高考数学必胜秘诀――函数

高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
二、函 数
1.映射f : A →B 的概念。

在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

如（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，
,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个
（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任
意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是
集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.
2.函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所
含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422
12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）
3. 同一函数的概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3
π≤等。

如（1）函数()
()24lg 3x x y x -=-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函数27
43kx y kx kx +=
++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,
4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
)；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

如（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}
42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2
1-≥a ）；（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域
为______（答：[2, 5]）
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；（2）211y x x =++-的值域为_____（答：(3,)+∞）（令1x t -=，
0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）
；（3）s i n c o s s i n c o s y x x x x =++的值域为____（答：1[1,2]2
-+）；（4）249y x x =++-的值域为____（答：[1,324]+）； （3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin 11sin y θθ
-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ
-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）； （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
如求1(19)y x x x =-
<<，229sin 1sin y x x
=++，532log 1x y x -=+-的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2、[2,10]）； （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2
y x +及2y x -的取值范围（答：33[,]33
-、[5,5]-）；（2）求函数22(2)(8)y x x =-++的值域（答：[10,)+∞）；（3）求函数2261345y x x x x =-++++及2261345y x x x x =-+-++的值域（答：[43,)+∞、(26,26)-）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①2b y k x =
+型，可直接用不等式性质，如求232y x =+的值域（答：3(0,]2
） ②2bx y x mx n
=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x =+的值域（答：1(,]2-∞）；（2）求函数23x y x +=+的值域（答：1[0,]2）
③22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；如已知函数2328log 1
mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答：5m n ==） ④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211
x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）
（7）不等式法――利用基本不等式2(,)a b ab a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添
项和两边平方等技巧。

如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则212
21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440f x x x x =+-，
[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48） 提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同
子集上各关系式的取值范围的并集。

如（1）设函数2(1).(1)()4 1.(1)
x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩，则使得
()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________（答：(,2][0,10]
-∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞） 7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。

如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：21()212
f x x x =++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f
g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已
知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式（答：242()2,[2,2]f x x x x =-+∈-）；（2）若221)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：3(1)x x -）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

（3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如（1）已知
()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33
f x x =--）；（2）已知()f x 是奇
函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11-x ,则()f x = __（答：21
x x -）。

8. 反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

如函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条
件是A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(]
,1a ∈-∞[)2,+∞ （答：D ）
（2）求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。

如设)0()1()(2>+=x x x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：11()(1)1
f x x x -=>-）． （3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。

如单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1x f -的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡a a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）. ②函数()y f x =的图象与其反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，注意函数
()y f x =的图象与1()x f y -=的图象相同。

如（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那
么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数1
32)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求(3)g 的值（答：72
）； ③1()()f a b f b a -=⇔=。

如（1）已知函数)24(log )(3+=x
x f ，则方程4)(1=-x f
的解=x ______（答：1）；（2）设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -，f (4)＝0，则1(4)f -＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。

如已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集
为________（答：（2,8））；
⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]f f x x -= ()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。

9.函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

如若函数)(x f 2sin(3)x θ=+， [25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数2|4|4
9x y x --=-的奇偶性____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()
f x f x -=±（()0f x ≠）。

如
判断11()()212
x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如若定义在R 上的偶函数()f x 在
(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 8
1>x f 的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞）
④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既
不充分也不必要条件。

如若22()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数
的和（或差）”。

如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2
f x f x F x +-=，()()()2
f x f x G x --=。

①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，
)(x G 为奇函数；②)(x g ＝12x ） ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
10.函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则
()0f x '≥，
请注意两者的区别所在。

如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b y ax a x
=+> 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a
-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b b a a
-
.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2
ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2
+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭
且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()
212log 2y x x =-+的单
调递增区间是________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log (3)
a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。

（答：1223
m -<<） 11. 常见的图象变换
①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。

如设()2,()x
f x
g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()
h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)
②函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的。

如（1）若2(199)443f x x x +=++，则函数()f x 的最小值为____(答：2)；（2）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)；（3）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的；如将函数a a
x b y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)(
0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：C)
⑤函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1得到的。

如（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13
（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）
如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：12
x =-)． ⑥函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
12. 函数的对称性。

①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2
a b x +=
对称。

如已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)
(x f ＝_____(答：212
x x -+)； ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为
()x f y -=；
③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)f y x
0=；点(,)x y
关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。

如己知函数33(),()232
x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函
数解析式是___________（答：221
x y x +=-+）； ⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。

如若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---） ⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c
=- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c
-。

如已知函数图象C '与2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点
（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。

如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上；②证明2C 上任意点关于对称中心（对
称轴）的对称点仍在1C 上。

如（1）已知函数)(1)(R a x
a a x x f ∈--+=。

求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形；（2）设曲线C 的方程是x x y -=3,将C 沿x 轴,
y 轴正方向分别平行移动,t s 单位长度后得曲线1C 。

①写出曲线1C 的方程（答：3()()y x t x t s =---+）；②证明曲线C 与1C 关于点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,2s t A 对称。

13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；
如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：
①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()
f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()
f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则
(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：(sin )(cos )f f αβ>)；
（3）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；（4）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，又()222f =+，则()2006f =
(答：222-) 14.指数式、对数式： m
n m n a a =，1m
n m n
a a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)
b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =，log log log
c a c b b a
=， log log m n a a n b b m
=。

如（1）235log 25log 4log 9的值为________(答：8)；（2）2log 8
1()2的值为________(答：164) 15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；
（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

16. 函数的应用。

（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。

（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立
b y ax x
=+型。

17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。

求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()
x
f x f y f y =；
③指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()()
f x f x y f y -=； ④对数函数型：()lo
g a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f ____（答：0） （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x +=
B 、()()()f x y f x f y +=+
C 、(3)3()f x f x =
D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）；（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果
2
3lg
)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；（3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；（4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。

如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=
()f y +，
则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x = ()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的
图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22
ππ--）；（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有
()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1()12
f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5）． O 1 2 3 x y。