浙江省慈溪市慈溪中学2016届高三上学期期中考试理数试题 含解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)
1. 已知全集U Z =，集合{1,2}A =,{1,2,3,4}A B =，那么()
U C A B =（ ）
A 。

∅ B. {3}x Z x ∈≥ C. {1,2} D. {3,4}
【答案】D 。

【解析】
试题分析:∵{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，∴{3,4}B =或{2,3,4}或{1,3,4}或{1,2,3,4}，
∴()
{3,4}U C A B =，故选
D ．
考点：集合的关系．
2。

给出下列3个命题，其中正确的个数是 （ ) ①若“命题p q ∧为真”，则“命题p q ∨为真”； ②命题“0,ln 0x x x ∀>->"的否定是“0
000,ln 0x
x x ∃>-≤”
； ③“tan 0x >”是“sin 20x >“的充要条件 。

A ．1个
B ．2个 C. 3个 D ．0个 【答案】
C 。

考
点：命题真假判断．
3。

若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ )
A ．大于5
B 。

等于5
C 。

至多等于4
D 。

至多等于3 【答案】C. 【解析】
试题分析：3n =：平面上3点构成正三角形，符合题意，4n =：空间中4点构成正四面体,符合题意，5n =：显然任三点不共线,考虑四个点构成的正四面体，第5个点必为正四面体的外接球的球心，但其半径与正四面体的棱长显然不相等，故不成立,故选C ． 考点：空间几何体的结构特征． 4。

若函数()()0sin
2
>=ωωπx x f 的图象在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,0上至少有两个最高点，
两个最低点，则ω的取值范围为（ ） A.
2>ω
B 。

2≥ω
C. 3ω>
D.
3ω≥
【答案】D. 【解析】 试题分析：2
1cos 2sin
2
x
x ωπωπ-=
，由题意得12332ωππω≥⇒≥，故选D ．
考点：三角函数的图象和性质．
5.已知正实数a ,b 满足321=+b a
，则()()21++b a 的最小值是 （ ）
A 。

16
3
B.
9
50 C.
499
D. 6
【答案】B 。

考
点：基本不等式求最值．
【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值，在求条件最值时,一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 6。

定义
,max{,},a a b
a b b a b
≥⎧=⎨
<⎩，设实数x ,
y
满足约束条件
22
x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则
max{4,3}z x y x y =+-的
取值范围是（ ）
A.[7,10]- B 。

[8,10]- C.[6,8]- D 。

[7,8]- 【答案】A.
考
点：线性规划的运用．
7.已知异面直线
a ，
b 成60角，A 为空间中一点，则过A 与a ，b 都成45角的平面（ ) A ．有且只有一个 B ．有且只有两个 C ．有且只有三个
D ．有且只有四个 【答案】B. 【解析】
试题分析：分析题意可知，若平面与a ,b 都成45角，则a ，b 与该平面的垂线夹角也为45，故原问题等价于求直线c ，使得c 与a ，b 都都成
45
角，如下图所示，把异面直线a ,b 平移到相交，使交点为P ,此时
60
APB ∠=，过P 点作直线PC 平分APB ∠,∴30APC BCP ∠=∠=，将直线c 从PC 旋
转至与平面APB 垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线c 有两条，故选B ．
考点：异面直线的夹角．
【思路点睛】异面直线所成的角（或夹角）:1.定义:设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线'//a a ，'//b b ，把'a 与'b 所成的锐角
(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角，即平移法;2。

范围：(0,]2
π。

8.已知函数
22,0()(1)1,0
x x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当[0,100]x ∈时，关于x 的方程1()5f x x =-的所有解的和为（ ) A ．9801 B ． 9950 C ．10000 D ．10201 【答案】C.
考
点：1.分段函数；2。

函数与方程．
【思路点睛】1.分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值；2.分段函数是一个函数而不是几个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则;3.不理解分段函数的概念是出错的根本原因．
二、填空题（本大题共7小题,9-12题：每小题6分，13—15题：每小题4分，共36分。

)
9.已知双曲线C 的离心率为2,它的一个焦点是(0,2),则双曲线C 的标准方程为 ，
渐近线的方程是 。

【答案】2
2
13x y -=，3y x =.
考点：双曲线的标准方程．
10.
已知
1
ln ,0()1,0x x
f x x x
⎧>⎪⎪=⎨
⎪<⎪⎩，则
(())f f e =
;不等式
()1
f x >-的解集
为 . 【答案】1-，(,1)(0,)e -∞-.
【解析】 试题分析：∵
1
ln ,0()1,0x x
f x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，∴
(())(1)1f f e f =-=-，若0x >：1()1ln
10f x x e x >-⇒>-⇒<<,若0x <：1
()111f x x x
>-⇒>-⇒<-, 即()1f x >-的解集为(,1)(0,)e -∞-．
考点：分段函数及其运用．
11。

某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120； 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13
的线段，且这两条线段
与原线段两两夹角为120；……；依此规律得到n 级分形图。

（1）4级分形图中共有______条线段；
（2)n 级分形图中所有线段长度之和为 。

【答案】45，29[1()]3
n
-. 考
点：数列的综合运用．
12.
已知非零向量a ，b ，c 满足1a ≥，2a b a b +=-=，()()3c a c b -⋅-=,则||c 的
最小值是 ，最大值是 。

【答案】1，3。

【解析】
试题分析:根据题意可知，
2
2()()3()3||2||cos ,3c a c b c a b c c c a b c -⋅-=⇒-+⋅=⇒-<+>=
2||3
cos ,[1,1]||[1,3]2||
c a b c c c -<+>=∈-⇒∈,∴||c 的最小值是1，最大值是3．
考点：平面向量数量积及其综合运用．
13.
已知某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示,则该几何体表面．．
积．
是 2cm .
【答案】124234+.
考点：1.三视图；2。

空间几何体的表面积．
14.
设F 是抛物线C ：2
4y
x =的焦点，
过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当6AB =时，以AB 为直径的圆与y 轴相交所得弦长是 . 【答案】25 【解析】
试题分析：设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ,∴12
121164AB x x
x x =+++=⇒+=，∴以AB 为直
径的圆的圆心到与y 轴相交所得弦的弦心距为2，∴所求弦长为
2223225-=．
考点:1。

抛物线的性质；2。

圆的性质．
【方法点睛】弦长的计算:方法一：设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长22
2
l R d =-。

方法二:设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1
1
(,)P x y ，2
2
(,)Q x y ，则弦长21
2
122111PQ x x
k y y k
=-+=-+
. 15.已知ABC ∆的三边长为a ，b ,c 满足2b c a +≤,2c a b +≤，则b a
的取值范围
是 ．
【答案】23()32
，.
考点：不等式的性质的综合运用．
【方法点睛】使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式"才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.） 16.（本题满分15分) 在
ABC
∆中,角
A
,
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
cos (cos )cos 0C A A B +=
（1)求角B 的大小；
(2)若1a c +=,求b 的取值范围. 【答案】（1)3
B π=；（2）112
b ≤<。

【解析】
试题分析：(1）利用两角差的余弦公式将条件中的式子进行三角恒等变形，即可求得tan B =从而求得
B 的值;
（2）利用余弦定理以及条件中的式子将b 表示成关于a 的函数，再利用三角形的三边关系即可
求解.
试题解析:（1）由已知得
cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即
sin sin cos 0A B A B =，∵sin 0A ≠，∴sin 0tan B B B =⇒=3
B π
⇒=
;
（2）由余弦定理，有222
2cos b a c ac B =+-,∵1a c +=,1cos 2B =，∴22113()24
b a =-+，
又∵01a <<，∴2114b ≤<，即1
12
b ≤<. 考点:1。

三角恒等变形；2。

余弦定理．
17。

（本题满分15分）如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PDC 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形,60ADC ∠=，点P 在底面ABCD 上的射影为
ACD ∆的重心，点M 为线段PB 上的点．
（1）当点M 为PB 的中点时,求证：//PD 平面ACM ；
（2）当平面CDM 与平面CBM 所成锐二面角的余弦值为3
2时，求BM BP
的
值．
【答案】(1）详见解析;（2）14或3
4。

1111
2326
(3)(12)020x y z y λ⎧+-+=⎪⎨⎪=⎩，令11x =, 则3
222m λ
-+=，
设平面CBM 的法向量为2
2
2
(,,)n x y z =,则CM n ⊥且CB n ⊥，
22222
2326
3)(12)030x y z x y λ⎧+-+=⎪+=，令21x =，则(1,3,2)n =--， ∴|||cos ,|||||
m n m n m n ⋅<>==
23
2123
424241864λλλλλ
=⇒=-+⨯
或
34，∴
1
4
BM BP =或34.
考点:1.线面平行的判定与性质；2。

空间向量求二面角．
18。

（本题满分15
分）设椭圆1C ：22
143
x y +=,1F ，2F 分别是椭圆的左右
焦点，过椭圆右焦点2
F 的直线l 与椭圆1
C 交于M ，N 两点． （1)是否存在直线l ，使得 2OM ON ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；
若不存在,说明理由；
（2）若AB 是椭圆1C 经过原点O 的弦,且//MN AB ，求证：
2
||||
AB MN 为定值．
【答案】(1）详见解析；（2)详见解析。

22
5122234k k k --==-⇒=±+l 的方程为2(1)y x -或2(1)y x =--； （2）设1
1
(,)M x y ，2
2
(,)N x y ，3
3
(,)A x y ，4
4
(,)B x y ，由（1）可得:
222
2
2
2
212121222
8412
||1|(1)[()4](1)[()4]3434k k MN k x x k x x x x k k k
-=+-=++-+-++2
2
12(1)34k k +=+，由22
143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y ，并整理得：2
2
1234x k =+，
22342
3(1)||1||434k AB k x x k +=+-=+，∴22222
48(1)
||34412(1)||34k AB k k MN k ++==++为定值。

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理；3.平面向量数量积的坐标表示；3.椭圆中的定值问题． 19.（本题满分15分)设函数2
()2124f x x x x a x =------+
（1）当1a =时，求()f x 的最小值;
（2）对x R ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

【答案】（1)0；（2）[2,1]-.
考
点:1.二次函数的性质;2。

分类讨论的数学思想;3.恒成立问题． 【思路点睛】关于恒成立问题可通过参变分离将其转化为函数最值问题来考虑，常见的重要结论有：
1。

设()f x 在某个集合D 上有最小值，m 为常数,则()f x m ≥在D 上恒成立
的充要条件是min
()
f x m ≥；
2.设()f x 在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则()f x m ≤在D 上恒成立的充要条件是max
()
f x m ≤.
20。

（本题满分14分）设*
n N ∈,圆n
C :2
22
(0)n n x
y R R +=>与y 轴正半轴的交点
为M ，与曲线y x =的交点为1
(,)n N y n
，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a 。

（1）求证:12n
n a a +>>；
（2）设123n
n S
a a a a =+++⋅⋅⋅+，111123n T n =+++⋅⋅⋅+,求证：273
52
n
n S n T -<<. 【答案】（1）详见解析；(2）详见解析.
考点：1。

数列的通项公式；2.数列与不等式综合题．
【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性,值域，有界性）加以放缩；2.重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论;3。

数学归纳法.。