初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题(附答案)

初中数学平方差公式自主学习基础达标训练题（附答案）
一．选择题（共12小题）
1．下面计算正确的是（）
A．x3+4x3＝5x6B．a2•a3＝a6
C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
2．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）
A．（m﹣n）（﹣m﹣n）B．（﹣1+mn）（1+mn）
C．（﹣m+n）（m﹣n）D．（2m﹣3）（2m+3）
3．下列算式能用平方差公式计算的是（）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
4．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a
＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
6．如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
7．运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（）
A．m2﹣4B．m2﹣2m+4C．m2﹣4m+4D．m2+4m﹣4
8．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（）
A．29B．37C．21D．33
9．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）
A．2ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
10．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．a（a+b）＝a2+ab
11．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为（）
A．6B．±6C．±12D．12
12．若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）
A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6
二．填空题（共12小题）
13．若x+y＝2，x2﹣y2＝6，则x﹣y＝．
14．若2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，则4a2﹣b2＝．
15．（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝．
16．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为．
17．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是．
18．根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．
19．（﹣x﹣2y）2＝．
20．已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为．
21．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．
22．图1可以用来解释：（2a）2＝4a2，则图2可以用来解释：．
23．已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于．
24．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于．
三．解答题（共10小题）
25．运用乘法公式进行简便计算：1232﹣122×124．
26．利用乘法公式计算：99×101．（写出计算过程）
27．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；
（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝；
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．
28．乘法公式的探究及应用．
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
29．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
30．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）
31．（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
32．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．
33．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，则x﹣y＝．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．34．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．
参考答案:
一．选择题（共12小题）
1．解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，故本选项错误；
C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项正确；
D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项错误；故选：C．
2．解：A、原式＝n2﹣m2，不符合题意；
B、原式＝m2n2﹣1，不符合题意；
C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，符合题意；
D、原式＝4m2﹣9，不符合题意，故选：C．
3．解：（﹣m﹣n）（﹣m+n）＝（﹣m）2﹣n2＝m2﹣n2，故选：D．
4．解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．
5．解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．
6．解：由图可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．
7．解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故选：C．
8．解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．故选：B．
9．解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．故选：C．
10．解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，
∴可得a（a+b）＝a2+ab故选：D．
11．解：∵4y2+my+9是完全平方式，
∴m＝±2×2×3＝±12．故选：C．
12．解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，
∴m+1＝±5，
解得：m＝4或m＝﹣6，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
13．解：∵x+y＝2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，
∴x﹣y＝3，
故答案为：3．
14．解：∵2a+b＝﹣3，2a﹣b＝2，
∴4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝（﹣3）×2＝﹣6，
故答案为：﹣6．
15．解：已知等式整理得：9（a+b）2﹣1＝899，即（a+b）2＝100，开方得：a+b＝±10，
故答案为：±10
16．解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．
∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．
故答案为：（8m+12）．
17．解：左边图形中，阴影部分的面积＝a2﹣b2，
右边图形中，阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
18．解：如图所示：
由图1可得，图形面积为：（a+b）（a﹣b），
由图2可得，图形面积为：a2﹣b2．
故这个公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
19．解：（﹣x﹣2y）2＝x2+4xy+4y2．
故应填x2+4xy+4y2．
20．解：a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b＝3（a+b）＝9．故答案是：9．
21．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故答案为：13．
22．解：如图2：
整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；
从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，
面积为：a2+2ab+b2；
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
23．解：∵x2+16x+k是完全平方式，
∴k＝64．
故答案为：64
24．解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
三．解答题（共10小题）
25．解：1232﹣122×124
＝1232﹣（123﹣1）×（123+1）
＝1232﹣（1232﹣12）
＝1．
26．解：由平方差公式，得
99×101，＝（100﹣1）（100+1），＝1002﹣12，＝10000﹣1，＝9999．
27．解：（1）根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
（2）根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；
（3）原式＝×（3﹣1）×（1+3+32+…+32017+32018）＝．
故答案为：（1）x7﹣1；（2）x n+1﹣1
28．解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；
（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
（3）根据题意得出：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①10.3×9.7
＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝100﹣0.09
＝99.91；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]
＝4m2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣n2﹣p2+2np．
29．解：
（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）
＝×
＝
＝
30．解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
31．解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5．
故答案为：4x+5．
32．解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案为：30；…（4分）
（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9；…（6分）
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）
33．解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．
故答案为：（m﹣n）2、（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2、±5、（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）．
34．解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，
∵原式为完全平方式，
∴﹣a（x+y）＝±2×5•（x+y），
解得a＝±10。