六年级下数学广角-鸽巢问题知识点

第五单元：数学广角－鸽巢问题
【知识点一】“鸽巢原理”（一）
“鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且
ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。

【知识点二】“鸽巢原理”（二）
“鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），
那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。

【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题
应用“鸽巢原理”解题的一般步骤（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽
巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）
和分放的物体。

（２）设计“鸽巢”的具体形式。

（３）运用
原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问
题。

【误区警示】
误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一个
抽屉里至少放５本书。

（√）
错解分析此题错在把这个抽屉至少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）”
计算了，应该是“３（商）＋１”。

错解改正×
误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，至少取出几个能保证有２个同色的？
５×３÷３＝５（个）
错解分析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是
与问题要求不符。

本题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个
鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有２个同色的），
求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。

错解改正３＋１＝４（个）
【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题
典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５
个玻璃球？
思路分析由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均
每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中至少有一个鸽巢中
有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。

此题可以把玻璃球的总数看成分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数，
要使其中一个鸽巢里至少有５个玻璃球，则玻璃球的个数至
少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。

正确解答（２５－１）÷（５－１）＝６个（个）
方法总结（分放的物体总数－１）÷（其中一个鸽巢里至少有的物体个数－１）＝
ａ．．．．ｂ（ａ．ｂ为自然数，且ｂ＞ａ），则ａ就是所求的
鸽巢数。

典型例题平安路小学组织８６２名同学去参观甲、乙、丙处景点。

规定每名同学
至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观
的景点相同？
思路分析参观甲、乙、丙３处景点，若只参观一处，则有３种参观方案；若参观
两处，则有“甲乙、乙丙和甲丙”这３种参观方案。

所以，
一共有３＋３＝６（种）参观方案。

求至少有多少名同学参
观的景点相同，可以转化为“鸽巢问题”解答，把８６２名
同学看成要分放的物体，把６中参观方案看成６个鸽巢。

正确解答３＋３＝６（种）
８６２÷６＝１４３（名）．．．．．４（名）
１４３＋１＝１４４（名）
【综合测评】
１、
（１）小东玩掷骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的骰子数至少有两次是相同
的，小东至少应该掷（）次
（２）李阿姨给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白３种颜色，结果总是至少有２
个孩子的衣服颜色一样，她至少给（）个孩子买衣服。

２、１１名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少可借一本。

至少有几名学生所借的书的类型完全相
同？
３、、金星小学六年级有３０名学生是２月份出生的，所以六年级至少有２名学生的生日是在２月份的同一天，为什么？
４、大风车幼儿园大班有２５个小朋友，班里有６０件玩具。

若把这些玩具全部分给班里的小朋友，则会有小朋友得到３件或３件以上的玩具吗？
５、学校图书馆有科普读物、故事书、连环画这３种图书。

每名学生从中任意借阅２本，那么至少要几名学生借阅才能保证其中一定有２名学生所借阅的图书种类一样？
６、布袋里有４种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有３个小球的颜色相同？
７、４９名学生共同参加体操表演，其中最小的８岁，最大的１１岁。

参加体操表演的学生中是否一定有２名或２名以上是在同年同月出生的？
８、一个幼儿园有４０名小朋友，现有各种玩具共１２２件，把这些玩具全部分给小朋友们，是否会有小朋友得到４件或４件以上的玩具？为什么？
９、篮子里有苹果、梨和橘子若干个，现有３５个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿２个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果种类是相同的？
１０、任意４个整数中，必存在两个数，它们被３除的余数相同。

你能说出其中的道理吗？
１１、六年级有１００名学生，他们分别订阅了甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。

至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
１２、８只猴子分一堆桃，要保证有一只猴子至少分到４个桃，这堆桃至少有多少个？
五年级数学下册
第一单元分数乘法
第一课时分数乘法（一）
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：
学习整数乘以分数的计算方法，让学生亲自经历探究整数乘以分数的计算原理，学生能够熟练准确的计算整数乘以分数。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：学生能够熟练的计算整数乘以分数
教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数加减运算题。

教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（先通分，再进行分子与分子相加减；分母不变…）并注意更正学生的错误和表扬回答问题
的同学。

二、讲授新课
同学们我们学习一种新的运算：分数乘法，让学生想一想什么是分数乘法？
学生同桌之间讨论，教师提问学生回答问题。

教师板书例题，让学生想一想如何计算？
学生列出算式3×5
1=，学生同桌之间相互讨论，如何计算整数乘以分数？
教师提问学生说一说自己是怎样计算的？
（学生1：3×51=515151++=5
3；学生2：3×51=515151++=5111++=513⨯=5
3……） 教师和学生总结整数乘以分数的计算方法，整数乘以分数，只把整数乘以分子，分母不变。

）
三、巩固练习：
做课本2页涂一涂，算一算，2个7
3的和是多少？ 让学生熟练计算，教师及时纠正学生错误的计算方法。

做课本试一试1、2题。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
分数乘法
3×51=515151++=53 3×51=515151++=5111++=513⨯=53
分数乘以整数的计算方法：整数乘以分数，只把整数乘以分子，分母不变。

）
教学反思：
第二课时 分数乘法（一）
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：学习整数乘以分数的计算方法，让学生亲自经历探究整数乘以分数的计算原理，学生能够熟练准确的计算整数乘以分数。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：学生能够熟练的计算整数乘以分数 教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数加减运算题。

341 4×7
2 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（先通分，再进行分子与分子相加减；分母不变。

）并注意更正学生的错误和表扬回答问题的
同学。

二、讲授新课
同学们我们学习一种新的运算：分数乘法，让学生想一想什么是分数乘法？
学生同桌之间讨论，教师提问学生回答问题。

教师板书例题，让学生想一想如何计算？
学生列出算式3×5
1=，学生同桌之间相互讨论，如何计算整数乘以分数？
教师提问学生说一说自己是怎样计算的？
（学生1：3×51=515151++=5
3；学生2：3×51=515151++=5111++=513⨯=5
3……） 教师和学生总结整数乘以分数的计算方法，整数乘以分数，只把整数乘以分子，分母不变。

）
三、巩固练习：
做课本2页涂一涂，算一算，2个7
3的和是多少？ 让学生熟练计算，教师及时纠正学生错误的计算方法。

做课本试一试1、2题。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
分数乘法
3×51=515151++=53 3×51=515151++=5111++=513⨯=53
分数乘以整数的计算方法：整数乘以分数，只把整数乘以分子，分母不变。

）
教学反思：
第三课时 分数乘法（二）
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：继续学习整数乘以分数的计算方法，让学生能够计算整数的几分之几是多少，学生能够熟练准确的计算出一个整数乘以不同分数的结果。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出整数乘以不同分数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
二、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。

3113⨯= 12169⨯= 21×14
5= 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（整数乘以分数，整数乘以分子，
分母不变。

注意两种约分方式。

）
二、讲授新课
教师出示课本例题：小红有6个苹果，淘气的苹果是小红的21；笑笑的苹果是小红的3
1，淘气和笑笑各有几个苹果？ 教师让学生思考这个例题，并对学生进行提问。

学生自己动手填完课本例题上的方格。

教师提问学生说一说自己是怎样计算的？
（学生1：6×
21=个）(32
16=⨯；学生2：6×31=（个）2316=⨯……） 教师和学生对比这两个题目的区别和联系。

学生初步理解整数乘以分数的数学意义。

三、巩固练习：
做课本5页试一试，36的41 和6
1分别是多少？ 注意让学生体验求一个整数的几分之几是多少的数学意义。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
分数乘法（二）
6×21=个）(3216=⨯ 6×31=（个）23
16=⨯ 整数乘以分数的数学意义：就是求整数的几分之几是多少？
教学反思：
第四课时 分数乘法（二）
教学目标：
知识目标：继续学习整数乘以分数的计算方法，让学生能够计算整数的几分之几是多少，学生能够熟练准确的计算出一个整数乘以不同分数的结果。

能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

情感目标：
使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出整数乘以不同分数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理。

教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数加减运算题。

341⨯ 4×=41 12×4
1= 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说每一道算式的意义。

学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题，并注意更正学生的错误和表扬回答问题的同学。

二、课堂练习
学生做第1题，教师注意让学生对比好门和小明的高度，并注意进行长度单位的换算。

学生做第2题，教师注意提醒学生及时约分化成最简分数。

并同桌之间相互说说每个算式的数学意义。

学生做第3题，教师巡视学生做题情况，并及时对有困难得学生进行帮助。

学生做第4题，教师注意让学生能够区分最少和最多这个数字范围，并提问学生说说自己的答案。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
分数乘法（二）
480× 83180（千克） 180×6
5=150（千克） 教学反思：
第五课时 分数乘法（三）
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：学习分数乘以分数的计算方法，学生能够熟练准确的计算出一个分数乘以另一个分数的结果。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出分数乘以分数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。

3113⨯= 12169⨯= 21×14
5= 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（整数乘以分数，整数乘以分子，分母不变。

注意两种约分方式。

）
二、讲授新课
教师出示课本例题：一张长方形的纸条，第一次剪去它的21，第二次剪去剩余部分的2
1。

此时，剩下的部分占这张纸条的几分之几？如果第三次再剪去剩余部分的
21，那么剩下的部分占这张纸条的几分之几？
教师让学生思考这个例题，并对学生进行提问。

=⨯2121？分析第一次剪去它的2
1，第二次再剪去剩下的21，那就是2121的。

也就是2
121⨯
教师让学生从图中看出是41，让学生从2121⨯=4
1中思考，分数乘以分数的运算规则，让学生同桌之间相互讨论。

教师提问学生说说分数乘以分数的运算法则。

并对学生的说法给以鼓励。

教师和全班学生共同总结出分数乘以分数的运算法则：分数乘以分数，分子乘以分子作为分子，分母乘以分母作为分母。

验证法则：让学生折纸验证=⨯4
143？，并让学生分析为什么？
课堂讨论：让学生能够根据课本7页中的插图，说一说，红色部分占斜线部分的几分之几？占整张纸的几分之几?让学生进一步理解整体和部分的关系；初步理解求分数的几分之几是多少？
三、巩固练习：
做课本8页试一试，3241⨯ 9253⨯ 14
587⨯ 让学生运用分数乘以分数的法则来进行计算。

注意能约分的先约分，如：14
587⨯中的7和14先约分。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
分数乘法（三）
2121⨯=41 2121⨯=2211⨯⨯=4
1
分数乘以分数的运算法则：分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。

教学反思：
第六课时 分数乘法（三）
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：学习分数乘以分数的计算方法，学生能够熟练准确的计算出一个分数乘以另一个分数的结果。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出分数乘以分数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。

=⨯7331 =⨯9452 107×14
5= 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（分数乘以分数，分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。

）
二、课堂练习：
学生做第一题折一折，涂一涂。

让学生用折纸的方式再次验证分数乘以分数的运算法则，注意让学生体会分数的几分之几是多少？
学生做第2题，注意让学生体验分数相乘的积于每一个乘数的关系。

学生做第3题，让学生理解分数的几分之几与占整体“1”之间的关系。

学生做第4题，让学生能够学会比较
21的43和5
4占整体“1”的大小。

学生做第5题，教师注意让学生整体的几分之几是多少？ 学生做第6题，让学生注意区分不同标准的几分之几是多少；占整体的几分之几。

学生做第7题，教师注意让学生利用分数乘法学会解决生活中实际问题。

第8题，学生根据学过的分数乘法知识，分辨一下唐僧分西瓜是否公平。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计： 分数乘法（三）
=⨯432183 =⨯5421104=5
2 83是整个操场“1”的83，52是整个操场“1”的5
2。

分数乘以分数的运算法则：分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。

教学反思：
第七课时 练习一
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：
复习分数乘以整数和分数乘以分数的计算方法，学生能够熟练准确的计算出一个分数乘以整数和一个分数乘以另一个分数的结果。

情感目标：
使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出分数乘以分数和分数乘以整数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理。

教学准备：教学参考书、教科书。

教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。

5×=51 =⨯9452 107×14
5= 教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己
如何计算的？这些分数乘法运算有什么不同？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（分数乘以分数，分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。

分数乘以整数，整数乘以分子，分母不变。

）
二、课堂练习：
学生做第一题，让学生用学过的分数乘以整数的知识求1000克牛肉中的蛋白质和脂肪的含量各是多少？
学生做第2题，注意让学生用分数乘以整数的知识求出全年我市空气质量为优的天气是多少天？培养学生从小保护环境的环保意识。

学生做第3题，让学生计算整数乘以分数和分数相乘的算式。

学生做第4题，让学生能够学会比较整体“1”的几分之几是多少？
学生做第5题，教师注意让学生求整体的几分之几是多少？
学生做第6题，让学生用整数乘以分数的知识来解决生活中有关分数的生活问题，培养学生“一方有难，多方支援”的人道主义思想。

学生做第7题，教师注意让学生利用分数乘法学会解决生活中实际问题。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答）板书设计：
练习一
1000×=51200(克) 1000×=10
1100(克) 整数乘以分数的运算法则：整数乘以分子，分母不变，能约分得要约分。

教学反思：
第八课时 练习一
教学目标：
能力目标：
能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。

知识目标：复习分数乘以整数和分数乘以分数的计算方法，学生能够熟练准确的计算出一个分数乘以整数和一个分数乘以另一个分数的结果。

情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

教学重点、难点：
学生能够熟练的计算出分数乘以分数和分数乘以整数的结果。

教学方法：师生共同归纳和推理
教学准备：教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入：
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。

=⨯94103 =⨯3489 12×240
1
教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？这些分数乘法运算有什么不同？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。

教师提问学生回答问题。

（分数乘以分数，分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。

分数乘以整数，整数乘以分子，分母不变。

）
二、课堂练习：
学生做第8题，让学生明白商场打折的意思，分别求出一个整数的几分之几是多少？如：10
750 =？ 学生做第9题，注意让学生用分数乘以整数的知识求出梨、苹果、香蕉各占水果总数的多少？
学生做第10题，让学生计算一个分数的几分之几是多少？注意提醒学生及时约分。

学生做第11题，让学生先计算出分数乘法算式的得数再学会比较分数的大小。

学生做第12题，教师注意让学生观察统计图表，求出___比___增加多少元？
学生做第13题，让学生用整数乘以分数的知识来解决生活中有关分数的生活问题，注意提醒学生认清长度单位。

学生做第14题，教师注意让学生利用分数乘法学会解决生活中实际问题。

四、课堂小结：
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答） 板书设计：
练习一
=⨯65259103 15×=3
210（米） 15-10=5(米) 教学反思：。