向量法的三类求角公式和距离公式

③求向量EF在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为
EF n d
F
b
na
n
E
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
uuur r | A Pr n |
n
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
d
|
nv
uuur AP| nv
AcPo的 s绝对 就值 是 P到 点 平 的 面 距离。
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d | A Pr n |
n
P
r
n

d
O A
uuur
r
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d | A Pr n |
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
u u u ru u u r
D C ,A B 与 的 关 系 ？
结论： cos
uuu ruuu r
| cosCD ,AB|
空间向量
高二数学备课组
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
专题一：
利用向量解决 空间角问题
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
n
A
r n
P
d
O
四、异面uu直ur 线r 的距离
r n
d
|
AP n r
|
a
P
n
uuur
Ar P ?
b
n?
A
r rr
n 是与 a , b 都垂直的向量
方法指导:
①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量 n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点E、F，作向量EF；
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
Ar
n
2 思考：
B
O
ru u u r
n ,B A 与 的 关 系 ？
结论： sin
r uuur
AB n
| cosn,AB|
AB n
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
u ur
n 2ur
A
O
B
n
1
u ur
n2
ur n1
ur uur
cos |cosn1,n2|
uruu r
cos |cosn1,n2|
n1 n 2 n1 n 2
关键：观察二面角的范围
n1 n 2 n1 n 2
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
专题二：
利用向量解决 空间距离问题
高二数学备课组
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一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过这
d
个点到平面的垂线段，
再计算这个垂线段的
长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离：
如图，已知点P（x0,y0,z0）,
在平面内任意取一点A（x1,y1,z1），
一个法向量 n
A
P
n
nAP n AP cos
其中 n,AP APcos nn AP,