【数学】四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(文)试题

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
故选D.
2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题，
故选B.
3. 若复数满足，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
................. ..........
故选A.
4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】又.可得，则
故选D.
5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】C
【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则
错误；D. 若，，当时不能得到，错误.
故选C.
6. 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，当焦点在x轴时，设双曲线方程为，代入
，得，解得，当焦点在y轴时，设双曲线方程为
，代入，得，无解。

所以，即双曲线方程为，选B.
【点睛】求圆锥线方程，一定要先定位，再定量，当不能定位时，要根据焦点在x轴，y轴分类讨论。

7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，
，解得：，
将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则
故选D.
【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．
8. 若为实数，则“”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解不等式可得，是的真子集，故
“”是“”成立的必要不充分条件.
故选B.
9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，
则该球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩
形，其中底面．
则该阳马的外接球的直径为
∴该阳马的外接球的体积=
故选C.
10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，当时，；当时，
；当时，；当时，
；当时，，当时
．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．
故选D．
【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．
11. 已知数列满足：当且时，有.则数列的前项的和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，选A. 【点睛】由于，所以可以考虑并项求和，两项一并，分成100组再求和。

12. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意在区间内有唯一实数解
令
，解得，
∴函数在区间[1，e]上单调递增，
则，则的取值范围为.
故选A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13. 已知，，则__________．
【答案】
【解析】由题
即答案为.
14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．
【答案】
【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为
即答案为24人.
15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且
轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】由题，直线圆心到直线的距离为
由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则
即答案为，
16. 已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】求导可得，所以在R上单调递减，且，所以当x<0,,当x>0时，。

所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且函数f(x)为偶函数。

变形为，只需，解得，填
【点睛】解复杂函数型不等式，可以先考虑函数的性质，如奇偶性、单调性等，可以利用函数性质解不等式。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求. 【答案】(1) ，；（2）
【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；
（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.
试题解析;（1）.由，，
得，.
∴函数的单调递减区间为，.
（2）∵，，∴.
∵，∴由正弦定理，得.
又由余弦定理，，
得.
解得.
18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆
状况的优惠活动评价的列联表如下：
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这
张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.
参考数据：
参考公式：，其中.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）由由列联表的数据，算出卡方与作比较。

（2）用枚举法列出基本事件和满足条件的事件，由古典概型得出概率。

试题解析：（1）由列联表的数据，有
.
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.
则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，
，，.共种.
记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为.
∴.
所以从张骑行券中随机选取张转赠给好友，选取的张中至少有张是一元券的概率为. 19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，
.
（1）若点是线段的中点，证明：平面；
（2）求六面体的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面
平面，可证平面.即可证明平面；
2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面
，平面的法向量，.。

利用空间向量夹角公式可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
试题解析：
（1）连接，∵四边形为菱形，且，
∴为等边三角形.
∵为的中点，∴.
∵，，又是的中点，
∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
又平面，∴.
由，，，
∴平面.
（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，
，.
∴，，，.
设平面，平面的法向量分别为，.
由.
解得.
取，∴.
又由解得.
取，∴.
∵.
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，
的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由题意可知.，由，可求得椭圆方程。

（2）分和讨论，当时，因为两直线互相垂直，所以直线的方程为，
即点到直线的距离，即点到直线的距离，用点到直线的距离公式计算，结合韦达定理，把长度表示为k的形式，所以表示为k的函数，即可求范围。

试题解析：（1）由已知，有.
又，∴.
∵，∴.
∴椭圆的方程为.
（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则，.
∴.
②当时，直线的方程为.
则直线的方程为，即.
设，.
联立方程，消去，得.
此时.
∴，.∴.
∵即点到直线的距离，
∴.
又即点到直线的距离，∴.
∴.
令，则.
∴.
即时，有.
综上，可知的取值范围为.
【点睛】P是弦MN的中点，弦中点问题常用直线直圆锥曲线组方程组，再结合韦达表示中点坐标。

距离问题常用弦长公式，点到直线的距离公式，两点间的距离公式。

21. 已知函数，.
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）分离参数法，转化为.（2））由（1）得，当时，
有，即.所以只需证明，即证，.构造函数
可证。

右边构造函数可证。

试题解析：（1）由，得.
整理，得恒成立，即.
令.则.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴，即.
∴的取值范围是.
（2）由（1），当时，有，即.
要证，可证，，
即证，.
构造函数.
则.
∵当时，.∴在上单调递增.
∴在上成立，即，证得.
∴当时，成立.
构造函数.
则.
∵当时，，∴在上单调递减.
∴，即.
∴当时，成立.
综上，当时，有.
【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当时，有，即.要证，只需证，，即证，. 同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形。

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数的最值求出结果．
试题解析：
（1）∵直线的极坐标方程为，即.
由，，可得直线的直角坐标方程为.
将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.
（2）设.
点的极坐标化为直角坐标为.
则.
∴点到直线的距离.
当，即时，等号成立.
∴点到直线的距离的最大值为.
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．其中把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，是解题的关键
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）先去掉绝对值，化简函数的解析式，分类讨论求得的解集．（2）根据函数的解析式求得函数的最小值，再利用柯西不等式求得的最小值．试题解析：
（1）.
∴等价于或或.
解得或.
∴原不等式的解集为.
（2）由（1），可知当时，取最小值，即.
∴.
由柯西不等式，有.
∴.
当且仅当，即，，时，等号成立.
∴的最小值为.
【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想．
2018年高考考前猜题卷
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足i
i
i z 2|2|++=
，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2
≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=
N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-x x
C ．}12
1
|{<<-x x D ．}2
1
1|{<<-x x
3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π
-
B ．43
C ．6
3π D ．41
4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交
于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2 6．已知函数)2
||,0)(3
sin()(π
ϕωπ
ω<
>+
=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，将函数)(x f y =的图象向左平移3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A.
3
2 B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6
)2(x
x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320- 9．已知函数)0(2
1
2)(<-
=x x f x
与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0
120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：2
2
2
r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且0
90=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2
<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=28242
23
21
m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
10
2416===C C C C P ，
21
12060)(3101
426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P
∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1
)|(2912==C C F G P .
（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则
032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为0
30，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0
160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形
∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n
设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6
||
||||,cos |sin =
=><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42
020=+y x ，
则)24,2(),2,
2(0
00y x F y x E +--， ∴41
164164164244242
2
002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则1441224122
21=+⇒-=+⋅-⇒
-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨
⎧=++=4
42
2y x m
x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ，
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
4
4,5822121-=-=+m x x m x x ，
由0)44(20642
2>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m
∴222212
212
55
2
45444)58(24)(1
1||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，
易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，
∴2
2
)
3(554||||m m ST PQ S S OST
OPQ +-===
∆∆λ，
令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，
则4
5)431(4544
65
422
2+--⨯=
-+-=
t t t t λ， 当431
=
t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x
a
x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-
a
，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
12
+=
对任意两个不等的正数21,x x ，
2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，
令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2
-+=
在),0(+∞上为增函数 2)('-+
=x
a
x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，
所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+
等价于0
000ln 1x a
x a x x -<+，
整理得01ln 0
00<++
-x a
x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)
1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=
因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.
令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得
)1ln(1
1+<++a a
a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为
t t t ln 1
1
<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e
a
a e e m 解得1
1
2-+>e e a .
综上所述，实数a 的取值范围是),1
1
(
)2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，
4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2
>=a ay x ，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=t
y t x 22222（t 为参数）
，代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12
>+=
∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩
⎨⎧≤+--<9331x x
解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立
⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5
0a a 5≥⇒a .。