北师大版数学高一-北师大版必修5 必修5 学业水平达标检测
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解析：由题意，得 ，解得m＝－1.
答案：－1
16．在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则 的最大值为________．
解析：因为sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinCsin(A＋B)＝sin2C，所以sinAsinBcosC＝sin2C，由正弦定理可得abcosC＝c2，由余弦定理可得ab· ＝c2，从而3c2＝a2＋b2≥2ab，即 ≤ .
C．1 D.
解析：∵ 是3a与3b的等比中项，
∴( )2＝3a·3b.
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝ 取等号)，故选B.
答案：B
11．已知钝角三角形ABC的最长边为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图形的面积是()
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，
∴(2x＋4)(x－4)＜0，∴－2＜x＜4，
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的表达式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.
∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：该题把数列知识与二次函数知识结合在一起，涉及到了二次函数的最值问题和指数函数的性质．
an＝5· 2n－2－4· n－1
＝5· 2－ .
显然当n＝2时，an取得最小值，当n＝1时，an取得最大值，
所以x＝1，y＝2.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)
故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝Sn＝－ n2＋ n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋|…＋|an|＝－Sn＋2S11＝ n2－ n＋110.
答案：D
5．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足 ＝ ，则 的值为()
A. B.
C. D.
解析：由等差数列的性质得 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选A.
答案：A
6．数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2an＋1＝an＋an＋2，若bn＝ ，则数列{bn}的前5项和等于()
A．1 B.
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
21．(本小题满分12分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解析：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0，
S45＝ ＝45a23>0，
∴Sn>0的最大自然数n＝46.
答案：46
14．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，那么数列{an}的前6项和S6＝________.
解析：设公比为q，由题意，得 解得
a1＝1，q＝2，所以S6＝ ＝ ＝63.
答案：63
15．已知关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则实数m＝________.
13．若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．
解析：由等差数列的性质，a23＋a24>0，a23·a24<0，
∴a23>0，a24<0，24)>0
S47＝ ＝47·a24<0
解析：特殊值验证法，取a＝－1，b＝－2，则 ＝ ， ＝ ，
∴ > >a，故选C.
答案：C
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝ b，且a＞b，则∠B＝()
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理知asinBcosC＋csinBcosA＝ b可化为sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝ sinB，即sin(A＋C)＝ ，故sinB＝ ，由于a＞b，所以B为锐角，故B＝ ，故选A.
依题意有
由(6＋d)q＝64知q为正有理数，
又由q＝2 知，d为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以 ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝
＝ <
∴ ＋ ＋…＋ <
19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
又∵B为锐角，∴B＝45°.
又lga－lgb＝lg ＝lg ，∴ ＝ ＝ ，
∴sinA＝ ，a＜b，∴A＝30°.
答案：A
3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()
A．a<b< < B．a< < <b
C．a< <b< D. <a< <b
解析：∵0<a<b，∴a·a<ab.∴a< .
由基本不等式知 < (a≠b)，
必修5学业水平达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则∠B＝()
A．105° B．60°
C．15° D．105°或15°
解析：由正弦定理得sinC＝ ＝ ＝
蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．
S≤808－4 ＝648(m2)，
a＝2b，即a＝40 m，b＝20 m时，S最大值＝648 m2.
所以当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
A．2 B．4
C．π－2 D．4π－2
解析：由题意三角形为钝角三角形，则①a2＋b2＜22，②a＋b＞2，③a＞0，b＞0，于是集合的含义即为由条件①②③组成的图形，如图所示，则其面积为S＝ － ×2×2＝π－2.
答案：C
12．若数列{an}的通项公式an＝5· 2n－2－4· n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()
∵c>a，∴C>A，∴C＝45°或135°
当C＝45°时，B＝180°－(A＋C)＝105°.
当C＝135°时，B＝180°－(A＋C)＝15°.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，lga－lgb＝lg sinB＝－lg ，B为锐角，则A为()
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：lg sinB＝－lg ＝lg ，∴sinB＝ .
答案：A
9．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝5x＋y的最大值为()
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：如图所示，由图象可知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时，z取得最大值，zmax＝5，故选D.
答案：D
10．设a>0，b>0.若 是3a与3b的等比中项，则 ＋ 的最小值为()
A．8 B．4
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且 ＝ .
(1)求AC；
(2)求角A.
解析：(1)由正弦定理，得 ＝ ，∴ ＝ ＝ .
∴AC＝ ＝5.
(2)由余弦定理，得cosA＝ ＝ ＝－ .
又0°<A<180°，∴A＝120°.
又∵0<a<b，a＋b<b＋b，∴ <b.
∴a< < <b.
答案：B
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为()
A．1 B．2
C. D.
解析：由已知得 bcsinA＝ ×1×c×sin ＝ ，解得c＝2.
故a2＝4＋1－2×2×1×cos ＝3，得a＝ .
∵方程②有两个相等实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或－ .
又∵a<0，∴a＝－ .
代入①，得f(x)＝－ x2－ x－ .
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a(a<0)，得
f(x)max＝－ .
∴ 解得a<－2－ 或－2＋ <a<0，
即a的取值范围为(－∞，－2－ )∪(－2＋ ，0)．
∴不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x＞2，均有不等式 ≥m成立．
而 ＝(x－1)＋ －2
≥2 －2
＝2(当x＝3时等号成立)．
C. D.
解析：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，
又∵a1＝1，a2＝2，∴an＝n
又bn＝ ＝ ＝ －
∴b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝ ，故选B.
答案：B
7．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()
A．a> > B. > >a
C. > >aD. >a>
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋|…＋|an|＝
22．(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800.
18．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．
(1)求an与bn；
(2)证明： ＋ ＋…＋ < .
解析：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
答案：－1
16．在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则 的最大值为________．
解析：因为sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinCsin(A＋B)＝sin2C，所以sinAsinBcosC＝sin2C，由正弦定理可得abcosC＝c2，由余弦定理可得ab· ＝c2，从而3c2＝a2＋b2≥2ab，即 ≤ .
C．1 D.
解析：∵ 是3a与3b的等比中项，
∴( )2＝3a·3b.
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝ 取等号)，故选B.
答案：B
11．已知钝角三角形ABC的最长边为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图形的面积是()
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，
∴(2x＋4)(x－4)＜0，∴－2＜x＜4，
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的表达式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.
∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：该题把数列知识与二次函数知识结合在一起，涉及到了二次函数的最值问题和指数函数的性质．
an＝5· 2n－2－4· n－1
＝5· 2－ .
显然当n＝2时，an取得最小值，当n＝1时，an取得最大值，
所以x＝1，y＝2.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)
故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝Sn＝－ n2＋ n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋|…＋|an|＝－Sn＋2S11＝ n2－ n＋110.
答案：D
5．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足 ＝ ，则 的值为()
A. B.
C. D.
解析：由等差数列的性质得 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选A.
答案：A
6．数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2an＋1＝an＋an＋2，若bn＝ ，则数列{bn}的前5项和等于()
A．1 B.
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
21．(本小题满分12分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解析：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0，
S45＝ ＝45a23>0，
∴Sn>0的最大自然数n＝46.
答案：46
14．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，那么数列{an}的前6项和S6＝________.
解析：设公比为q，由题意，得 解得
a1＝1，q＝2，所以S6＝ ＝ ＝63.
答案：63
15．已知关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则实数m＝________.
13．若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．
解析：由等差数列的性质，a23＋a24>0，a23·a24<0，
∴a23>0，a24<0，24)>0
S47＝ ＝47·a24<0
解析：特殊值验证法，取a＝－1，b＝－2，则 ＝ ， ＝ ，
∴ > >a，故选C.
答案：C
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝ b，且a＞b，则∠B＝()
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理知asinBcosC＋csinBcosA＝ b可化为sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝ sinB，即sin(A＋C)＝ ，故sinB＝ ，由于a＞b，所以B为锐角，故B＝ ，故选A.
依题意有
由(6＋d)q＝64知q为正有理数，
又由q＝2 知，d为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以 ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝
＝ <
∴ ＋ ＋…＋ <
19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
又∵B为锐角，∴B＝45°.
又lga－lgb＝lg ＝lg ，∴ ＝ ＝ ，
∴sinA＝ ，a＜b，∴A＝30°.
答案：A
3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()
A．a<b< < B．a< < <b
C．a< <b< D. <a< <b
解析：∵0<a<b，∴a·a<ab.∴a< .
由基本不等式知 < (a≠b)，
必修5学业水平达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则∠B＝()
A．105° B．60°
C．15° D．105°或15°
解析：由正弦定理得sinC＝ ＝ ＝
蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．
S≤808－4 ＝648(m2)，
a＝2b，即a＝40 m，b＝20 m时，S最大值＝648 m2.
所以当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
A．2 B．4
C．π－2 D．4π－2
解析：由题意三角形为钝角三角形，则①a2＋b2＜22，②a＋b＞2，③a＞0，b＞0，于是集合的含义即为由条件①②③组成的图形，如图所示，则其面积为S＝ － ×2×2＝π－2.
答案：C
12．若数列{an}的通项公式an＝5· 2n－2－4· n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()
∵c>a，∴C>A，∴C＝45°或135°
当C＝45°时，B＝180°－(A＋C)＝105°.
当C＝135°时，B＝180°－(A＋C)＝15°.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，lga－lgb＝lg sinB＝－lg ，B为锐角，则A为()
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：lg sinB＝－lg ＝lg ，∴sinB＝ .
答案：A
9．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝5x＋y的最大值为()
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：如图所示，由图象可知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时，z取得最大值，zmax＝5，故选D.
答案：D
10．设a>0，b>0.若 是3a与3b的等比中项，则 ＋ 的最小值为()
A．8 B．4
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且 ＝ .
(1)求AC；
(2)求角A.
解析：(1)由正弦定理，得 ＝ ，∴ ＝ ＝ .
∴AC＝ ＝5.
(2)由余弦定理，得cosA＝ ＝ ＝－ .
又0°<A<180°，∴A＝120°.
又∵0<a<b，a＋b<b＋b，∴ <b.
∴a< < <b.
答案：B
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为()
A．1 B．2
C. D.
解析：由已知得 bcsinA＝ ×1×c×sin ＝ ，解得c＝2.
故a2＝4＋1－2×2×1×cos ＝3，得a＝ .
∵方程②有两个相等实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或－ .
又∵a<0，∴a＝－ .
代入①，得f(x)＝－ x2－ x－ .
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a(a<0)，得
f(x)max＝－ .
∴ 解得a<－2－ 或－2＋ <a<0，
即a的取值范围为(－∞，－2－ )∪(－2＋ ，0)．
∴不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x＞2，均有不等式 ≥m成立．
而 ＝(x－1)＋ －2
≥2 －2
＝2(当x＝3时等号成立)．
C. D.
解析：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，
又∵a1＝1，a2＝2，∴an＝n
又bn＝ ＝ ＝ －
∴b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝ ，故选B.
答案：B
7．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()
A．a> > B. > >a
C. > >aD. >a>
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋|…＋|an|＝
22．(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800.
18．(本小题满分12分)等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．
(1)求an与bn；
(2)证明： ＋ ＋…＋ < .
解析：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，