福建省福州市高三数学毕业班3月质量检查试题 文

2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷
（完卷时间120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．设集合{}
2320M x x x =++>，集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≤=4)2
1
(x x N ，则 M N U =（ ）
A ．{}
2x x ≥-
B ．{
}1
x x >-
C ． {
}2
x x ≤-
D ．R
2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．
A ． 2
B ．22
C ．5
D ．3
3．已知命题:p “,10x
x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10x
x e x ∃∈--≥R B ．,10
x
x e x ∃∈-->R
C ．,10x x e x ∀∈-->R
D ． ,10x
x e x ∀∈--≥R
4．若)4
sin(
2cos 2απ
α-=，且()2
π
απ∈，，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8
-
B ．158-
C ．1
D ．
158
5．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x 在如右图所示的程序框图中，如果输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入（ ）．
A ．①②③
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
6.已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差=d ( )
A ．22
B ．4
C ．8
D ．16
7．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选
2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( ) A ．
310
B ．
58
C ．
710
D ．25
8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A
．1+
B ．2
C
．
22
D ．
32
9．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =( )
A ．13
B
C ．
23
D
10．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实
数k 的取值范围是( )． A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．(1,0)-
11．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲
线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ） A ．
1
B
．1
C
D
12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式
0)()1
(2>-x f x
f x 的解集为（ ）．
A ． (0,1)
B ．(1,2)
C ．(1,)
+∞
D ．(2,)+∞
正视图
俯视图
侧视图
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13. 已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a ρ
ρρρ⊥=-=且则=x
14.已知实数,x y 满足212x y x y x
+≤⎧⎪⎪
≥⎨⎪≥⎪⎩，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是
15.以下命题正确的是： ．
①把函数3sin(2)3y x π
=+
的图象向右平移6
π
个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点
P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12
π-
； ③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
④已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为
08.023.1ˆ+=x y
． 16. 已知直线n l
：y x =- 与圆n C ：22
2n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，
n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2
114
n n n a A B +=
，则数列{}n a 的通项公式为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． （I ）求角A 的大小
(II)若3a =，求ABC ∆的周长最大值．
18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．
（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；
（Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求b a >的概率．
19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，1CD =，60O
BCD ∠=，BD CD ⊥，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ． （I ）求证：BD ⊥平面ECD ． （II ）求D 点到面CEB 的距离．
F
A
D
C
20． (本小题满分12分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)3,0(，离心率为2
1
，
且1F 、2F 分别为椭圆的左右焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆C 于B 、D 两点，N 为BD 中点，请说明存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点，（不要求求出实数k ）．
21．(本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2
R a x a x x x f ∈+-=． （Ⅰ）当2=a 时，求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0>a 时，若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，不等式21)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．
本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲
如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于
,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．
（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；
（Ⅱ）若2,22AC AF ==BDF ∆外接圆的半径．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：2
4(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求圆C 的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.
(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；
(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．
2016年福州市普通高中毕业班质量检查
数学(文科)答案
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. D 12.C
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13. 2 14.3 15.①④ 16.1
2-=n n a .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） （I ）解: 法一：由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得
(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=…………………………………………3分
2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+ 2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+= (0,)B π∈Q sin 0B ∴≠
(0,)A π∈Q
1cos 2A =
3
A π∴=
…………………………………………6分
法二：由(2)cos cos b c A a C -=及余弦定理，得
222222
(2)22b c a b a c b c a bc ba
+-+--=……………………………………3分
整理，得
222b c a bc +-=
2221
cos 22b c a A bc +-==
(0,)A π∈Q
3
A π
∴=
．………………………………………6分
(II)解：由（I ）得3
A π
∴=
，由正弦定理得
sin sin sin b c a B C A ====
所以;b B c C ==
ABC ∆
的周长3)3l π
=+++ …………………………………9分
3cosBsin )33
ππ
=+++
33cosB =++
36sin(B )6π
=++
2(0,)3
B π
∈Q
当3
B π
=时，ABC ∆的周长取得最大值为9．…………………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1
(911142031)175
++++=………………3分 由此估计A 班学生每周平均上网时间17小时； B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195
++++=
由此估计B 班学生每周平均上网时间较长． …………………6分 （Ⅱ）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9，11，14， B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为：11，12，21， 从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，
分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），…………………9分
其中b a >的情况有（14，11），（14，12）两种， 故b a >的概率9
2
=
p ．…………………2分 19.（本小题满分12分）
A
C
E
（I ）证明：∵四边形ADEF 为正方形
∴ED AD ⊥
又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD =AD ， ∴ED ⊥平面ABCD …………………………………………3分 ∴ED BD ⊥
又∵BD CD ⊥, ED CD D ⋂=
∴BD ⊥平面ECD …………………………………………6分 （II ）解：1CD =，60O
BCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 正方形ADEF ∴2CB =
，CE =
BE =
∴cos 10BCE ∠=
=
∴122102
CEB S ∆=
⨯=…………………………8分 Rt BCD V 的面积等于
112BCD S ∆=
⨯=…………………9分 由得（I ）ED ⊥平面ABCD
∴点E 到平面BCD 的距离为2ED =…………………………10分
∴11.32D CEB E CDB V V --==
=
13h =
∴h =
即点D 到平面CEB
． ……………………………12分
20．(本小题满分12分)
解：（I ）∵椭圆经过点)3,0(，离心率为
2
1
， ∴⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+===222321c b a b a c ，解得3,1,2===b c a ．
∴椭圆C 的方程为13
42
2=+y x ．………………………………………4分
（II ）证明：设),(11y x B ，),(22y x D ，线段BD 的中点),(00y x N ． 由题意可得直线l 的方程为：)4(+=x k y ，且0≠k ．
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)4(13
42
2x k y y x ，化为12)4(432
22=++x k x …………………………………6分 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，
由0)1264)(43(4)32(2
2
2
2>-+-=∆k k k ，可得4
1
2
<
k ，且0≠k ． ∴2
2214332k k x x +-=+22214312
64.k k x x +-=．………………………………………8分 ∴222143162k k x x x o +-=+=，2
04312)4(k
k x k y o +=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，即12F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-，
∵22
22004141
4316431211k k k k k k x y k N F -=++-+=+=，22022
02121234161203134F N k
y k k k k x k k +===-----+ ∴22412114203
k k k k ⨯=----，化为42804030k k +-=， 设2t k =，则2804030t t +-=
∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．
即存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆过N 点．……………………………………12分 21.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x x f ln 22)(2
+-=；x
x x f 2
22)(+-=' 则1)1(-=f ，2)1(='f 所以切线方程为)1(21-=+x y ，
即为32-=x y ．………………………………………4分
（Ⅱ）)0(22)(>+-='x x
a
x x f 令022)(=+
-='x
a
x x f ，则0222=+-a x x 当084≤-=∆a ，2
1
≥a 时，0)(≥'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值
点；…………………6分 （1）当
084>-=∆a 且0>a ，2
10<
<a 时，由
0222=+-a x x 得
2
21148422,1a
a x -±=-±=
当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：
当2
0<
<a 时，函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，则121=+x x ， 22111a x --=
，2
2112a
x -+=………………………………………8分 由210<
<a 可得2101<<x ，12
1
2<<x 2
1)(x x f 21
12
1ln 2x x a x x +-=
21
2
1112
1ln )22(2x x x x x x -+-=
1
1
2
1112
11ln )22(2x x x x x x --+-=
111
1ln 211
1x x x x +--
-= 令)2
1
0(ln 2111)(<<+--
-=x x x x x x h ………………………………………10分
x x x h ln 2)1(11)(2+--=' 因为210<<x ，所以2111-<-<-x ，1)1(4
12<-<x 0ln 2)1(11)(2<+--='x x x h ，即)(x h 在)2
1,0(递减， 即有2ln 2
3)2
1()(--
=>h x h ， 所以实数m 的取值范围为]2ln 23,(---∞．………………………………………12分 本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲
证明:(I) AB Q 为圆O 的一条直径
,BF FH DH BD ∴⊥⊥
,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分
解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，
由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即(222
2AD =⋅， 解得4AD =，
所以()11,12
BD AD AC BF BD =-===， 又AFB ADH ∆∆:，
则DH AD BF AF
=，得2DH =7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，
223BH BD DH =+=，
故BDF ∆的外接圆半径为32
．……………………………………10分
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，
所以22446x y x y +=+-，
所以22
4460x y x y +--+=，
即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圆C
的参数方程为22x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
4cos )42sin()4
x y π
θθθ+=+=++ …………………………7分 当 4
πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分 x y +取到最大值为6. …………………………………10分
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：(I)⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f
由2)(>x f 得⎩⎨
⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或2
5>x . 故所求实数x 的取值范围为),2
5
()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m n
m n m ≥-++， 又∵2=-++≥-++m n
m n m m n
m n m ， …………………………7分
∴2)(≤x f ，
∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，
∴2)(≤x f 的解集为]2
5
,21[，
∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.……10分。