高考数学压轴专题新备战高考《不等式》经典测试题附解析

新数学高考《不等式》复习资料
一、选择题
1．已知函数24,0
()(2)1,0
x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
2．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
3．已知关于x 的不等式()()2
22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．()2,6
B ．()(),26,-∞+∞U
C ．(](),26,-∞⋃+∞
D ．[)2,6
【答案】D 【解析】 【分析】
分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数
m 的取值范围.
当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；
当20m -≠时，则()()2
20
421620
m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
5．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B
．|||b a < C ．ln ln a b b a -<- D
．|||b a ->
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1b a e ==-，可排除A 、D 项；
取11,49a b ==
71
1812
b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，则
AB 的最小值为（ ）
A ．5 B
．
5
C
D
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点
B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.
【详解】
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩
，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=
故选：C ． 【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
7．已知x 、y 满足约束条件1
22326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）
A ．
22
B ．25
C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出2
2x y +的最小值，进而可得
出实数z 的最小值. 【详解】
作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的可行域如下图所示，
22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，
原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()
2
22
min
21
22x y
⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭
. 由于22
z x y =+，所以，min 12
z =
. 因此，实数z 的最小值为12
. 故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A 85
B ．8
C 165
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
2
2
24
24512
x y x y ----=+2
2
24
12
x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案.
【详解】
因为2
2
24
24512
x y x y ----=⨯
+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=的距离的5倍，如图所示，
点44
(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22
442433
3512d -⨯-==+ 所以24x y --16
53
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
9．若,x y 满足约束条件360601
x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则122y x
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )
A ．
116
B ．
18
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，
因为1222y
x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，
则1222y
x
x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
的最小值为4
1216-=. 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
10．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6
tan tan tan A B C A
+⋅的最小值为（ ）
A ．
3
B C ．
2
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故
tan 3tan A B =，
3t 53tan 4an 6
ta 3ta tan tan n n B A B C A
B ⎛⎫=
+ ⎪⎝+⎭
⋅，计算得到答案. 【详解】
由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，
即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.
2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.
由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.
易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.
πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-⋅24tan 3tan 1
B
B =-，
tan 6
tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭34≥⨯
当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】
圆2
2
(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，
则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m
m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）
A ．320千元
B ．360千元
C ．400千元
D ．440千元
【答案】B
【解析】 设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.
绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：
目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
15．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩
，则由不等式组确定的可
行域的面积是( )
A ．14π
B ．1
2π C ．π D ．32
π 【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．
【详解】
实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩
„…„的可行域如图： 可行域是扇形，1
4个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ） A ．73 B 5C 7 D ．25【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.
【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，
∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，
∴()()
tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B B C B B +=-=-=---，
∴
2
1112tan111 tan tan tan3tan tan2tan
B
A B C B B B
-
++
=++
27
tan
36tan
B
B
=+.
又∵在锐角ABC
∆中, tan0
B>,∴
272727
tan2tan
36tan36tan3
B B
B B
+≥⨯=，当且仅当
7
tan B=时取等号，
∴
min
11127
tan tan tan
A B C
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
17．已知M、N是不等式组
1,
1,
10,
6
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
-+≥
⎪
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||
MN的最大值是（）
A．17B．
34
C．32D．
17
2
【答案】A
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=2
1417
+=,选A.
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
18．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2x y -的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.
故选：C .
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92
B ．9
C ．6
D ．3
【解析】
【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()2
2112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴
+=. ()1122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m
n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n
∴+的最小值为3. 故选：D .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
20．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A
．,⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B
．,⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C
．⎫+∞⎪⎪⎝⎭
D
．⎫+∞⎪⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果.
【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ， 由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，
由题意，()22410t t ∆--<=，
解得3t <-或3
t >. 故选：B.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.。