中国人民大学附属中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典练习(培优提高)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．如图，在等边△ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线
B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥A
C C ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线
D ．若3
2
BE EC =
，则AC 是⊙O 的切线 2．已知如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=23，AB=4，连接AC ，若∠CAD=30°，则CD 为（ ）
A ．223+
B ．27
C ．
10
33
D ．123+
3．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（ ）
A ．m·sin35°
B ．
cos35m
︒
C ．
sin 35m
︒
D ．m·cos35°
4．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）
A ．43
B ．8
C ．23+4
D ．36 5．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ）
A ．34
sinA = B ．34
cos A = C ．34
tan A = D ．34cot
A =
6．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，做BD 的垂直平分线E ，F ，分别与AD 、BC 交于点E 、F ，连接BE ，DF ，若EF =AE +FC ，则边BC 的长为（ ）
A ．23
B ．3
3 C ．63
D ．
9
32
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点
A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点
B 的对应点B '的坐标是
（ ）
A ．(-1,-1)
B ．()2,1
C ．()
2,1-
D ．()2,1--
8．在ABC 中，(2sinA-1)21
cos 2
B -=0，则AB
C 是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．无法确定
9．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A ．
BD
BC
B ．
BC
AB
C ．
AD
AC
D ．
CD
AC
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（ ）
A ．
(
)
3,3
B ．
(
)
3,1
C ．()2,1
D ．()
2,3
11．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC 与DF 共线，将△DEF 沿CB 方向平移，当EF 经过AC 的中点O 时，直线EF 交AB 于点G ，若BC=3，则此时OG 的长度为（ ）
A 322
B 332
C ．
32
D 33322
12．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在
Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()
123
23232323
AC CD -=
===-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A ．21+
B ．2﹣1
C ．2
D ．
1
2
13．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）
A ．
12
B 5
C 25
D 5 二、填空题
15．计算：22303060sin cos tan ︒︒︒+-=__________． 16．某斜坡的坡度33i =，则它的坡角是__________度．
17．01
sin 4513(32018)6tan 302
-+
+︒︒=________．
18．已知ABC中，
1
6,
3
AB AC cosB
===，则边BC的长度为____________．
19．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．
20．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=__．
21．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= .
22．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ
（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为
BF中点，CD=6，sin∠ADB=
10
10
，若△AEF的周长为18，则S△BOE=_____．
24．如图，在1OAA △中，130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11AA =，以1OA 为边作
12Rt OA A △，使1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒；再以2OA 为边作23Rt OA A △，使2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒；再以3OA 为边作34Rt OA A △，使3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒，…，如此继续，可以依次得到12Rt OA A △，23Rt OA A △，34Rt OA A △，…，1n n Rt OA A -△，则2020OA =__________．
25．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形
EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH =____________．
26．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点
E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）
三、解答题
27．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，
()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
()1画出
ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=
()2以点B 为位似中心，在网格内画出2
2
2
A B C
△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为
2:1，点2C 的坐标是_____；
()
2223A B C 的周长为_______ ．
28．计算：（1）|-2|-2cos60°+(π-2020)0； （2）(
13
)-1
+18+|-2|-4sin45° 29．如图，
O 为ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点．
（1）连接OD ．求证：//OD AC ． （2）设OD 交BC 于E ，若43BC
=，2DE =．求阴影部分面积．
30．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一动点，点F 是CD 上一点，
,,CE DF AF DE =且相交于点G ．
（1）求证：ADF DCE ∆≅∆； （2）若BG BC =，求tan DAG ∠的值．
【参考答案】
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．A
5．B
6．B
7．D
8．C
9．C
10．B
11．A
12．B
13．B
14．D
二、填空题
15．【分析】先根据特殊角的三角函数值化简然后再计算即可【详解】解：===故答案为【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键
16．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键
17．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键
18．4【分析】过A作AD⊥BC于点D则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A作AD⊥BC于点D则由已知可得△ABC为等腰三角形
BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=
19．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求
20．【分析】连接BC可得∠ACB=90°根据同弧对等角有∠D=∠A在△ABC中根据正切定义可求出tanD【详解】如图所示连接BC因为AB是直径所以∠ACB=90°在Rt△ABC中
BC=tanA=而BC弧
21．【详解】如图延长CA使AF=AE连接BF过B点作BG⊥AC垂足为G∵四边形ABCD是正方形∴∠CAB=45°∴∠BAF=135°∵AE⊥AC∴∠BAE=135°∴∠BAF=∠BAE∵在△BAF和△B
22．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考
23．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt△ABF中利用勾股定理可求得求出
DF=10可求出S△BDF由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=6∠BAD=90
24．【分析】在直角三角形中已知一个角是30°一边边长根据特殊角三角函数解直角三角形依次求出OA1OA2OA3OA4OA5OA6然后找到规律即可求出的值【详解】
∵∴=∵∴∵∴∵∴∵∴同理可得综上所述∴故答
25．【分析】过点F作FI⊥BC于点I延长线IF交AD于J根据含30°直角三角形的性质可求出FIFJ和JH的长度从而求出HD的长度【详解】解：过点F作FI⊥BC于点BC延长线AD 交AD于J由题意可知：CF
26．【分析】设圆弧与AC交于F连接BF过F作FH⊥BC于H解直角三角形得到∠BAC＝60°求得△ABF是等边三角形得到∠ABF＝60°推出∠FBE＝30°然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△A
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
A、连接OE，根据同圆的半径相等得到OB＝OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE＝
∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；
B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；
C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO＝OB，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数
得到OH≠OB，于是得到C选项错误；
D、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确．
【详解】
A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确，不符合题意．B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确，不符合题意．C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，
∴OH＝3
2
AO≠OB，
∴C选项错误，符合题意．
D、如C中的图，∵BE 3
，
∴CE23，
∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE23OB，∴OH3＝OB，
∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题为圆的综合题，掌握切线的判定和性质、平行线的判定和性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
过C点作CH⊥AD延长线于H点，由CH=AB=4求出AH的长，再减去AD即得到DH的长，再在Rt△DCH中使用勾股定理即可求出CD．
【详解】
解：如图所示，过C点作CH⊥AD延长线于H点，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠BAH=90°，且∠H=90°，
∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH=4，
在Rt△ACH中，3343
AH CH AB，
∴DH=AH-AD=23
∴在Rt△CDH中，22121627
CD DH CH，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握30°，60°，90°三角形中三边之比为3
：：是解决本题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据Rt△ABC中cos35AC
AB
AC
m
︒==，即可得到AC的长.【详解】
在Rt△ABC中， AB=m，∠A=35°，cos35AC
AB
AC
m
︒==，
∴AC=cos35
m⋅︒，
故选：D.
【点睛】
此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键.
4．A
解析：A
【分析】
先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM
是等边三角形，进而得到∆BCM ≅
∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；
【详解】
∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，
∵∠ADC=60°，CM=CD ，
∴△CDM 是等边三角形，
∴60MCD ∠=︒，
∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，
即：∠BCM=∠ACD ，
∴∆BCM ≅∆ACD ，
∴∠BMC=∠ADC=60°，
∴∠BMC=∠MCD ，
∴BM ∥CD ，
根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，
过点M 作MH CD ⊥，
∵CD=4，
∴2==CH HD ， ∴tan 602
MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==
⨯⨯= 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM是解题的关键．5．B
解析：B
【分析】
按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．
【详解】
解：如图，由勾股定理可得BC=2222
437
AB AC
-=-=
选项A，
7
4
BC
sinA
AB
==，故错误；
选项B，
3
cos
4
AC
A
AB
==，故正确；
选项C，
7
tan
3
BC
A
AC
，故错误；
选项D，
37
cot
7
7
AC
A
BC
===，故错误；
故应选：B
【点睛】
本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题．
6．B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
//,
DE BF
∴
,,
DEO BFO EDO FBO
∴∠=∠∠=∠
EF垂直平分BD，
OB OD
∴=，
BOF DOE ∴∆∆≌，
,OE OF ∴=
∴ 四边形BEDF 是菱形，
∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，
∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，
∴EF=2AE=2CF ，
又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，
∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE= cos30BO ︒＝23， ∴BF=BE=23，
∴CF=AE=3，
∴BC=BF+CF=3
3，
故选B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 7．D
解析：D
【分析】
根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．
【详解】
解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E
∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°
∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1
∴OE=OA ＋AE=2
∴点B 的坐标为（2,1）
∴点B绕点O旋转180°的对应点B'的坐标（-2，-1）
故选D．
【点睛】
此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状．
【详解】
解：∵(2sinA-1)2=0，
∴2sinA-1=0，cosB-1
2
=0，
∴sinA=1
2，cosB=
1
2
，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cosα＝cos∠ACD＝BD
BC
＝
BC
AB
＝
DC
AC
，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．10．B
解析：B
【分析】
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB 的值，再根据勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．
【详解】
解：如图，过A 点作AD x ⊥轴于D 点，
Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．
30AOD ∴∠=︒，
12
AD OA ∴=， C 为OA 的中点，
1AD AC OC BC ∴====，
2OA ∴=，
3OD ∴=，
则点A 的坐标为：(31)．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．A
解析：A
【分析】
分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H
为BC 的中点，则可得BH=
32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32
，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．
【详解】
解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，
∴AB ⊥BC ，
∴OH ∥AB ，
又O 为中点，
∴H 为BC 的中点，
∴BH=12BC=32
∵GI ⊥OH ，
∴四边形BHIG 为矩形，
∴GI ∥BH ，GI=BH=
32, 又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴在Rt △OGI 中，32cos 2
GI OG OGI ==∠．
故选：A
【点睛】
本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 12．B
解析：B
【分析】
作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】
解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB 2x ，CD ＝(1+2x ， ()
22.5==211+2AC C tan ta D x n D =∠=︒
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
13．B
解析：B
【分析】
分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【详解】
设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，
当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，
∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，
AA x '=，
∴tan ∠CAB =A M BC AA AB =''， ∴A 'M =12
x ， 其面积y=
12AA A M ''=12x •12x =14
x 2， 故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ； 当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，
AA x '=，2AF x '=-，
同理：A 'M =12x ，()122
F M x ='-， 其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12
（x ﹣2）=x ﹣1，
故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．
当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，
AF '=x ﹣2，F 'N =
12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2， 其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14
x 2+x +3， 故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；
综上，只有B 符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．
14．D
解析：D
【分析】
此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵BC ＝2AC ，
∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，
∵∠C ＝90°，
∴AB 225AC BC a +=， ∴cosA ＝55AC AB a
== 故选：D ．
【点睛】
此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
二、填空题
15．【分析】先根据特殊角的三角函数值化简然后再计算即可【详解】解：===故答案为
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键 解析：13【分析】
先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【详解】
解：22303060sin cos tan ︒︒︒+-
=2
212⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭
=1344
+-
=1
故答案为1
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
16．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键
解析：30
【分析】
根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．
【详解】
解：设斜坡的坡角为α，则有()tan i α==
∵()tan 30303
α︒=∴=︒， 故答案为30 ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．
17．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键
解析：322
+ 【分析】
先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．
【详解】
原式111)62-++=⨯
21312322+=-++， 2
3232=++， 故答案为：
32322
++． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、实数的运算，熟记各运算法则是解题关键．
18．4【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D 则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A 作AD ⊥BC 于点D 则由已知可得△ABC 为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=
解析：4
【分析】
过A 作AD ⊥BC 于点D ，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答 ．
【详解】
解：如图，过A 作AD ⊥BC 于点D ，则由已知可得△ABC 为等腰三角形，BD=DC=12
BC ，
∴由 cosB=
13得111,62333
BD BD AB AB ===⨯=，BC=2BD=4， 故答案为4 ．
【点睛】 本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键 ．
19．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=
故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求 解析：512 【分析】 首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解． 【详解】 解：滑行的水平距离是：2213050-=120（米），
故坡道的坡比是：50：120=
512 ． 故答案是：
512
． 【点睛】 本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．
20．【分析】连接BC 可得∠ACB=90°根据同弧对等角有∠D=∠A 在△ABC 中根据正切定义可求出tanD 【详解】如图所示连接BC 因为AB 是直径所以∠ACB=90°在Rt △ABC 中BC=tanA=而BC 弧
解析：22
【分析】
连接B 、C ，可得∠ACB=90°，根据同弧对等角有∠D=∠A ，在△ABC 中根据正切定义可求出tanD.
【详解】
如图所示，连接B 、C ，因为AB 是直径，所以∠ACB=90°
在Rt △ABC 中BC=2222AB AC =62=42--，tanA=
BC 42==22AC 2
， 而BC 弧所对的∠D=∠A ，所以tanD= tanA=22.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、勾股定理，连接BC 构造直角三角形是解题的关键.
21．【详解】如图延长CA 使AF=AE 连接BF 过B 点作BG ⊥AC 垂足为G ∵四边形ABCD 是正方形
∴∠CAB=45°∴∠BAF=135°∵AE ⊥AC ∴∠BAE=135°∴∠BAF=∠BAE ∵在△BAF 和△B
解析：2 3
【详解】
如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°．
∵AE⊥AC，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE．
∵在△BAF和△BAE中，
BA BA
{BAF BAE
AE AF
∠∠
＝
＝
＝
，∴△BAF≌△BAE（SAS）．
∴∠E=∠F．
∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中点．∴BG=AG=2．
在Rt△BGF中，
BG2
tanF
FG3
==，即tanE=
2
3
．
考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，
22．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考
解析：（2+23
【分析】
由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】
在Rt△ABC中，
23
3
BC
AC
tanθ
===
∴AC+BC=
米，
∴地毯的面积至少需要1×（=（
2）；
故答案为：（）．
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC 是解决问题的关键． 23．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt △ABF 中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S △BDF 由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=6∠BAD=90 解析：152
【分析】
根据题意求出AD=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求得8a =，求出DF=10，可求出S △BDF ，由三角形中位线定理可求出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB=CD=6，∠BAD=90°，OB=OD ，
∵sin ∠ADB=
10，
∴6AB BD BD ==， ∴BD =
∴18DA ===，
∵E 为BF 中点，
∴AE=BE=EF ，
∵△AEF 的周长为18，
∴AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18，
设AF=a ，则BF=18a -，
在Rt △ABF 中，AB 2+AF 2=BF 2，
∴62+a 2=(18a -)2，
解得：8a =，
∴DF=18-8=10．
∵E 为BF 中点，O 为BD 的中点， ∴OE ∥DF ，OE=
12
DF ， ∴△BOE ∽△BDF ，
∴BOE BDF 14
S
S =， ∵BDF 12S =DF•AB=12
×6×10=30， ∴S △BOE =BDF 111530442
S =⨯=． 故答案为：
152
． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，中位线定理，三角形的面积等知识，熟练掌握几何基本图形的性质是解题的关键．
24．【分析】在直角三角形中已知一个角是30°一边边长根据特殊角三角函数解直角三角形依次求出OA1OA2OA3OA4OA5OA6然后找到规律即可求出的值
【详解】∵∴=∵∴∵∴∵∴∵∴同理可得综上所述∴
故答
【分析】
在直角三角形中，已知一个角是30°，一边边长，根据特殊角三角函数解直角三角形，依次求出OA 1、OA 2、OA 3、OA 4、OA 5、OA 6，然后找到规律，即可求出2020OA 的值．
【详解】
∵130AOA ∠=︒，A 90∠=︒，11
AA = ∴11
2223OA ===
∵1230AOA ∠=︒，1290OA A ∠=︒
∴12cos30332
2OA OA ====︒ ∵2330A OA ∠=︒，2390OA A ∠=︒
∴2332
82cos3033OA OA ====︒ ∵3430A OA ∠=︒，3490OA A ∠=︒
∴3428
2cos3093OA OA ====︒
∵4330A OA ∠=︒，4590OA A ∠=︒ ∴545216332239cos309332
5OA OA ====︒ 同理可得656332643239cos302733
2
OA OA ====︒ 综上所述，223
3n n n
OA =
∴202020201010233
OA = 故答案为：20201010233
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数解直角三角形，是一道找规律题，本题根据已知多求出几个直角三角形斜边，然后从中找到规律是解题的关键．
25．【分析】过点F 作FI ⊥BC 于点I 延长线IF 交AD 于J 根据含30°直角三角形的性质可求出FIFJ 和JH 的长度从而求出HD 的长度【详解】解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC 延长线AD 交AD 于J 由题意可知：CF
解析：23
【分析】
过点F 作FI ⊥BC 于点I ，延长线IF 交AD 于J ，根据含30°直角三角形的性质可求出FI 、FJ 和JH 的长度，从而求出HD 的长度．
【详解】
解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC ，延长线AD 交AD 于J ，
由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=3
3
∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，
∴x=3，
∴DH=DJ-JH=33323
-=
故答案为：23．
【点睛】
本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
26．【分析】设圆弧与AC交于F连接BF过F作FH⊥BC于H解直角三角形得到∠BAC＝60°求得△ABF是等边三角形得到∠ABF＝60°推出∠FBE＝30°然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△A
解析：3 4π
【分析】
设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，解直角三角形得到∠BAC＝60°，求得△ABF是等边三角形，得到∠ABF＝60°，推出∠FBE＝30°，然后根据S阴影＝S扇形BAF＋
S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE计算即可．2
【详解】
解：设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝BE＝3，BC＝33
∴tan∠BAC＝333
3
=
∴∠BAC＝60°，
∵BA＝BF＝3，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠FBH＝30°，
∴FH＝1
2BF＝
3
2
，
∴S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF −S △ABF −S 扇形BFE ＝S 扇形BAF −S 扇形BFE
2
2603303333360360244
， 故答案为：
34
π． 【点睛】 本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
27．
（1）画图见解析；1C 的坐标是（2，-2）；tan BAC ∠=1；（2）画图见解析；2C 的坐标是（1，0）；（3）45210+.
【分析】
（1）将△ABC 关于x 轴对称得到△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标；证明ABC 是等腰直角三角形即可求出tan BAC ∠的值；
（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．
（3）先求出△ABC 的周长，再根据222A B C 与ABC 的位似比为2:1，即可求出222A B C 的周长．
【详解】
解：（1）111A B C 如图所示，点C 1的坐标是（2，-2）；
∵222125AC =+=，222125BC =+=，2221310AB =+=，
∴222AC BC AB +=，AC BC =，
∴ABC 是等腰直角三角形，
∴45BAC ∠=，
∴tan BAC ∠= tan 45=1；
故答案是：（2，-2）；1；
（2）△A2B2C2如图所示，2C的坐标是（1，0）；
故答案是：（1，0）；
（3）∵△ABC的周长55102510222
A B C与ABC的位似比为2:1，
∴
222
A B C的周长为2(2510)=4510
故答案为：510
【点睛】
此题考查了作图-位似变换与对称变换及三角函数值的求法，熟练掌握位似变换与对称变换的性质是解本题的关键．
28．
（1）2；（2）52
【分析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：（1）原式
1
221
2
=-⨯+，
211 =-+，2
=．
解：原式
2 33224
=+-
332222
=+-
52
=
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
29．
（1）证明见解析；（2）
163π- 【分析】
（1）先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂径定理的推论可得OD 垂直平分BC ，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）设O 的半径为r ，从而可得,2OB r OE r ==-，再根据垂径定理的推论可得
1
2
BE BC =
=Rt OBE 中，利用勾股定理可得r 的值，从而可得OBC ∠的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得．
【详解】 （1）
AB 为O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，即AC BC ⊥， 点D 为BC 的中点，
OD ∴垂直平分BC ，
//OD AC ∴；
（2）设O 的半径为r ，则OB OD OC r ===，
2DE =，
2OE OD DE r ∴=-=-，
由（1）已证：OD 垂直平分BC ，
11
22
BE BC ∴==⨯=
在Rt OBE 中，222OE BE OB +=，即222(2)r r -+=，
解得4r =，
4,2OB OE ∴==，
在Rt OBE 中，1sin 2
OE OBC OB ∠==， 30OBC ∴∠=︒，
又OB OC =，
30OCB OBC ，
180120BOC OCB OBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，
则阴影部分面积为21204116236023
OBC OBC S S
ππ⨯-=-⨯=-扇形 【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、正弦三角函数等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键． 30．
（1）见解析；（2）
12
【分析】 （1）根据正方形的性质得到AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒，可以证明
()ADF DCE SAS ≅；
（2）过点B 作BM AG ⊥于点M ，先根据（1）证明90AGD ∠=︒，再证明
()ABM DAG AAS ≅，可以求出1tan 2
ABM ∠=，根据ABM DAG ∠=∠，则可以得
到DAG ∠的正切值．
【详解】
解：（1）∵ABCD 是正方形，
∴AD=DC ，90ADF DCE ∠=∠=︒
在ADF 和DCE 中，
AD DC
ADF DCE DF CE
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴()ADF DCE SAS ≅；
（2）如图，过点B 作BM AG ⊥于点M ，
∵ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，
∵BC=BG ，
∴AB=BG ，
∵BM AG ⊥， ∴1
2AM AG =，
∵ADF DCE ≅，
∴DAF CDE ∠=∠，
∵90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，
∴90ADG DAF ∠+∠=︒，
∴90AGD ∠=︒，
∵BM AG ⊥，
∴90BMA ∠=︒，
∴90BAM ABM ∠+∠=︒，
∵90BAM DAG ∠+∠=︒，
∴ABM DAG ∠=∠，
在ABM 和DAG △中，
ABM DAG AMB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABM DAG AAS ≅，
∴BM AG =， ∴112tan 2
AG AM ABM BM AG ∠===， ∵ABM DAG ∠=∠，
∴1tan 2
DAG ∠=．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，锐角三角函数的求解，解题的关键是掌握这些性质定理并结合题目条件进行证明求解．。