-=时，有1个x 与之对
应，当负t 8
1
-
>时，有2个x 与之对应，所以根的个数分别为4、5、6个；当a <3时，a t f =)(有2个正根，两个正t 分别对应2个x ，此时根的个数为4个.所以根的个数只
可能为4、5、6个.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上） 11．如图，下图为幂函数y ＝x n
在第一象限的图像，则1c 、
2c 、
3c 、4c 的大小关系为 ．
【答案】3c <4c <2c <1c
【解析】观察图形可知，1c >0，2c >0，且1c >1，而0<2c <1， 3c <0，4c <0，且3c <4c .
12．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图
所示，则()()()()1232012f f f f +++
+= ．
【答案】2
【解析】由图象知
()4
sin
2,42,0x
x f T πππωφ=∴===，其图象关于()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()12380,
f f f f +++
+=8,201225184,T ==⨯+
()()()()()()()()12320121234f f f f f f f f ∴+++
+=+++=
()()()(
)23412342sin sin sin sin
2.4444f f f f π
πππ⎛⎫
=+++=+++= ⎪⎝
⎭
13．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若
AB AE λ=(0)λ>，(0)AC AF μμ=>，则
1
4
λ
μ
+
的最小值是 ．
【答案】9
2
【解析】由题意得，AB ＋AC ＝2 AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝λ2AE ＋μ
2AF ，又D 、E 、F 在同
一
条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ
2＋
μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝9
2，当且仅当2λ＝μ时取等号．
14．设:p x ∃∈5
(
1,)2
使函数22()log (22)g x tx x =+-有意义，若p ⌝为假命题，则t 的取值范围为 ． 【答案】12
t >-
【解析】p ⌝为假命题，则p 为真命题. 不等式2
220tx x +->有属于5(1,)2
的解,即
222t x x >-有属于5(1,)2的解.又512x <<时,2115x <<,所以222x x -=21112()22x --∈
1[,0)2-.故12
t >-. 15．对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数 列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2
(1)3
n n S n =
-；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .
【答案】①；②
【解析】对于①当2≥n 时，1--=n n n S S a ,]1)1[(3
1)1(3222n n n n n n -=-----=
又).(,0*21N n n n a a n ∈-==所以 所以),3,2,1(2 ==+i i i a i 是完全平方数，数列}{n a 具有“P 性质”； 对于②，数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”，数列}{n b 为3，2，1，5，4；对于③，数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”，因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”.
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本小题满分12分) 已知集合}0)
1)(7()
2)(4(|
{<+-+-=x x x x x M ，集合}032|{<->=a x a ax x N ，，求集合
．}|{∅≠=N M a T
【解析】12|{-<<-=x x M ，或}74<<x ，又>ax 2⎪⎩⎪
⎨⎧->≥≥-⇔-2)3(40033x a ax ax x a x a ，，
或
⎩⎨
⎧≥<-，，003ax x a ⎪⎩⎪
⎨⎧<<≤≤⇔a x a x a x 903，，
或⎩
⎨⎧≤>03x a x ，（以上a ＜0）a x a 39≤<⇔或 0903≤<⇔≤<x a x a ，所以}09|{≤<=x a x N ；
∅≠N M ，所以19-<a ，即91-<a ，所以}9
1
|{-<=a a T .
17．(本小题满分12分)
已知6
π
=
x 是函数2
1
cos )cos sin ()(-
+=x x x a x f 图象的一条对称轴． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）作出函数)(x f 在],0[π∈x 上的图象简图（不要求书写作图过程）．
【解析】（Ⅰ）∵x x a x f 2cos 2
1
2sin 21)(+=
，∴)(x f 最值是12
12
+±a ， ∵6
π
=
x 是函数)(x f
图象的一条对称
轴，∴12
1)6
(2
+±
=a f π
， ∴
121)6(2cos 21)6(2sin 212+±=+a a ππ， 整理得 0)2
32(2=-a ，∴3=a ； （Ⅱ）)6
2sin()(π
+
=x x f ,画出其简图如下：
18．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足11=a ，132-=a ，62212-=+-++n a a a n n n （Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式； （Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）
【解析】（I ）622,1121-=-=+-∴-=++++n b b a a a a a b n n n n n n n n
8
7)()1(6)1()1(6)]1(...21[2162,....,6)2(2,6)1(2212112211--=-+---=∴---+++=---=---=---=-∴---n n a a n n n b n n b b n b b n b b n b b n n n n n n 个等式相加，得将这 即数列{b n }的通项公式为872--=n n b n
（Ⅱ）若n a 最小，则00.1111≥≤≤≤+-+-n n n n n n b b a a a a 且即且
⎪⎩⎪⎨⎧≤----≥--∴0
8)1(7)1(0872
2
n n n n 注意n 是正整数，解得8≤n ≤9 ∴当n=8或n=9时，a n 的值相等并最小
19．(本小题满分12分)
某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1
)(+=
n k
n g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元． （Ⅰ）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
【解析】（Ⅰ）由1
)(+=
n k
n g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8， 所以)10100()(n n f +=n n 100)1810(-+-
．
（Ⅱ）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-
52092800001)1
91(800001)1
10(
=⨯-≤+++-=++n n n n ．
当且仅当1+n 1
9+=
n ，即n ＝8时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 20．(本小题满分13分)
已知函数()()2
2
11x f x x R x x -=∈++.
（Ⅰ）求函数()f x 的极大值；
（Ⅱ）若()
2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x 恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有
22
22
a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-
⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
≥22
a b λμλμ+-
+. 【解析】（Ⅰ）()()()()
(
)
(
(()
222
2
22222121111x x x x x x x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤
---⋅---++-+-⎣⎦⎣⎦'=
=++++ ∴()f x
的增区间为(22--+，()f x
减区间为(,2-∞-
和()
2-++∞.
极大值为(
2f -+=
（Ⅱ）原不等式可化为()22
211t x e x x -++≥
由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为
3
3
2. ∴
()
22
211x x x -++
，由恒成立的意义知道t
e ≥
t ≥（Ⅲ）设()()()2
2
101x g x f x x x x x x -=-=
->++ 则()()()
()
()
24322
2
22412462
1111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=
-=-
++++.
∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，
又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()
22
22
2
0a b a b a b λμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴2
22
a b a b λμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭
≤
. 由()g x 的单调性有：222222
a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即22
2222
a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
≥. 21．(本小题满分14分)
已知数列{}n a ,122a a ==,112(2)n n n a a a n +-=+≥ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）当2n ≥时,求证:
12111
...3n
a a a +++< （Ⅲ）若函数()f x 满足：2*1(1),(1)()().()f a f n f n f n n N =+=+∈ 求证：
1
11
.()12n
k f k =<+∑
【解析】
112n n n a a a +-=+,两边加n a 得: 112()(2)n n n n a a a a n +-+=+≥,
1{}n n a a +∴+ 是以2为公比, 124a a +=为首项的等比数列.
114222n n n n a a -+∴+==---------①
由112n n n a a a +-=+两边减2n a 得: 112(2)(2)n n n n a a a a n +--=--≥
1{2}n n a a +∴- 是以1-为公比, 2122a a -=-为首项的等比数列.
1122(1)2(1)n n n n a a -+∴-=--=------------②
①-②得: 32[2(1)]n n n a =-- 所以,所求通项为2[2(1)]3
n
n n a =
-- (2) 当n 为偶数时,
111111
1
111111311322[]22121222221322322311
()(2)22221222222
n n
n n n n n n n n n n
n n
n n n n n n n
a a n ----+------++=+=
+-+--++=
<=+≥+-
2121
11113111312...(1...)333122222212
n n n
n a a a -
∴+++<++++==-<- 当n 为奇数时,
2[2(1)]03n n n a =-->,11
10,0n n a a ++∴>>,又1n +为偶数
∴由(1)知,
12121
1111111......3n n n a a a a a a a ++++<++++< （3）证明：
2(1)()()0f n f n f n +-=≥
(1)(),(1)()(1)(1)20f n f n f n f n f n f ∴+≥∴+≥≥-≥⋅⋅⋅≥=>
又
211111(1)()()()[()1]()()1f n f n f n f n f n f n f n ===-++++
111
()1()(1)
f n f n f n ∴
=-++。